Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изо-

С

термическую поверхность dF,

называется тепловым

потоком Q,

(Дж/с=Вт). Если градиент температуры для различных точек изотер-

мической поверхности различный, то количество теплоты, которое

пройдет через всю изотермическую поверхность в единицу времени

Если

найдется как

Q q dF

t

dF .

(44)

F

F

n

б

grad t во всех точках изотермической поверхности имеет

одинаковое значен е, то из (44) следует, что

Q q F .

(45)

Полное количество теплоты Q ( ж), прошедшее за время через

изотермическую поверхность F, равно:

Q

t dF d .

(46)

А

0 F

n

Из сказанного следует, что для определения количества теплоты,

проходящего через какую-либо поверхность твердого тела в процессе

И

теплопроводности, необходимоДзнать распределение температуры

внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и

является главной аналитической задачей теории теплопроводности

[1,2,5].

И

1.4. Коэффициент теплопроводности

С

q

(47)

grad

t

Из уравнения (47) следует, что коэффициент теплопроводности

численно равен количеству теплоты, которое проходит в единицу

через ед ницу изотермической поверхности при градиенте

времени

температуры, равном единице. В этом состоит физический смысл ко-

эфф ц ента теплопроводности.

необходимо

1.5. Д фференциальное уравнение теплопроводности,

условие однозначности

При решен

задач,

связанных с нахождением температурного

А

поля,

иметь дифференциальное уравнение теплопровод-

ности.

Для изотропного однородного тела, физические свойства которо-

го постоянны, т.е. не зависят от времени, температуры и пространст-

венных координат, дифференциальное уравнение теплопроводности в

декартовой системе координат имеет вид [1,4,5]

t

2t

2t

2t

c

qv ,

(48)

x

y

z

Д2 2 2

где c – массовая теплоемкость материала тела, Дж/(кг·К); − плот-

ность тела, кг/м3; qv – объемная плотность источников теплоты в теле,

Вт/м3.

И

Дифференциальное уравнение (48) можно записать и в таком ви-

де:

t

2t

2t

2t

q

v

2

2

И, (49)

a

x

y

z

2

c

где a

− коэффициент температуропроводности вещества, м2/с.

c

- физические условия, характеризующие физические свойства те-

И

ла и окружающей среды ( , c , и др.);

- временные и начальные условия, характеризующие распределе-

ние температур в начальный момент времени. Начальные условия не-

И

при 0

t (x, y, z).

(50)

В случае равномерного распределения температуры в теле на-

чальное условие упрощается:

при 0

t = t0= const.

(51)

71

В этом случае требуется определить неизвестную температуру другой

поверхности стенки. При граничных условиях третьего рода известны

С

температуры сред, омывающих с разных сторон стенку, и коэффици-

енты

между стенкой и средами.

Требуется определить

теплоотдачи

величину плотности теплового потока q.

В данной лабораторной

работе будут

о еспечены граничные условия первого ро-

t

да.

Простейшей задачей данного типа мо-

бжет служить определение температурного

t(х)

поля в плоской однослойной стенке (рис.32)

tw1

при стационарном тепловом режиме, т.е.

Аdt/dτ=0,

(52)

tw2

а также при отсутствии внутренних источ-

ников теплоты, т.е.

q

Д

q

0 .

(53)

C p

Плоской называют стенку, толщина ко-

торой δ значительноИменьше двух других

характерных размеров (ширины и длины). В

x

этом случае можно пренебречь отводом те-

плоты через торцы

стенки,

считая, что

Рис. 32. Плоская

однослойная стенка

плотность теплового потока q направлена

И

перпендикулярно большей

поверхности

2t

2t

2t

0.

(54)

x2

y2

z2

В случае изменения температуры только по одной координате х

(по толщине) будет справедливо

2t

2t

0 .

(55)

примет

y

2

d x

0 .

(56)

2

z

2

СД фференц альное уравнение теплопроводности в этом случае

в д

d 2t

Найдём закон распределения температуры по толщине стенки

при гран чных условиях первого рода:

А

бпри х = 0 t = tW1;

(57)

при х = δ

t = tW2.

(58)

Д

После двойного интегрирования уравнения (46) получим его общее

решение:

t=С1х+С2,

(59)

И

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые граничными

условиями (57).

В случае х = 0 в формуле (59) и на основании заданных гранич-

ных условий (57) получим

tW1=С2.

(60)

При х = δ на основании формул (58) и (59)

tW2=С1 δ+С2 = С1 δ+ tW1,

(61)

откуда

С

tw2

tw1

И

(62)

1

t( x )

tw2 tw1

x t

.

(63)

w1

С

Из формулы (63) видно, что температура t(х) линейно зависит от

значения х. Эта зависимость t(х)=f(х) по толщине стенки показана на

рис. 32.

и

Плотность теплового потока q может быть определена из закона

Фурье, в данном случае имеющего вид

q - grad t -

dt

(64)

dx

Д фференц руя распределение температуры по толщине стенки

(52), получ м

А

б

dt

t

w2

t

w1

(65)

dx

После подстановки уравнения (65) в формулу (64) можно опреде-

Д

лить величину плотности теплового потока по выражению

q -

dt

( t

t

).

(66)

dx

w1

w2

И

формуле:

Q qF

F( tw1 tw2 ),

(67)

И

где F – площадь поверхности стенки, м2.