Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1835

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Вычисление определенных интегралов ведется на основании формулы Ньютона – Лейбница. Отметим следующие две формулы.

I. При замене переменной под знаком определенного интеграла пределы интегрирования меняются согласно следующей формуле:

b
	x (t), dx (t)dt
f (x)dx
a	a (t) b t	, где ( ) a, ( ) b

f ( (t)) (t)dt.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Пусть f (x)dx F(x) C f ( (t))d (t) F( (t)) C.

Тогда f (x)dx F(x) ba F(b) F(a).

f ( (t))d (t) F( (t)) F( ( )) F( ( )) F(b) F(a).

Примеры:

e	ln x					e		1 x e, 0 ln x 1 1
1.	ln x		dx ln xd ln x											udu
1.			dx ln xd ln x							eu				udu
1	x					1		ln x u x		eu				0
u2 1					1	.


	2 0				2				d				1
									d				1		d
1							x tg , dx
1		dx					x tg , dx		cos2		4		cos2
2.
2.					3 2											3
				2	3 2									2		3
0 1 x							0 x 1 0					0	1 tg
0 1 x							0 x 1 0					0	1 tg
								4

4	d		4				2
				cos d sin 0	4			.
		1
0 cos2			0			2
		cos3

II. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

b b

udv uv ba vdu.

a a

Д о к а з а т е л ь с т в о Для неопределенного интеграла имеем:

udv uv vdu (udv vdu) uv

(udv vdu) uv ba udv uv ba vdu .

u x,

du dx

Пример. xsinkxdx

dv sin kxdx v

coskx

xcoskx

cosk

coskxdx

sinkx

2 ( 1)k ( 1)k 1 2 . k k

Квадратурные формулы

Квадратурными формулами называются формулы для приближенного вычисления определенных интегралов. Эти формулы основаны на геометрическом смысле интеграла (рис. 1):

Sкр.тр	n	b
Sкр.тр	lim f i xi	f (x)dx.
	n i 1	a
	0

При приближенном вычислении интеграла криволинейную трапецию заменяют другой более простой фигурой и находят её площадь.

y f (x)

Рис. 1

1. Формула прямоугольников.

f (x)dx Sкр.тр

Sкр.тр Sст.ф

y f (x)

0 xi xi 1 x

Рис. 2

Разбиваем a,b на n равных частей точками (рис. 2): a x0 x2 ... x2n b.

Длина каждого частичного отрезка h b a называется шагом

приближенной формулы.

Середину x2k 2,x2k обозначим x2k 1

и вычислим

y2k 1

f (x2k 1),

k 1,2,...,n.

Заменяя криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, имеем

для приближенного вычисления интеграла формулу

f (x)dx

b a

... y

(4)

2n 1

Формула (4) называется формулой прямоугольников.

Абсолютная погрешность результата при применении формулы (4)

(b a)3

, где

k max

(5)

24n2

(x)

a x b

то есть если – точное значение интеграла, а – приближенное значение, полученное по формуле (4), то

2. Формула Симпсона.

Для вывода формулы Симпсона нужна формула Архимеда:

S 3 y1 4y2 y3 .

Парабола имеет ось симметрии, параллельную Oy (рис. 3).

y f (x)

Рис. 3

Вывод формулы Архимеда. Пусть парабола ax2 bx c y

проходит через три точки:

A( h, y1),

B(0, y2 )

и C(h, y3), тогда

y ah2

bh c

y2 c

2h2

bh c

y3 ah2

S ax2

bx c dx a

ah3 2ch

y1 y3 2y2

y 4y

2h2

Разбиваем a,b на n равных частей длиной h b a. n

y f (x)

a x2k 2 x2k b

Рис. 4

Берем середину каждого частичного отрезка и каждую полоску криволинейной трапеции заменяем полоской ограниченной сверху

куском параболы с осью симметрии параллельно оси Oy (рис. 4). В результате получаем формулу Симпсона:

f (x)dx

b a

4y 2y

... 4y

. (6)

2n 1

Абсолютная погрешность формулы (6)

(b a)5

, где k max

f IV (x)

(7)

2880n4

a x b

Пример. Вычислить

ln xdx

по формуле прямоугольников и

формуле Симпсона и оценить погрешности, если n 5.

1. f (x) ln x; h

b a

f (x)dx

y y

;

ln xdx ln1,5 ln2,5 ln3,5 ln4,5 ln5,5 5,78.

(b a)

, k max

;

24n2

(x)

f (x)

a x b

; k 1

0,2

ln xdx 5,8( 0,2).

(x)

24 52

bb a

2.f (x)dx (y0 4y1 2y2 4y3 2y4 4y5 2y6 4y7

a6n

2y8 4y9 y10).
6				1
	ln xdx			1	[ln1 ln6 4(ln1,5 ln2,5 ln3,5 ln4,5 ln5,5)
	ln xdx			6	[ln1 ln6 4(ln1,5 ln2,5 ln3,5 ln4,5 ln5,5)
1				6
2(ln2 ln3 ln4 ln5)] 5,7498.
	k	(b a)5				, k	max			f	IV	(x)		,		2	;	f	IV	(x)	6	;
		(b a)5									IV					2			IV		6

		2880n4													f (x)	x3					x4
								a x b
								a x b
	f IV (x)						5		5				30			6
max			6				5						30		0,010; ln xdx 5,75( 0,01).
max			6					2880 54							0,010; ln xdx 5,75( 0,01).
1 x 6												2880				1
1 x 6												2880				1
							6

Точное значение ln xdx xln x x 16 6ln6 5 5,75056.

Лекция №8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Интегрируемыми функциями на a,b являются непрерывные и кусочно-непрерывные функции.

Практические задачи приводят к необходимости рассматривать интегралы от неограниченных функций (т.е. функция терпит на a,b разрыв второго рода) и от непрерывных функций, но на бесконечном интервале a, , либо ,b , или , .

Интегралы от неограниченных функций или по неограниченному отрезку называются несобственными.

Несобственные интегралы I рода – это такие интегралы, когда один или оба предела интегрирования бесконечные. Такие интегралы определяются через предел.

1.		f (x)dx lim		f (x)dx;
	a		R a
	b			b
2.			f (x)dx lim	f (x)dx;
			R R

3.	f (x)dx	lim	f (x)dx.
		R 2
		R R1
		1

В случае, когда пределы, стоящие в правых частях этих равенств, существуют, то говорят, что несобственные интегралы сходятся и их называют сходящимися. В случае, когда пределы не существуют либо равны , говорят, что интегралы расходятся и их называют расходящимися.

Примеры:

dx			R		1		R		1		1	1
1.		lim	x 3dx	lim				lim					–
	3				2x	2				2		2
1 x		R	1	R			1	R 2R			2

сходящийся интеграл.

Геометрический смысл (рис. 1).

1
y			dx		1
	x3	S тр				.

				3
			1 x		2

1 R2 Рис. 1

lim

x 1 2dx lim 2

1R lim 2

–

расходящийся интеграл.

lim

arctgx 2

1 x

1 x2

R R1

lim

arctgR2

lim arctgR

–

сходящийся

интеграл (рис. 2).

f x

1 x2

S тр

Т е о р е м

Рис. 2

для

x a, 0

f (x) g(x), то из

а.

Если

сходимости

g(x)dx сходимость f (x)dx ,

а из

расходимости

f (x)dx расходимость

g(x)dx .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Из условия и в силу свойства 30 имеем:

0 f (x)dx g(x)dx 0 lim

f (x)dx lim g(x)dx заключени

R a

е теоремы.

Пример. Определить сходится или расходится

1 x3

0 f (x)

g(x)

, для x 1, .

x3 2

1 x3

1 R

lim

x 3 2dx lim 2

lim

–

3 2

1 x

сходится

– сходится.

1 x3

Несобственные интегралы II рода – это интегралы от функций,

неограниченных на a,b .

Здесь выделяют три случая.

a,b ,

1. Пусть

f (x) интегрируема

на

отрезке

но

неограниченна в точке b , то есть

lim

f (x) (рис. 3).

x b 0

				b		b
					f (x)dx lim		f (x)dx.
				a		0	a
						( 0)
	0	а	b ε b	x
		Рис. 3
2.	f (x) интегрируема на a ,b , но неограниченна в точке
a, то есть lim		f (x) (рис. 4).
	x a 0
	y
					b			b
						f (x)dx lim		f (x)dx.
					a	0		a
						( 0)
	0	а а	b	x
		Рис. 4
3.	f (x) неограниченна в точке c , то есть lim f (x) (рис. 5).
						x c

b c b

Тогда	f (x)dx	f (x)dx f (x)dx, то есть разбиваем интеграл
a	a	c

на два несобственных, рассмотренных в случаях 1 и 2, если оба они сходятся, то интеграл сходится; если хотя бы один расходится, то интеграл расходится.

Примеры:

2 dx			1
1.		– несобственный интеграл II рода, так как	f (x)
	2			x2
1 x

(рис. 6) неограниченна в т. x 0, то есть lim , разрыв II рода

x 0 x2

в т. x 0.

f (

2 x

Рис. 6

Нельзя формально применить формулу Ньютона – Лейбница.

2	dx		1	2	1	1	3	.

		2			2		2
1 x			x 1

	2 dx							0 dx				2 dx							1 dx					2 dx				1	1
																lim							lim				lim
		x	2							x	2		x		2	lim				x	2		lim		x	2	lim
	1	x						1		x		0	x			1	0		1	x			2 0	2	x		1 0	x	1
	1							1				0							1					2					1
				1				2					1								1		1

																											–	интеграл
	lim																		lim
	lim			x							lim			1		1			lim		2
	2 0			x		2					1 0			1				2 0			2		2
расходится.
		1					dx					1									1
	2.						dx				1 x 1 2 dx lim												1 x 1 2 d(1 x)

						1 x
		0				1 x						0							0			0
lim 2									10 lim 2									2 2 – интеграл сходится (рис. 7).
lim 2					1 x				10 lim 2									2 2 – интеграл сходится (рис. 7).
	0													0

		S		1		dx
	1		тр				2.


y				0	1 x

1 x

Рис. 7

Лекция №9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР)

	1. Вычисление площадей.
	Эти вычисления основаны на геометрическом смысле
определенного интеграла. Если f (x) 0, для		x a,b , то
b	f (x)dx Sкр.тр (рис. 1).
	f (x)dx Sкр.тр (рис. 1).
a

Sкр.тр f (x)dx.

(1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.92 Mб11830.pdf
#
07.01.20211.93 Mб21831.pdf
#
07.01.20211.93 Mб221832.pdf
#
07.01.20211.93 Mб51833.pdf
#
07.01.20211.93 Mб951834.pdf
#
07.01.20211.94 Mб21835.pdf
#
07.01.20211.94 Mб21836.pdf
#
07.01.20211.94 Mб41837.pdf
#
07.01.20211.95 Mб251838.pdf
#
07.01.20211.95 Mб01839.pdf
#
07.01.2021333.77 Кб7184.pdf