Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1835

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

u u x u y u z y z 3 2 xz xy 3 2x y z

3 2 y(x z) xz 7 6 7.

u y z 3 2 xz xy 3 2 7 5 6.

2. В том случае, когда u f (x1,x2, ,xn), а все переменные xi являются функциями одного аргумента t, формулы (1) выражают производную этой функции:

u	n	f	dx
			i
				.	(7)
t		x	dt	.	(7)
	i 1	i

3. Свойство инвариантности формы первого дифференциала легко переносится на случай многих переменных:

dt1

dt2

dtk , или du

dti ,

i 1

или du

dxj

, где dxj

dti .

j 1 xj

i 1

Пример. Найти полный дифференциал функции u x y z, где

x t

2 t

2 ;

y t 2 t

2 ;

z t

dz yzdx xzdy xydz, где

2t dt 2t

2 t dt t

;

1 1

dy 2 t1dt1 t3dt3 ;

dz 2 t2dt2 t3dt3 .

du 2

t dt

Дифференцирование неявных функций. Теорема существования неявных функций

В математике и ее приложениях приходится сталкиваться с такими задачами, когда переменная u является функцией аргументов x, y, , а решение задачи приводит к уравнению

F(u,x, y, ) 0.

(8)

В этом случае говорят, что u как функция своих аргументов x, y, задана неявно.

Возникает вопрос: при каких условиях уравнение (8) однозначно разрешимо относительно u, т.е. однозначно определяет явную функцию u (x, y, ), и при каких условиях полученная функция является непрерывной и дифференцируемой?

1. Пусть функция одного аргумента x задана неявно уравнением

F(x, y) 0.

(9)

Имеет место следующая теорема.

Т е о р е м а. Если функция F(x, y) непрерывна в некоторой

окрестности точки (x0, y0)

и имеет в этой окрестности непрерывные

частные

производные

причем

(x0, y0) 0, и если

F(x0, y0) 0, то окрестность т.

(x0, y0), где уравнение определяет

непрерывную функцию y f (x),

производная которой находится по

формуле

(10)

Доказательство вследствие его громоздкости опустим. Пусть

функция , докажем только формулу (10).

Дадим аргументу x приращение x, тогда y получит

приращение y,

y y f x x ,

а т.к. F(x, f (x)) 0,

то F(x x, f (x x)) 0

F(x x, y y) F(x, y) 0.

Эта разность есть полное приращение функции F(x, y) и,

учитывая условия теоремы, получим:

y 1 x 2 y 0,

откуда

1 2

y x

переходя к пределу при x 0 и 1 и 2

0, имеем:

(10).

y dx

Пример.

Найти производную неявно заданной функции ex y xy 0 в точке (1, 1).

y	F		F		F
y	x	;	F	ex y y;		ex y x.
	x	;		ex y y;		ex y x.
x	F		x		y
	y


	y	ex y y	;	y	1, 1		e0 1	0.
	x	ex y x		x			e0 1
Обобщение. В случае,						когда задано уравнение F(u,x, y,z) 0,

выполняются аналогичные условия (см. теорему), то указанное уравнение определяет в окрестности т. (u0,x0, y0,z0) явную функцию

u f (x, y,z),

частные

производные

которой определяются по

формулам:

;

Пример.

Найти частные производные неявно заданной функции:

z3 3zx2 3zy2 x2 y2 0.

;

6zx 2xy

тогда

2x 3z 2y2

3 z2 x2 y2 ;

2; F 6zy 2x2 y,

6y 3z 2x2

3 z2 x2 y2 .

Уравнение касательной в т. M(x0, y0) имеет вид:

Fx x0, y0 x x0 Fy x0, y0 y y0 0.

Лекция №15. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Рассмотрим функцию z f (x, y). Так как частные производные

этой функции	z	fx(x, y) и	z	fy(x, y)	в свою очередь являются

	x		y	y, то
функциями двух переменных			xи		частные производные от

первых частных производных называются частными производными

второго порядка.

Обозначения:

(x, y);

f (x, y);

x x

(x, y)

x y

fxy

называютсясмешанными

частнымипроизводными.

(x, y)

y x

Итак, частных производных второго порядка четыре. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка, их восемь:

;

x2 y

x y y

y x x

y x y

x y x

Пример. z x3 y2x.

2yx.

;

6x;

2y;

2x.

x y

y x

Т е о р е м а.

Если функция z f (x, y) имеет в окрестности

точки (x, y)

непрерывные

частные производные

, то в

x y

y x

этой точке смешанные производные второго порядка равны, т.е.

2z 2z (без доказательства).

x y y x

С л е д с т в и е. Если частные производные любого порядка отличаются друг от друга только порядком дифференцирования и непрерывны, то они равны, т.е.

3z	3z	3z	, но	3z		3z	.

x2 y	x y x	y x2		x2		x y2
					y

Обобщение. Эта теорема и ее следствие полностью переносятся на функцию u f (x1,x2, ,xn), если u f (x, y,z), то

2u	2z		2u	2z
		;			и т.д.
	y x
x y			x z	z x

Полные дифференциалы высших порядков

Для функции z f (x, y)	dz	z	dx	z	dy, считая dx и dy

		x		y

фиксированными приращениями, имеем функцию двух переменных, дифференциал от этой функции называется дифференциалом второго порядка.

d dz d2z d

dx d

y x

dxdy

и т.д.

x y

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Пусть задана функция z f (x, y), непрерывная вместе со своими частными производными до порядка n включительно, n 1, в некоторой окрестности точки (a,b). Найдем для этой функции многочлен от двух переменных, позволяющий с некоторой погрешностью заменить эту функцию в окрестности точки (a,b). Точки этой окрестности (x, y) представим в виде:

x a ht; y b kt,

где 0 t 1 x x a ht	и y y b kt, т.е. приращения
берем меньше h и k . Тогда	f (x, y) f a ht,b kt (t), т.е. мы

f (x, y) представили в виде функции одной переменной. Раскладывая эту функцию по формуле Маклорена, имеем:

(0)t

n 1

(0)t

(t) (0) (0)t

( )

n 1!

0 1, а т.к. очевидно,

что

при

t 1,

h x a,

k y b и

(0) f (a,b), (1) f (a h,b k).

(0) n (0) n 1 ( )

(1) (0) (0) n 1! ;

f x

f y

h k .

x t

y t

0 fx a,b h fy a,b k;

2 f

t x2 h 2 x y hk y2 k .

fxx

a,b h 2fxy a,b hk fyy a,b k и т. д.

n 1

( )

n 1

Можно показать, что R

n 1!

где x a 2 y b 2 представляет собой расстояние от т.(a,b) до т.(x, y). Таким образом, имеем формулу Тейлора для функции двух переменных (ограничимся многочленом третьей степени).

f (x, y) f (a,b) fx(a,b)(x a) fy (a,b)(y b)

1 fxx a,b x a 2 2 fxy a,b x a y b fyy a,b y b 2

	1		3		2
					a	y b
		[ fxxx a,b x a 3fxxy a,b x
3!			2		3		4
								.
3fxyy a,b x			a y b	fyyy a,b y b		] 0
Обобщение.		Если	функция	u f (x1,x2, ,xn), то			для нее

формула Тейлора в определенной т.M0 a1,a2, ,an имеет вид:

fxn

f (M) f (M

)

...

[

2 f

x a 2

2 f

2! x 2

2 f

x a x

x1 x2

2 f

x a x

x1 x2

1 1

2 f

M0 xn 1 an 1 xn an ] 0 3;

xn 1 xn

x a1 2 x an 2 .

Лекция №16. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Говорят, что функция u f (M) достигает в т. M0 max min , если окрестность т. M0, во всех точках которой f (M) f (M0) ( f (M) f (M0)).

u f M0

		y
	M0	M0
	x
	Рис. 1
Частный случай функции двух переменных z f (x, y)			можно
интерпретировать рис. 1.
Очевидно, что т. M0 – точка min max ,		тогда и только тогда,
когда произвольное приращение функции в		этой точке	u 0
( u 0),	u f (M) f (M0). Точки max и min называют точками

экстремума.

Необходимые условия экстремума

Т е о р е м а .					Если функция z f (x, y) достигает в т. (x0, y0)
экстремума и имеет в этой точке частные производные:
	f	x x0	и	f	, то они равны нулю.

	x			y	x x0
		y y0			y y0

Д о к а з а т е л ь с т в о

Фиксируем значение аргумента y, положив y y0, т.е. рассмотрим функцию одного переменного z f (x, y0) (рис. 2). Поскольку эта функция в т.x0 достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю, т.е.

df x, y0			f	x0	, y0	0.

dx			x
		x x

	0

z f x, y0

y y0

			●		y
			y0
		x
			Рис. 2
Аналогично, фиксируя значение аргумента x, положив x x0,
рассмотрим		функцию переменной y,		z f (x0, y), приходим к
равенству	f	x0, y0 0.
равенству	y	x0, y0 0.
	y

З а м е ч а н и я.

1. Точки, в которых частные производные функции z f (x, y) обращаются в нуль, называются стационарными или критическими точками.

2. Если функция имеет точки экстремума, то они находятся среди стационарных.

Достаточные условия экстремума

Рассмотрим			функцию		z f (x, y)		и	пусть	в	т.(x0, y0)
fx(x0, y0) 0		и fy(x0, y0) 0, предположим, что наша функция имеет
в этой точке		(x0, y0)		непрерывные		частные		производные второго
порядка,	обозначим			их		(x0,	y0),			(x0, y0) и
					a11 fxx			a12 fxy
	(x0, y0).		Функция		z f (x, y) будет			иметь	в	этой точке
a22 fyy
экстремум, если полное приращение функции в этой точке
			z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
сохраняет знак, т.е. либо 0,					либо 0, при достаточно малых x
и y.

Воспользуемся формулой Тейлора:

f (x, y) f (x0, y0) fx(x0, y0)(x x0) fy (x0, y0)(y y0)

1 fxx(x0, y0)(x x0)2 2 fxy(x0, y0)(x x0) y y0

, y0)(y y0)

fyy(x0

Считая

x x0 x,

x y0

a x0 ,

b y0 x a x,

y b y и учитывая, что

fx(x0, y0)

fy(x0, y0) 0, имеем:

z f (x

x, y

y) f (x

, y

)

a x

2 2a x y a

y2 .

Слагаемое 0 3, где

x2 y2

можно опустить, т.к.

при достаточно малых xи

оно мало и

на знак z не влияет.

Значит, знак z определяется знаком квадратного трехчлена, стоящего в {…}. Известно, что квадратный трехчлен сохраняет знак при всех

значениях переменных x и если его дискриминант

Da122 a11a22 0. Причем:

1)при a11 0 трехчлен 0 z 0 и в точке (x0,y0) – min;

2) при	a11 0	трехчлен						0 z 0	в точке (x0,y0) –
max.		2
Если же D a		2	a a			22	0, то знак трехчлена меняется			знак
	12			11		22
z зависит от xи y в точке (x0,y0) нет ни max, ни min.
Если	D a 2	a a			22	0,		то знак z	определяется	членом
	12		11		22

0 3 и необходимо дополнительное исследование. Вывод. Если в т. (x0, y0) fx(x0, y0) fy(x0, y0) 0 и:

1)D a122 a11a22 0, a11 0, имеем min;

2)D a122 a11a22 0, a11 0, – max;

3)D a122 a11a22 0, нет ни min, ни max.

Пример.

Найти точки maxи min функции z xy(1 x y) xy x2 y xy2. 1) Находим стационарные точки:

z y(1 x y) xy( 1) y(1 2x y).

z x(1 x y) xy( 1) x(1 2x y).

y(1 2x y) 0;

x(1 2x y) 0.

A(0,0); B(0,1);

C(1,0);

– стационарные точки.

Определяем a

, a ,

2y;

2x;

1 2x 2y

. D 1 2x

4xy.

x y

D(0,0) 1; D(0,1)

1; D(1,0)

1 – нет ни max, ни min.

	1		1	1	4	1				2z
D		,					0	;	a
D		,		9	9	3	0	;	a	x
	3 3			9	9	3			11	x	2	1 1
													,
											3 3

	2	0 имеем max в

3

т.K 1,1 .3 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.92 Mб01830.pdf
#
07.01.20211.93 Mб11831.pdf
#
07.01.20211.93 Mб161832.pdf
#
07.01.20211.93 Mб41833.pdf
#
07.01.20211.93 Mб781834.pdf
#
07.01.20211.94 Mб21835.pdf
#
07.01.20211.94 Mб21836.pdf
#
07.01.20211.94 Mб31837.pdf
#
07.01.20211.95 Mб211838.pdf
#
07.01.20211.95 Mб01839.pdf
#
07.01.2021333.77 Кб1184.pdf