Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1835

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Обобщение.

Для

функции

u f (x, y,z)

критические

точки

находятся из системы уравнений:

(1)

Далее в каждой критической точке подсчитываются значения

выражений, составленных из вторых производных:

a12

a22

a11 fxx ,

fxy ,

fyy

, a13 fxz , a23

fyz , a33

fzz

a11

a12

;

(2)

a12

a22

a11

a12

a13

a12

a22

a23

(3)

Если a11 0,

a13

a23 a33

0, имеем в критической точке min.

Если a11 0,

0, – max.

В случае

функции u f (x1,x2, ,xn) цепочка (2)

(3)

увеличивается, вычисляются определители 4-го, 5-го и т.д. порядков. Если в цепочке одни +, min, если чередуются и т.д., имеем max.

Условные экстремумы

Многочисленные задачи практики приводят к необходимости

вычислять экстремумы

функции

u f (x1,x2, ,xn),

когда на

переменных x1,x2, ,xn

наложены еще m отношений (m n).

1(x1,x2, ,xn) 0;

(x ,x

, ,x

) 0;

(4)

(x ,x

, ,x

) 0.

Если из системы (4) выразить m каких-либо переменных

подставить в функцию

u f (x1,x2, ,xn), то задача

сводится

вычислению экстремума функции от n m переменных. Обычно этот процесс громоздкий, поэтому пользуются более удобным методом –

методом неопределенных множителей Лагранжа, т.е. рассматривают функцию

(x1,x2, ,xn; 1, 2, , m) f 1 1 2 2 m m . (5) Приравнивая все частные производные этой функции к нулю,

получим систему:

f				1							2							m			0;
	x																				0;
	x		1 x						2 x							m x
	1					1					1							1
f					1							2							m		0;
										2							m				0;
	x2	1			x2					2		x2					m		x2
	x2				x2							x2							x2
																				(6)
																				(6)

	f				1							2							m
	f		1		1			2				2		m					m		0;
	xn		1		xn			2				xn		m					xn		0;
							0,								0.
0,						2	0,						m		0.
	1					2							m

Система (6) состоит из n m уравнений с n m неизвестными x1,x2, ,xn, 1, 2, , m . Решая ее, мы получим критические точки условного экстремума. При выяснении вида экстремума поступают аналогично методу, изложенному в лекции №7.

Пример. Какие размеры должен иметь цилиндр заданной поверхности Q, чтобы его объем был максимальным?

V x2 y , Q 2 xy 2 x2, 2 xy 2 x2 Q 0,x2 y Q 2 xy 2 x2 .


			2 xy 2 y 4 x										xy y 2 x 0
			2 xy 2 y 4 x										xy y 2 x 0
1)		x
1)													x 2 0
			x2 2 x 0											2	0
			x2 2 x 0											2
		y											Q 2 xy 2 x
		y					4
x 2 ,						y	4	;
x 2 ,						y	3	;
							3		2
	x 0,3			Q	,		y		2	0,3	Q	.
	x 0,3				,		y			0,3		.
							3

Лекция №17. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Метод наименьших квадратов

В различных исследованиях приходится пользоваться формулами, составленными на основании эксперимента. Одним из лучших способов получения таких формул является метод наименьших квадратов.

Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами x и y, например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. Производим n измерений и по результатам составляем таблицу

	x	x1	x2	…	xi	…	xn
	y	y1	y2	…	yi	…	yn
При этом		вид	функции	y f x		устанавливается или из

теоретических исследований, или по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек.

Ограничимся рассмотрением только случая линейной зависимости. Пусть мы установили, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой

	y	ax b.	(1)
Так как точки x1;y1 ,	x2	;y2 , …,	xn;yn приблизительно

лежат на прямой, то формула (1) является приближенной. Поэтому, подставляя их координаты в формулу (1) вместо x и y, получим следующие равенства:

y1 ax1 b 1; y2 ax2 b 2;

yn axn b n,

где 1, 2,..., n – некоторые числа, которые назовем погрешностями. Теперь необходимо подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньше по абсолютной величине. Решим эту задачу методом наименьших

квадратов.

Согласно этому методу, рассмотрим сумму квадратов погрешностей:

n	n
S a,b yi axi b 2	i2 ,
i 1	i 1

где xi и yi – заданные числа, а коэффициенты a и b – неизвестные величины, подлежащие определению, то есть S a,b можно рассматривать как функцию двух переменных a и b и исследовать ее на максимум.

Таким образом, задача свелась к нахождению значений a и b, при которых функция S a,b имеет минимум.

Получим производные

S			n
S		2 yi axi b xi ;
		2 yi axi b xi ;
a			i 1
	S		n
	S		2 yi axi b .
	b		2 yi axi b .
	b		i 1

Приравнивая эти частные производные нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

yixi a xi2

b xi;

i 1

(2)

i 1

a xi bn.

i 1

Система (2) называется нормальной системой метода

наименьших квадратов.

Из этой системы мы находим числа a и b и затем, подставляя их

в уравнение (1), получаем формулу искомой прямой.

То, что функция S a,b в точке M a,b

имеет минимум, легко

устанавливается с помощью частных производных 2-го порядка.

Получим:

2 xi2,

2 xi,

2n.

a b

i 1

Следовательно,

4 n 1

x2 0,

a b

i 1

a2 0, что и требовалось доказать.

Пример.

Пусть в результате эксперимента получены пять значений искомой функции y при пяти значениях аргумента x n 5 , которые записаны в таблице. Будем искать функциональную зависимость между x и y в виде линейной функции y ax b.

x	y
– 2	0,5

11,5

4 3

При составлении нормальной системы (2) для определения коэффициентов a и b предварительно вычисляем:

5	5		5		5
yixi 16,5;	xi2	25;	xi	5;	yi	8.
i 1	i 1		i 1		i 1
Система (2) принимает вид:
25a 5b 16,5;

5a 5b 8.			a 0,425,b 1,175. Отсюда формула
Решая систему, находим:			a 0,425,b 1,175. Отсюда формула

искомой прямой есть y 0,425x 1,175.

Скалярное поле и его основные характеристики

Определение 1. Если в пространстве или пространственной области задана функция u u(x, y,z), то говорят, что задано скалярное поле, а саму функцию называют потенциалом поля. Для характеристики поля вводят следующие понятия: эквипотенциальные (или поверхности уровня) поверхности, градиент и производная по направлению.

Определение 2. Эквипотенциальными поверхностями называются поверхности, во всех точках которых потенциал один и тот же.

Возьмем (произвольную) т. M(x0, y0,z0), тогда значение

потенциала u0 u(M0) u(x0, y0,z0). А уравнение поверхности u(x, y,z) u0 или u u0 0.

Определение 3. Градиентом скалярного поля в т. M0 называется

вектор

gradu(M0)

0)i

0) j

0)k

или (в

декартовом базисе)

gradu(M

)

);

) .

gradu(M0)	направлен		по	нормали к эквипотенциальной
поверхности, проходящей через т. M0 (рис. 1).
		grad u M0
		z	●	M0 x0 , y0 ,z0
		z		M0 x0 , y0 ,z0
		k
		i	j	y
		x
			Рис. 1
Примеры: 1.		y x2, здесь y – потенциал, зависящий от одного
переменного x.		2x,0,0 .
grad y(x) 2xi		2x,0,0 .

y x2

grad y 10 20,0,0

Рис. 2

точке

x 10:

grad y(10)

20i

20,0,0 ,

он

эквипотенциальной поверхности

x 10.

Модуль

grad y(10),

т.е.

grad y(10)

20 характеризует скорость возрастания (рис. 2).

Задан

потенциал

x2 y2

т.

M0(1, 2,1).

Найти

gradu(M0),

, если a (2,2, 1)

– произвольный вектор, задающий

какое-то

направление, и

–

производную

по

направлению

gradu

градиента.

u 2x

а)

;

(M0) 2;

0) 4;

0) 5,

тогда gradu(M0) 2i 4 j 5k

или gradu(M0) (2, 4, 5).

б)

gradu

т.к.

4 4 1

3 3

– единичный вектор.

в)

gradu egr

gradu M0

т.к.

4 16 25

egr

gradu

Сравните:

egr

Определение 4.

Производная

направлении

вектора

определяется как

cos

cos ,

где e

cos ,cos ,cos

– единичный вектор направления ;

или

gradu e

gradu

cos , где – угол между gradu и

e	u	max, когда cos 1,	т.е. 0	e	gradu. Это

означает, что быстрота (скорость) изменения поля имеет

максимальное значение				в направлении градиента.	А т.к.
	u	gradu	0, то градиент направлен в сторону возрастания

	gradu

потенциала (см. рис. 2).				Если производная 0, то	функция
возрастает.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Свойства первообразной функции и неопределенного интеграла, их связь.

2.Непосредственное интегрирование, таблица интегралов.

3.Интегрирование: подстановкой (1-е и 2-е правила подстановки), по частям, рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.

4.Многочлены, каноническое разложение многочленов.

Рациональные дроби и их разложение.

5.Комплексные числа, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Эйлера.

6.«Неберущиеся» интегралы.

7.Задачи, приводящие к понятию «определенный интеграл».

8.Свойства определенного интеграла.

9.Основная теорема интегрального исчисления.

10.Теорема Ньютона – Лейбница. Связь неопределенного и определенного интегралов.

11.Вычисление определенного интеграла.

12.Квадратурные формулы.

13.Несобственные интегралы I и II рода.

14.Геометрические приложения определенного интеграла в декартовой и полярной системах координат: вычисление площадей, длин дуг, объемов и площадей поверхностей тел вращения.

15.Физические приложения определенного интеграла: работа переменной силы, давление жидкости на площадки различных профилей.

16.Определение функций нескольких переменных. Предел и непрерывность.

17.Частные производные функций нескольких переменных.

Геометрический смысл.

18. Полный дифференциал функции z f (x,y). Обобщение на

случай функции многих переменных.

19.Частные производные и полные дифференциалы сложных функций.

20.Дифференцирование неявных функций. Теоремы существования неявных функций.

21.Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

22.Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

23.Экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

24.Условные экстремумы.

25.Метод наименьших квадратов.

26.Скалярное поле и его основные характеристики

(эквипотенциальные поверхности, градиент и производная по

направлению).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.92 Mб11830.pdf
#
07.01.20211.93 Mб21831.pdf
#
07.01.20211.93 Mб211832.pdf
#
07.01.20211.93 Mб41833.pdf
#
07.01.20211.93 Mб951834.pdf
#
07.01.20211.94 Mб21835.pdf
#
07.01.20211.94 Mб21836.pdf
#
07.01.20211.94 Mб41837.pdf
#
07.01.20211.95 Mб251838.pdf
#
07.01.20211.95 Mб01839.pdf
#
07.01.2021333.77 Кб7184.pdf

f				1							2							m			0;
	x																				0;
	x		1 x						2 x							m x
	1					1					1							1
f					1							2							m		0;
										2							m				0;
	x2	1			x2					2		x2					m		x2
	x2				x2							x2							x2
																				(6)
																				(6)

	f				1							2							m
	f		1		1			2				2		m					m		0;
	xn		1		xn			2				xn		m					xn		0;
							0,								0.
0,						2	0,						m		0.
	1					2							m

f				1							2							m			0;
	x																				0;
	x		1 x						2 x							m x
	1					1					1							1
f					1							2							m		0;
										2							m				0;
	x2	1			x2					2		x2					m		x2
	x2				x2							x2							x2
																				(6)
																				(6)

	f				1							2							m
	f		1		1			2				2		m					m		0;
	xn		1		xn			2				xn		m					xn		0;
							0,								0.
0,						2	0,						m		0.
	1					2							m

f				1							2							m			0;
	x																				0;
	x		1 x						2 x							m x
	1					1					1							1
f					1							2							m		0;
										2							m				0;
	x2	1			x2					2		x2					m		x2
	x2				x2							x2							x2
																				(6)
																				(6)

	f				1							2							m
	f		1		1			2				2		m					m		0;
	xn		1		xn			2				xn		m					xn		0;
							0,								0.
0,						2	0,						m		0.
	1					2							m