Построив кумулятивную кривую, можно приблизительно установить число элементов совокупности (или их долю), значение признака для которых меньше или равно данному числу.
Си б
Рис. 1.3. Кумулятивная кривая распределения предприятий
по количествуАвыпущенных ЖБИ (задача 1.1)
Д коэффициента Джини. И
1.2. Определение степени концентрации суммарного показателя
Цель работы: приобретение навыков изучения неравномерности
распределения суммарного показателя с помощью кривой Лоренца и
Для изучения степени неравномерности распределения суммарного показателя между единицами отдельных групп вариационного ряда в статистике используются кривая Лоренца (или кривая концентрации) и рассчитанный коэффициент Джини (G). Распределение может быть равномерным и неравномерным [3] .
Задача 1.3. Имеется распределение предприятий малого и среднего бизнеса по числу работников и распределение работников по данным предприятиям. Определить степень концентрации признака с помощью построения кривой Лоренца и вычисления коэффициента Джини.
12
Таблица 1.3
Распределение предприятий по числу работников и распределение численности
|
Предприятия |
Число пред- |
Численность |
|
Кумулятивные итоги |
||
С |
приятий, % к |
работников, |
|
|
|
||
|
с числом ра- |
|
% предпри- |
% работни- |
|||
|
ботников, |
итогу |
% к итогу |
|
ятий pi |
ков qi |
|
|
чел. |
|
|
|
|
|
|
|
До 3 |
|
4,2 |
0,2 |
|
4,2 |
0,2 |
|
3-5 |
|
4,6 |
0,2 |
|
8,8 |
0,4 |
|
и |
|
|
|
|
||
|
5-10 |
|
13,1 |
1,7 |
|
21,9 |
2,1 |
|
10-20 |
|
28,3 |
6,8 |
|
50,2 |
8,9 |
|
20-50 |
|
28,7 |
14,8 |
|
78,9 |
23,7 |
|
50-100 |
|
9,7 |
10,3 |
|
88,6 |
34,0 |
|
|
работников |
|
|
|
||
|
100-500 |
|
9,7 |
33,8 |
|
98,3 |
67,8 |
|
Свыше 500 |
1,7 |
32,2 |
|
100,0 |
100,0 |
|
|
Итого |
|
100,0 |
100,0 |
- |
|
- |
|
Р е ш е |
е . 1. Рассчитать кумулятивные итоги процентов пред- |
|||||
приятий и |
|
А |
|
||||
|
. |
|
|
|
|
||
|
2. Для графического изо ражения неравномерности распределе- |
||||||
ния работников по отдельным группам предприятий, построить квадрат 100100 и на оси а сцисс откладываются значения кумулятивных итогов процента предприятий, а на оси ординат – значения куму-
лятивных итогов процента численности работников на них. каж-
дой пары значений кумулятивных итогов находится точка пересечения на графике, проводятся перпендикуляры к осям. По точкам пересечения перпендикуляров к осям строится кривая, которая и носит название кривой Лоренца.
Для Если бы каждому проценту накопленныхИ(кумулятивных) ито-
гов предприятий соответствовал такой же накопленный процент работников на них, то все точки расположились бы по диагонали квадрата, и это означало бы равномерное распределение населения по выделенным группам предприятий. Естественно, чем больше фактическое распределение двух показателей отклоняется от равномерного, тем больше кривая Лоренца удалена от диагонали. Следовательно, чем больше это удаление (вогнутость), тем выше концентрация изучаемого показателя (в нашей задаче численности работников) в определенных группах единиц (в нашей задаче на предприятиях).
13
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работников |
80 |
|
|
|
Линия равномерного |
|
|
|
|
||||||
70 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
распределения |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
итоги |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
|
40 |
50 |
|
60 |
|
70 |
80 |
90 |
100 |
|
Кумулятивные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Кумулятивные итоги предприятий, % |
|
|
||||||||||
|
|
|
Р с. 1.4. Кривая Лоренца (задача 1.3) |
|
|
|
|||||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Количественно измерить степень концентрации с помощью |
||||||||||||||
коэффициент Джини (G): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
G cumwi cumyi 1 cumwi 1 cumyi |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
или G |
pi qi 1 |
|
|
pi 1 qi. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|||||||||
где cumwi – кумулятивные доли единиц распределения; cumyi |
– куму- |
||||||||||||||
лятивные доли суммарного показателя: pi –cumwi qi –cumyi . |
|
|
|||||||||||||
|
Если пользоваться в расчетах не кумулятивными долями, а про- |
||||||||||||||
центами, то результат вычисления надо разделить на 10000. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||
|
Расчет коэффициента Джини: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
G (( 4,2 0,4 |
8,8 2,1 21,9 8,9 50,2 23,7 78,9 34,0 |
|||||||||||||
|
88,6 67,8 |
98,3 100 ) (8,8 0,2 |
21,9 0,4 50,2 2,1 |
|
|||||||||||
|
78,9 8,9 88,6 23,7 98,3 34,0 |
100 ,0 |
67,8)) |
|
|
|
|||||||||
|
(19760 ,38 13040 ,17 ) /10000 |
0,67 . |
И |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Коэффициент Джини изменяется от 0 до 1. Значение степени |
||||||||||||||
неравномерности распределения: от 0 до 0,4 – низкая; от 0,4 до 0,7 – |
|||||||||||||||
средняя; от 0,7 до 1,0 – высокая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В ы в о д . В рассмотренной задаче наблюдается средняя степень |
||||||||||||||
распределения работников по группам предприятий. |
|
|
|
||||||||||||
14
Рассчитаем коэффициент Джини для задачи 1.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
|
|
Подготовка исходных данных для расчета коэффициента Джини |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и построения кривой Лоренца |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
основсредств,ных млрдруб. |
|
предпричастота(fi) |
|
|
|
|
|
|
Удельный вес |
|
Кумулятивные |
||||
|
|
Сере- |
|
|
группы |
|
|
итоги |
||||||||
|
|
|
|
ятий, wi |
|
|
|
|
|
средств |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
по стои- |
|
|
|
|
стоимо- |
||||
|
тоимость |
|
|
|
д на |
|
|
по числу |
мости |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
xi fi |
|
предприя- |
сти ос- |
||||||||
|
|
слоЧ йят |
|
нтер- |
|
основ- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
vi |
|||||||||
|
и |
|
предпри- |
|
|
тий wнак |
|
новных |
||||||||
|
|
|
|
вала, |
xi |
|
|
|
ных |
|
|
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
средств, |
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нак |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vi |
|
|
|
|
|
|
5-7 |
9 |
|
6 |
|
|
|
54 |
0,18 |
0,12 |
|
0,18 |
|
|
0,12 |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7-9 |
16 |
|
8 |
|
|
128 |
0,32 |
0,27 |
|
0,5 |
|
|
0,39 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9-11 |
11 |
|
10 |
|
110 |
0,22 |
0,23 |
|
0,72 |
|
|
0,62 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11-13 |
8 |
|
12 |
|
96 |
0,18 |
0,2 |
|
0,88 |
|
|
0,82 |
||||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|||||
|
13-15 |
6 |
|
14 |
|
84 |
0,12 |
0,18 |
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итого |
50 |
|
- |
|
|
472 |
1 |
1 |
|
- |
|
|
- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кнулю, тем ниже степень концентрацииД.
Врассматриваемой задаче G = 0,14 характеризуетИнизкую степень неравномерности распределения стоимости основных средств по предприятиям отрасли.
Кривая Лоренца и коэффициент Джини используются для оценки качества жизни населения и развития экономики в стране.
15
1.3.Использование обобщающих показателей
вуправлении предприятием
1.3.1. Средние величины
СЦель работы: приобретение навыков оценки деятельности пред-
приятий с помощью расчета средних величин.
При констру ровании показателей, отражающих количественную сторону деятельности предприятий, статистика использует
ки к стеме эконом ко-статистических показателей осуществляется сложный вза мосвязанный процесс теоретического и эмпирического познан я. Понят я экономической науки являются определяющими в этом процессе. Экономико-статистические показатели содержат ко-
сформулличественнуюрованные экономической наукой понятия, отражающие сущность явлен й. На этапе перехода от понятий экономической нау-
условиях временибместа. Показатели необходимо конкретизировать, т.е. свести к простымАсвойствам, которые допускают операции сравнения и измерения. Показатели формализуют содержание изучаемых сторон экономических явлений и представляют собой модель их ко-
характер стику определенных свойств экономических явлений адекватно характеризуют изучаемое явление в конкретных
личественной характеристики. Чем сложнее исследуемое явление, тем труднее оно поддается формализации и моделированию. Количественное описание явлений необходимо при экономическом анализе, но при построении показателей почти всегда приходится упрощать, схе-
матизировать реальные явления, поэтому статистические показатели |
|||
лишь с известной степенью приближения отражают объективную ре- |
|||
альность. |
Используются |
||
Драссчитываются на третьей стадии |
|||
Обобщающие показатели |
|||
экономико-статистического исследования [4]. |
при ана- |
||
лизе деятельности предприятий, отраслей и экономики в целом. Они представлены абсолютными, относительными, средними величинами. Абсолютные показатели получаются в результате суммирования первичных данных. Они являются именованными числами, т.е. имеют определенную единицу измерения. Чаще всего используются натуральные единицы измерения (в том числе условно-натуральные), стоимостные (денежные), трудовые единицы. Анализ деятельности предприятий приводит к необходимости различного рода сопоставлений. В этом случае абсолютные показатели, характеризующие изу-
16
чаемые явления, рассматриваются как самостоятельно, так и в сравнении с другим показателем, который принимается за базу сравнения. В зависимости от целей анализа используются различные виды относительных величин, получаемых в результате деления двух абсолютных показателей. Они выражаются в процентах, долях, безразмерных
Сединицах. Сопоставляемые величины могут быть одноименными и
разноименными (руб./чел.; руб./м2). Основным условием правильного расчета относ тельных величин является сопоставимость сравниваемых показателей нал чие связей между изучаемыми явлениями.
Для определен я значения признака, характерного для всей изучаемойявлениясовокупности единиц, используется расчет средних величин.
Это обобщающ й показатель, характеризующий типичный уровень в конкретных условиях места и времени, отражающий вели-
чину варь рующего пр знака в расчете на единицу качественно однородной совокупности. При вычислении средних в силу действия
закона большбх ч сел случайности взаимопогашаются, поэтому можно абстраг роваться от несущественных особенностей явления. Это позволяет выяв ть закономерности, присущие массовым общественным явлениям, незаметныеАв единичных явлениях. По закону больших чисел количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются лишь в достаточно большом их числе. Сущность
его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступают определенные закономерности, кото-
рые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов. Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. В
результате взаимопогашения случайныхДотклонений средние величины, вычисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действия постоянныхИи существенных фактов в данных условиях места и времени.
Средний показатель рассчитывается только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это является основным условием научно обоснованного использования средних. Средние, рассчитанные для неоднородных совокупностей, искажают характер изучаемого общественного явления.
Что является качественной однородностью единиц? Это сходство единиц по существенным признакам, но различающихся по другим признакам. Например, качественной однородностью единиц является принадлежность промышленных предприятий к одной отрасли, но различающихся по размеру оборотных средств, объему произведен-
17
ной продукции, численности работников и т.д. Вариация – различия в значениях признака у отдельных единиц статистической совокупности. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под влиянием разнообразных условий, которые по-разному сочетаются в каждом конкретном случае. Например, заработная плата рабочего зависит от его квалификации, тарифного разряда и т.д.
Распространенным видом средних величин является средняя арифмет ческая. Она относятся к классу степенных средних, и выра-
жается формулой
С |
|
n |
|
|
|
|
xm |
||||
|
|
x m |
i 1 i |
|
, |
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
||
где т – показатель степени средней; хi – |
варианты значений признака; |
||||
п – |
вар антов значений признака. |
|
|
||
числоСредняя ар фмет ческая используется в случаях, когда объем
варьирующего пр знака для всей совокупности является суммой значений пр знаков отдельных ее единиц. Выбор вида средней определяется экономическим содержанием показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая (m=1), гармоническая (m=-1), геометрическая (m=0),
квадратическая (m=2),Аку ическая (m=3) и т.д.
В зависимости от исходныхДданных средние значения признаков могут рассчитываться по-разному. Часто среднее значение показателя вычисляется в статистике на основе итоговых показателей, рассчи-
танных для совокупности. Например, зная фонд оплаты труда предприятия и численность работников, средняя заработная плата определяется как частное от деления ФОТ на численностьИ. Если же известны значения признака у отдельных единиц совокупности, то осредненный показатель может быть рассчитан как средняя из отдельных вариантов по одной из формул различных видов средних величин, в одних случаях – как средняя арифметическая (простая или взвешенная), в других – как средняя гармоническая (простая или взвешенная), в третьих – как средняя геометрическая и т.д. Из средних величин наиболее часто встречаются средняя арифметическая простая:
x |
xi |
(1.1) |
|
n |
|
18
исредняя арифметическая взвешенная:
xxi fi ,
fi
где xi – отдельные значения признака, варианты; f i – веса каждого ва-
рианта.
Взвешенная применяется в тех случаях, когда отдельные значения признака повторяются. Если вместо абсолютных частот в распре-
делении |
меются частости (wi), выступающие в роли весов, то тогда |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x xi wi |
|
|
|
(если wi |
выражены в долях, wi 1) |
||||||
С |
|
|
или |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xi wi |
|
|
|
|
|
|
|
|
wi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
wi |
выражены в процентах, wi 100 ). |
|||||||
еслиСвойства средней арифметической используются для упроще- |
|||||||||
ния расчетов: |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Про зведен е средней арифметической величины на сум- |
||||||||
му частот |
равно |
сумме произведений вариант на частоты: |
|||||||
|
|
|
б |
||||||
|
|
|
|||||||
|
х fi xi fi . |
|
|
|
|||||
|
|
2. Если от каждой варианты признака отнять какое-либо |
|||||||
число, |
то |
новая |
средняя |
уменьшится на то же число: |
|||||
|
(xi A) fi |
|
|
A.А |
|||||
|
x |
||||||||
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Если к каждой варианте признака прибавить какое-либо |
|||||||
число, |
то |
новая |
средняя |
Дувеличится на то же число: |
|||||
(xi A) fi x A.
fi
4.Если каждую варианту признака разделить на какое-либо
число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз:
|
xi |
fi |
|
|
|
И |
|
|
|
|
x |
. |
|||
A |
|||||||
fi |
|
|
|||||
|
|
A |
|
||||
5. Если каждую варианту признака умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз:
(xi A) fi x A .
fi
19
6.Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится так как не изменится удельный вес каждой частоты.
7.Сумма отклонений вариант признака от средней арифме-
тической равняется 0: (xi x) 0 .
Задача 1.4. Имеются данные о производстве деталей рабочими бригады за смену (табл. 1.5). Определить среднюю выработку одного рабочего.
|
Произведено |
|
|
|
|
|
|
|
Таблиц 1.5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
СРаспределен |
ра очих по количеству произведенных деталей |
||||||||||||
|
Номер рабочего |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
деталей |
за |
21 |
|
|
18 |
|
|
20 |
22 |
19 |
|
|
|
смену, шт., xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Р е ш е н е . Средняя выра отка одного рабочего бригады рас- |
||||||||||||
|
А |
|
|
|
|||||||||
считывается по формуле средней арифметической простой: |
|
|
|||||||||||
|
x |
21 18 |
20 |
22 |
19 |
20 (шт.). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для интервальных рядов, при расчете средней арифметической: 1. Определяются центры (середины) интервалов. 2. Полученные центры умножают на веса (соответствующие частоты). 3. Произведения суммируют. 4. Сумму произведений делят на сумму весов.
Рассчитаем среднею стоимость основных средств по предприятиям отрасли для задачи 1.2 (табл. 1.4).
Среднее значение признака ( xi ) в каждом интервале дано в гра- |
|
фе 3. Результаты умножения вариантовД( x ) на веса ( f ) показаны в |
|
i |
i |
графе 4. |
|
Средняя арифметическая определяет наиболееИтипичное значение основных средств предприятий в данной совокупности.
x 47250 9 ,44 (млрд. руб.).
При анализе деятельности предприятия вычисляется система средних показателей. Например, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооруженности и энерговооруженности труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.
20
Кроме степенных средних в статистических исследованиях используются структурные средние, к которым относятся мода и медиана.
1.3.2. Структурные средние
Цель работы: приобретение навыков оценки деятельности предприятий с помощью расчета структурных средних.
Это особый класс средних величин [5]. Они используются для изучен я внутреннего строения и структуры рядов распределения
значен й пр знака. К данному |
классу относятся показатели моды |
|||||||||
(Мо) |
мед аны (Ме). Это дополнительные характеристики совокуп- |
|||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
которые |
спользуются в математической статистике для ана- |
||||||||
лиза формы рядов распределения [13]. |
|
|
|
|
|
|||||
Мода (на |
|
часто встречающееся значение признака у еди- |
||||||||
ниц совокупности) для дискретного ряда определяется непосредст- |
||||||||||
венно как вар ант х, |
меющий наибольшую частоту или частость. |
|||||||||
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается |
||||||||||
по формуле |
|
|
|
f2 f1 |
|
|
|
|
||
|
|
Mo |
xo h |
|
|
|
, |
(1.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
более |
( f2 |
f3 ) |
|
|
|||||
где xo |
|
|
|
( f2 |
f1) |
|
|
|
||
– начальная (нижняя) граница модального интервала; h - вели- |
||||||||||
чина интервала; |
f2 – частота модального интервала; |
f1 – частота ин- |
||||||||
тервала, предшествующего модальному; f3 |
– частота интервала, сле- |
|||||||||
|
|
А |
|
|||||||
дующего за модальным. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассчитаем структурные средние для задачи 1.2.
Наибольшую частоту (16) имеет интервал 7–9. Тогда мода нахо-
дится по формуле |
|
|
|
|
|
|
И |
|||
|
16 9 |
Д7 |
||||||||
Mo 7 2 |
|
|||||||||
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
8,2 (млрд. руб.). |
||
(16 |
9) (16 |
11) |
12 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
В ы в о д . Наиболее часто в данной совокупности встречаются предприятия, со стоимостью основных средств в размере 8,2 млрд. руб.
Алгоритм для нахождения медианы (значения признака у средней единицы ранжированного ряда):
1.Определяется её порядковый номер (Nме= fi / 2 ).
2.По столбцу накопленных частот определяется сама медиана (для дискретных рядов), или медианный интервал (для интервальных рядов).
21
3. |
Значение медианы определяется по формуле |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
SMe 1 |
|
|
|
|
|
|
M |
e |
x |
h |
2 |
, |
(1.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
fMe |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi / 2 |
|
||
где xo – нижняя граница медианного интервала; |
– порядковый |
|||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
номер медианы; |
SMe 1 – накопленная частота до медианного интерва- |
|||||||||||||
ла; fMe – частота медианного интервала. |
|
|
|
|
||||||||||
|
Рассч таем мед ану для задачи 1.2. |
|
|
|
|
|||||||||
находится |
|
NMe f |
5 |
25 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||
4. |
Порядковый номер медианы: |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
5. |
По столбцу накопленных частот определяем, что двадцать пятое |
|||||||||||||
|
предпр ят е |
|
|
в интервале 7–9. Это модальный интер- |
||||||||||
|
вал. |
руб |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Определяем значение медианы: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
M e 7 2 |
25 9 9 (млрд. руб.). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
||||||||||
|
В ы в о д . У половины предприятий стоимость основных средств |
|||||||||||||
меньше 9 млрд. |
., а у другой половины – больше. |
|
||||||||||||
|
Мода и медиана могут совпадать со значением средней арифме- |
|||||||||||||
тической, в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения [13].
Кроме аналитического способа расчета структурных средних существует графический способ расчет моды и медианы: мода опре-
деляется с помощью гистограммы, а медиана – по кумуляте.
Д Графически изобразим моду и медиану дляИзадачи 1.2.
Строится гистограмма распределения 50-ти предприятий по стоимости основных средств (рис. 1.5), для чего на оси абсцисс стро-
ится ряд сомкнутых прямоугольников, у каждого из которых основанием служит величина интервала признака (стоимости основных средств), а высотой – частота каждого интервала (число предприятий).
В прямоугольнике, имеющем наибольшую высоту, проводится две линии, как показано на рисунке, и из точки их пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение х на оси абсцисс в этой точке и есть мода.
22
Си б
Рис. 1.5. АГистограмма распределения предприятий по стоимости основных средств (графическое нахождение моды)
Для графического нахожденияДмедианы по накопленным частотам строится кумулята. Для этого из верхней границы каждого интервала на оси абсцисс восстанавливается перпендикуляр, соответствующий по высоте накопленной частоте с начала ряда по данный интервал. Соединив последовательно вершиныИперпендикуляров, получается кумулятивная кривая. Из точки на оси ординат, соответствующей половине всех частот (порядковому номеру медианы), проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Опустив из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс, находится значение медианы. Пользуясь кумулятой, можно определить значение признака у любой единицы ранжированного ряда.
23
С |
|
|
|
Кумулятивная |
|
||
|
работы |
||
Р с. 1.6. |
|
кривая распределения предприятий |
|
|
|
по стоимости основных средств |
|
|
|
1.3.3. Показатели вариации |
|
Цель |
|
: прио ретение навыков оценки деятельности |
|
предприятия на основе расчета показателей вариации. |
|||
|
|
|
Д |
Вариация – этоАразличия в численных значениях признака. Изучение отклонений от средней величины имеет большое значение в статистических исследованиях, так как в них проявляется развитие
изучаемого явления. Для измерения вариации используются показатели колеблемости: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, дисперсия.
Размах вариации R – это величина разности между максимальным и минимальным значениями признака. Недостаток показателя в том, что он опирается только на крайние значения и не учитывает из-
менения внутри совокупности: |
И |
|
R = Хmах – Хmin. |
||
(1.4) |
Среднее линейное отклонение (d) – это средняя арифметическая из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической. Показатель даёт обобщающую характеристику распределению отклонений, учитывает различия всех единиц совокупности. Чем оно меньше, тем однороднее совокупность. В ста-
24
тистической практике применяется редко, т.к. часто не улавливает степень рассеивания.
Среднее квадратическое отклонение (S) – это обобщающая характеристика размеров вариации признака совокупности. Равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от среднего арифметического. Среднее квадратическое отклонение показывает как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. В соответствии с теоремой П.Л. Чебышева (1821 – 1894) можно утверждать, что незав с мо от формы распределения 75% значений признака по-
падают в |
нтервал x 2S |
, а по крайней мере 89% всех значений по- |
С |
|
|
падают в |
нтервал x 3S [15]. |
|
И среднее л нейное, |
среднее квадратическое отклонения пока- |
|
зывают, на сколько ед ниц в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от среднего арифметического значения. Они яв-
абсолютной ния. Если распределениеАпризнака ближе к нормальному или симмет-
ляются |
|
мерой коле лемости признака и выражаются в |
и |
||
тех же ед |
цах, что |
варианты изучаемого признака. Среднее квад- |
ратическое отклонен |
е всегда ольше среднего линейного отклоне- |
|
ричному распределению, то между S и d существует взаимосвязь: S=1,25d, или d=0,8S, т.е. если d/S>0,8, то значения признака неустойчивы (в совокупности имеются аномальные значения). Среднее квадратическое отклонение является критерием надёжности средней величины. Чем оно меньше, тем лучше средняя арифметическая отражает изучаемую совокупность. Формулы расчета отклонений для
сгруппированных и не сгруппированных данных |
приведены в |
|
табл. 1.8. |
И |
|
Коэффициент вариации |
– относительный показатель вариации |
|
используется для сравнительной Доценки вариации единиц совокупно- |
||
сти и для характеристики однородности совокупности. |
анный пока- |
|
затель является критерием надежности средней величины. Совокупность считается количественно однородной и средняя арифметическая выбрана надежно, если коэффициент вариации не превышает 40%. Если коэффициент вариации превышает 40%, то это свидетельствует о большей колеблемости единиц совокупности по определенному признаку. Рассчитывается по формуле
Sx 100% ,
25
где S – среднее квадратическое отклонение: x – среднее арифметическое.
Коэффициент вариации показывает, насколько % в среднем индивидуальные значения признака отличаются от среднего арифмети-
ческого значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Формулы для расчета абсолютных показателей вариации |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показатель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы расчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
по несгруппированным |
по сгруппированным дан- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
данным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
x |
|
x |
|
f |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||||||
|
реднее л нейное от- |
|
|
|
|
xi |
x |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
клонен е, d |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
иn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
x 2 f |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Дисперсия, D |
|
|
|
xi x |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразованная фор- |
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
2 |
|
k |
2 |
fi |
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
xi |
|
xi |
|
|
|
xi |
|
|
|
xi fi |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
мула для расчета дис- |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
персии |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
|
x 2 f |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Среднее квадратиче- |
|
|
|
|
|
xi |
x |
|
|
|
И |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||
|
ское отклонение, S |
|
|
|
|
i 1 |
|
Д |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем показатели вариации для задачи 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
26
Таблица 1.9
Подготовка исходных данных для расчета показателей вариации (задача 1.2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тоимость основных средств, рурдмл. б. |
предЧслоприятий частота( fi) |
Середина |
xi fi |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
fi |
|
xi |
|
2 |
xi |
|
2 fi |
|
||||||
|
|
|
|
интервала |
|
|
xi |
x |
|
|
|
x |
|
x |
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5-7 |
9 |
|
6 |
|
54 |
|
|
3,44 |
|
|
30,96 |
|
|
11,83 |
106,50 |
|
|
|||||||||
|
7-9 |
16 |
|
8 |
128 |
|
|
1,44 |
|
|
23,04 |
|
|
2,07 |
33,18 |
|
|
||||||||||
|
9-11 |
11 |
|
10 |
110 |
|
|
0,56 |
|
|
6,16 |
|
|
0,31 |
3,45 |
|
|
||||||||||
|
11-13 |
8 |
|
12 |
|
96 |
|
|
2,56 |
|
|
20,48 |
|
|
6,55 |
52,43 |
|
|
|||||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
13-15 |
6 |
|
14 |
|
84 |
|
|
4,56 |
|
|
27,36 |
|
|
20,79 |
124,76 |
|
|
|||||||||
|
|
Итого |
50 |
|
|
472 |
|
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
320,32 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Расчет показателей вариации |
|
|
|
Таблица 1.10 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Среднее линейное |
Среднее |
|
|
Коэффициент |
|
Дисперсия |
|||||||||||||||||||
|
|
отклонение |
|
квадратическое |
|
вариации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2,16 |
|
2,53 |
|
|
|
|
|
|
26,81 |
|
|
|
|
6,41 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||
|
|
В ы в о д . На 2,53Амлрд. руб. в среднем стоимость основных |
|||||||||||||||||||||||||
средств предприятий в данной совокупности отличается от среднего |
|||||||||||||||||||||||||||
арифметического. Коэффициент вариации меньше 40%, из этого сле- |
|
дует, что данная совокупность однородна и средняя арифметическая |
|
выбрана надежно. |
И |
|
|
1.3.4. Показатели дифференциации
Цель работы: приобретение навыков оценки деятельности предприятия на основе расчета показателей дифференциации.
Анализ вариации в рядах дополняется показателями дифференциации. По первичным данным рассчитывается коэффициент фондовой дифференциации Кф, который представляет собой соотношение двух средних величин, полученных из 10% наибольших и наименьших значений признака.
27
Задача 1.6. Известны данные о размере прибыли 20 предприятий отрасли за год (в млн. руб.) Рассчитать коэффициент фондовой дифференциации.
|
3,9 |
4,1 |
|
6,7 |
5,6 |
5,1 |
10,1 |
4,6 |
5,7 |
6,4 |
5,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,2 |
6,2 |
|
6,3 |
7,2 |
9,9 |
5,8 |
4,9 |
7,6 |
7,0 |
6,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н |
|
е . 10% от общего числа – это 2 предприятия. Опреде- |
|||||||||
ляются на меньш е размеры прибыли в данной совокупности: 3,9 |
||||||||||||
доходами |
|
|
|
|
|
|
||||||
млн. |
4,1 |
млн. руб. и рассчитывается средняя по группе: |
||||||||||
Сср = (3,9+4,1)/2 = 4,0 млн. руб. Наибольшие значения прибыли: 9,9 и |
||||||||||||
10,1 млн. руб., средняя по группе составляет: хср = (9,9+10,1)/2 = 10,0 млн. руб. Коэфф ц ент фондовой дифференциации Кф = 10/4 = 2,5. Это означает, что размер при ыли у 10% предприятий с наивысшими в два с половиной раза превышает размер прибыли 10%
предпр ят й с на меньшими доходами.
Если представлены сгруппированные данные, то для характери-
стики дифференциации используется децильный коэффициент диф- |
|||||||||||||
ференциации (ДКД), рассчитываемый как соотношение десятой и |
|||||||||||||
б |
|
|
|
|
|
||||||||
первой децили (децили делят все число единиц в совокупности на де- |
|||||||||||||
сять равных частей). Удо но рассчитывать |
|
КД в процентах: |
|||||||||||
1. Первая дециль – это 10%, девятая – 90%. |
|
|
|
||||||||||
2. Устанавливаются интервалы, в которые попадают децили. |
|||||||||||||
|
|
|
А |
|
|
||||||||
3. Рассчитывается значение децилей при предположении равно- |
|||||||||||||
мерного наращения величины интервала на каждую единицу |
|||||||||||||
частоты (частости) |
SD |
|
|
|
|
90% SD |
|
|
|||||
D |
x |
|
h |
10% |
1 |
; D x |
|
h |
1 |
, |
|||
0 |
|
|
1 |
|
0 |
9 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
wD |
Д |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wD |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
где x0 – начало интервала, в который попадает соответствующая де- |
|||||||||||||
циль; h – шаг интервала; SD1 1 , |
SD9 1 – накопленные частости пред- |
||||||||||||
шествующего интервала, в который попадает соответствующая де- |
|||||||||||||
циль; wD1, wD 9 – частости этих интервалов. |
|
И |
|||||||||||
4. Определяется децильный коэффициент дифференциации:
K DKD D9 .
D1
28
Задача 1.7. Известны данные о распределении населения России по размеру среднедушевого денежного дохода в месяц в 2006 г. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.
С |
|
|
|
|
Таблица 1.11 |
||
Распределение населения РФ по размеру |
|||||||
|
среднедушевого денежного дохода на начало 2006 г. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Ежемесячный средне- |
Численность населения |
|
Накопленная час- |
|
||
|
душевой доход в руб. |
|
(в % к итогу) |
|
тость, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,9 |
|
|
до 1000 |
|
|
1,9 |
|
|
|
|
1000-1500 |
|
|
4,3 |
|
6,2 |
|
|
1500-2000 |
|
|
6,2 |
|
12,4 |
|
|
б |
|
27 |
|
|||
|
2000-3000 |
|
|
14,6 |
|
|
|
|
3000-4000 |
|
|
13,9 |
|
40,9 |
|
|
и |
|
|
52,7 |
|
||
|
4000-5000 |
11,8 |
|
|
|||
|
5000-7000 |
|
|
17,0 |
|
69,7 |
|
|
свыше 7000 |
|
|
30,3 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А |
|
|
|||
|
Данный интервальный ряд представлен закрытыми (указаны |
||||||
нижняя и верхняя границы) и открытыми (определена только одна |
|||||||
|
|
|
|
Д |
|||
граница) интервалами. Величина открытых интервалов принимается равной величине смежных с ними интервалов. В распределении по среднедушевому доходу за месяц первая дециль находиться в интервале 1500–2000, а девятая дециль – в интервале «свыше 7000»:
D = 1500 + 500·(10 -6,2)/6,2 = 1806,45руб.,
D9 = 5000 + 2000 ((90-69,7)/30,3) = 8339,93руб., ДКД = 8339,93/1806,45 = 4,6.
1 И
В ы в о д . Н аименьший уровень среднедушевого денежного дохода 10% наиболее обеспеченного населения в 2006 г в 4,6 раза превышает наивысший уровень среднедушевого денежного дохода 10% наименее обеспеченного населения.
Росстат опубликовал данные об увеличившейся степени расслоения населения страны по доходам. В условиях высокой дифференциации значительно быстрее растут доходы богатой части населения, так как сказывается эффект мультипликации, и медленнее - у
29