1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1.1. Пояснительный материал
В целом экономико-математическая формулировка и модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП) имеют следующий вид [9, 14]:
найти экстремальное (максимальное или минимальное) значение |
||||||
СибАДИ |
||||||
линейной целевой функции |
|
|
|
|
|
|
F(x)= ∑n c j x j → max(min) |
(1.1) |
|||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
при условиях-ограничениях: |
|
|
|
|
|
|
n |
≤ bi , |
|
|
|
|
|
∑aij x j |
i =1,k; |
(1.2) |
||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
= bi , |
i = k +1,m , k ≤ m; |
(1.3) |
|||
∑aij x j |
||||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
j =1,l; l ≤ n |
(1.4) |
||||
x j ≥ 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
где aij , bi , cj – заданные постоянные величины.
Стандартной задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального)
значен я целевой |
функц |
(1.1) при выполнении условий |
(1.2) – |
|
нетр в альных |
(1.4) — тр виальных, т.е. при отсутствии ограничений |
|||
типа равенств. |
При |
отсутств |
и ограничений типа неравенств, |
т.е. при |
выполнен услов й (1.3) (1.4), полученная задача будет называться
канон ческой ( ли основной) задачей линейного программирования.
тандартная задача л нейного программирования может быть преобразована в канон ческую и, наоборот, путем введения дополнительных переменных [9, 14].
Можно выделить несколько типовых задач линейного программирования, к которым сводится множество задач в различных
областях деятельности, |
в том числе на автомобильном транспорте. К |
ним относятся задачи: |
«Распределение ресурсов» («Оптимизации плана |
производства», «Оптимального выпуска продукции»); «О раскрое» («Оптимального раскроя»); «О смесях» («Об оптимальной диете», «Оптимального смешения», «Формирования рациональных смесей»); «Транспортная задача линейного программирования».
4
1. Задачу «Распределение ресурсов» можно сформулировать следующим образом: выпускается n видов продукции из m видов сырья. Известны: объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции aij, прибыль (доход) от реализации единицы j-й продукции cij, имеющийся объем i-го ресурса. Необходимо определить объем выпуска продукции каждого вида xij, позволяющий максимизировать прибыль (доход) от ее
реализации. Данную |
|
задачу |
можно |
описать |
|
с |
помощью |
следующей |
|||||||||||||
модели линейного программирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F(x)= c1 x1 |
+ c2 x2 |
+... + cn |
|
|
|
n |
|
|
|
x j |
|
|
|
||||||||
xn = ∑c j |
→ max. |
(1.5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
И(1.6) |
|||
a |
|
|
x |
+ a |
|
x |
2 |
+... + a |
|
x |
n |
|
≤ b ; |
|
|||||||
|
11 |
|
1 |
12 |
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ai1 |
x1 + ai2 x2 |
+... + ain |
|
xn |
≤ bi ; |
|
|||||||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x |
+ a |
m2 |
x |
2 |
+... + a |
mn |
x |
n |
≤ b |
m |
; |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
j |
≥ 0, |
j =1, ..., n |
Д |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Задача «О раскрое» |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
«состоит в том, |
|
чтобы выбрать один или |
|||||||||||||||||||
материала следует раскраиватьА, применяя каждый из выбранных способов.
интенс вности спользованбя рациональных способов раскроя» [2].
несколько спосо ов раскроя материала и определить, какое количество
несколькихвидов. Способ раскроя единицы материала называется
Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя. На
первом этапе определяются рациональные способы раскроя материала, на втором решается задача л нейного программирования для определения
1-й этап. «В задачах оптимального раскроя рассматриваются так
называемые рац ональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки
рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.
Пусть k – индекс вида заготовки, k = 1,.... q; |
|
i – индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р; |
|
С |
k, полученных при |
аik – количество (целое число) заготовок вида |
|
раскрое единицы материала i-м способом. |
|
5
Приведенное определение рационального способа раскроя может быть формализовано следующим образом.
Способ раскроя v называется рациональным, если для любого
другого способа раскроя i из соотношений аik ≥ аvk , k = 1, ..., q следуют соотношения аik = аvk, k = 1, ..., q» [2].
2-й этап. Если цель задачи – минимизировать количество отходов, получаемых при раскрое, то экономико-математическая модель будет следующей [2]:
|
F(x)= ∑∑n p c ji x ji |
→ min . |
|
|
|
(1.7) |
|||||
|
|
|
j=1 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
p |
|
|
≤ bk , k = 1, ...,q; |
|
|
|
|
||
|
∑∑a jik x ji |
|
|
|
(1.8) |
||||||
|
j=1 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j =1, ..., n; |
i =1, ...,; p. , |
|
|
|||||
|
x ji ≥ 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||
где j – индекс материала, j = 1,..., п; k – индекс вида заготовки, k = 1, ..., q; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
||||
i – индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р; аijk – количество |
|||||||||||
ингред ентов, тспособомкомпонентов в смеси. Известны |
количество |
j-го |
|||||||||
(целое число) |
заготовок |
вида |
k, |
полученных |
при |
раскрое |
единицы |
||||
j-го материала i-м |
; bk |
– число заготовок вида k в комплекте, |
|||||||||
поставляемом |
заказчику; |
dj |
– |
количество |
материала j-го |
вида; |
|||||
xji – количество единиц j-го материала, раскраиваемых по i-му способу |
|||||||||||
единицы |
|
|
|
а раскроя); cji – величина отхода, |
|||||||
(интенсивность использования |
|
|
|||||||||
полученного при раскрое |
единицы |
j-го |
материала |
по i-му |
способу; |
||||||
у – ч сло комплектов заготовок различного вида, поставляемых заказчику. 3. В задаче «О смеси» нео ходимо выбрать наилучший способ смешен я нгред ентов для получения смеси с заданными свойствами. Формул ровка данной задачи может звучать так: имеются п исходных
ингред ента, входящего в k-ю смесь хkj, доля i-го компонента в j-м |
||||
ингред енте аij, м |
мально допустимая доля i-го компонента в k-й смеси |
|||
bik, стоимость |
j-го ингредиента сj, |
стоимость единицы k-й смеси |
||
рk, количество имеющегося j-го ингредиента иj. Необходимо изготовить |
||||
s смесей, максимизировав |
прибыль. |
Таким |
образом, можно |
|
сформулировать модель задачи: |
|
|
||
С F(x)= ∑∑s n |
(pk −c j ) xkj |
→ max. |
(1.9) |
|
6
n |
(a |
ij |
−b |
) x |
kj |
≥ 0, i =1,..., m; k =1,..., s; |
(1.10) |
∑ |
|
ik |
|
|
|
||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∑drkj xkj |
≥ 0, |
r =1,..., w; k =1,..., s; |
(1.11) |
||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
≤ u j , j =1,..., n; |
(1.12) |
|||
∑xkj |
|||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
И |
|
≥ |
0, j =1,..., n; k =1,..., s., |
(1.13) |
||||
xkj |
|||||||
где w – количество условий, отражающих содержание j-го ингредиента в смеси; drkj – коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в k-й смеси; (1.10) – группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси; (1.11) – группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси; (1.12) – ограничения на количество
ингредиентов. |
А |
4. «Транспортная задача линейного программирования», представ- |
|
ляющая особый класс задач, будет рассмотрена позже. |
|
|
1.2. Задачи |
|
б |
Необходимо классифицировать представленныеДниже задачи и |
|
сформулировать экономико-математическую модель для каждой из них.
1. Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача |
||
ки2 |
2 |
2 |
сконструировать самый дешевый |
кузов, |
используя листовой материал, |
стекло пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в табл. 1.1.
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
Сто |
|
Материалы |
|
|
|
Характер ст |
металл |
стекло |
|
пластмасса |
|
мость, ден. ед./м2 |
25 |
20 |
|
40 |
|
Масса, кг/м2 |
10 |
15 |
|
30 |
|
Общая поверхность кузова (вместе с дверями и окнами) должна |
||||
|
составлять 14 м ; из них не менее 4 м |
и не более 5 м |
следует отвести под |
||
стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект [7]?
2. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы – не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их
7
себестоимости и октановом числе, а также о содержании серы приведены в табл. 1.2.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
Характеристика |
|
Компонент автомобильного бензина |
|
|||
№1 |
|
№2 |
№3 |
|
№4 |
|
|
|
|
||||
Октановое число |
68 |
|
72 |
80 |
|
90 |
Содержание серы, % |
0,35 |
|
0,35 |
И |
||
|
0,30 |
|
0,20 |
|||
Ресурсы, т |
700 |
|
600 |
500 |
|
300 |
Себестоимость, ден. ед |
40 |
|
45 |
60 |
|
90 |
Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует
использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной [7].
смен с правом использования его по усмотрениюДстроителей. Транспортные затраты на перевозку материалов характеризуются
3. На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20 000 м3 каменных материалов. В районе строительства имеются три карьера с запасами по 8000 м3 каждый. Для погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м3 в смену в карьерах 1 и
2 и 500 м3 в смену в карьере 3.
Эти карьеры обеспечивают каменными материалами также ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для рассматриваемого участка выделен для экскаваторов лимит 60 машино-
Спогруз оптимальныйть на первойбплощадке 230 т, на второй – 168 т. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10 т/ч, на второй – 12 т/ч. Второй
показателями: для перевозки 10 000 м3 материалов из карьера 1 требуется 1000 автомобиле-смен, из карьера 2 – 1350, из карьера 3 – 1700. Требуется
найти |
план перевозок, обеспечивающий минимальные |
|
транспортные затраты [7]. |
А |
|
|
|
|
4. Двум погрузч кам разной мощности не более чем за 24 ч нужно |
||
погрузч к на каждой площадке может погрузить по 13 т/ч. Стоимость работ, связанных с погрузкой 1 т первым погрузчиком на первой площадке, – 8 руб., на второй – 7 руб., вторым погрузчиком на первой площадке – 12 руб., на второй– 13 руб. Нужно составить план работы, т. е. найти, какой объем работ должен выполнить каждый погрузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной.
ледует учесть, что по техническим причинам первый погрузчик на второй площадке должен работать не более 16 ч [13].
5. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката; b1 тыс. л алкилата; b2 тыс. л крекинг -бензина; b3 тыс. л бензина прямой перегонки и b4 тыс. л изопентана.
8
В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях получают 3 сорта бензина: бензин A − 2:3:5:2, бензин B − 3:1:2:1 и бензин C − 3:2:1:3. Стоимости 1000 л указанных сортов бензина равны 32 000, 35 000, 38 000 единиц соответственно. Определить план смешивания компонентов из условия получения максимальной прибыли [12].
6. Требуется рационально организовать работу городского автобусного парка. Собраны данные о потребности в автобусах на одной из линий. Оказалось, что в пределах каждого из следующих друг за другом четырехчасовых интервалов требуемое количество автобусов можно считать величиной постоянной. Эти значения указаны в табл. 1.3. Продолжительность непрерывной работы автобуса не должна превышать 8 ч в сутки.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
Интервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
времени, ч |
|
24 − 04 |
04 − 08 |
08 − 12 |
12 − 16 |
16 − 20 |
20 − 24 |
|
Требуется |
|
|
|
|
|
|
|
|
автобусов |
|
4 |
8 |
10 |
7 |
12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
Минимизировать количество автобусов, выходящих на линию в |
|||||||
течение суток. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждая модель A приносит 2000 ед. прибыли, а модель B − 1000 ед. |
|||||||
Каков оптимальный |
выпуска моделей [12] ? |
|
|
|||||
|
|
объем |
Д |
|
||||
груза складские помещения клиентаА. Груз следует вывезти в два района колоннами автомо илей. Условия перевозки требуют, чтобы в составе каждой колонны, предназначенной для вывоза груза в первый район, было 8 автомоб лей повышенной проходимости марки А и 8 автомобилей общего назначен я марки Б; а в колоннах для вывоза груза во второй
7. Автотранспортному предприятию необходимо освободить из-под
район – 8 автомо лей о щего назначения марки Б и 16 – марки В.
Характер груза позволяет полностью использовать грузоподъемность всех
автомоб |
. Каждая з колонн может сделать за сутки одинаковое число |
||
ездок. |
|
|
|
Парк подвижного состава автотранспортного предприятия состоит |
|||
из 32 |
|
|
марки А грузоподъемностью 3 т, из 48 – марки Б |
|
автомобилей |
||
грузоподъемностью 4 т и из 48 – марки В, грузоподъемностью 7,5 т. |
|||
Требуется сформировать оптимальное количество колонн, чтобы |
|||
быстрее закончить эвакуацию груза [6]. |
|||
С |
|
||
8. Ежедневно в город поставляется одним видом транспорта 12 т картофеля из двух колхозов: из первого колхоза – по цене 40 руб. за 1 т, из второго – по цене 30 руб. Чтобы картофель в город был доставлен своевременно, необходимо на погрузку 12 т затратить не более 20 мин.
9
Известно, что в первом колхозе уровень механизации позволяет 1 т картофеля погрузить за 1 мин, во втором – за 4 мин. Производственные мощности этих колхозов следующие: первый колхоз должен ежедневно выделять для поставки в город не более 10 т, второй – не более 8 т. Как распределить заказы на поставку 12 т между колхозами, чтобы общая стоимость доставленного в город картофеля была минимальной [6] ?
9. Определить оптимальную производственную программу. Автомобильный завод выпускает машины типов A, B, C, D. Производственные мощности цехов и участков приведены в табл. 1.4. Определить оптимальную производственную программу [12].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 |
||
Наименования цехов и участков |
|
|
|
|
Тип машины |
|
|
|
|||
|
A |
|
|
B |
|
C |
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подготовка производства |
|
|
125 |
|
110 |
|
120 |
|
115 |
|
|
Кузовной |
|
|
80 |
|
|
320 |
|
200 |
|
160 |
|
Цех шасси |
|
|
110 |
|
110 |
|
100 |
|
170 |
|
|
Сборочный |
|
|
160 |
|
80 |
|
120 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||
Участок испытаний |
|
|
280 |
|
70 |
|
140 |
|
210 |
|
|
Прибыль от выпуска одной машины, ед. |
|
3100 |
|
2300 |
|
1800 |
|
2500 |
|
||
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|||
|
А |
|
|
|
|
|
|
||||
работают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Автозавод выпускает две модели автомобилей: A и B (более |
|||||||||||
дешевую). На заводе |
|
|
1000 |
|
неквалифицированных |
и |
|||||
800 квалифицированных ра очих, каждый |
из которых работает |
по |
|||||||||
40 ч в неделю. Для изготовления модели |
A требуется |
30 |
ч |
||||||||
СА – 0,8перевезти×1,2 м; В – 0,8×1,6 м; С – 1,0×1,2 м в соотношении 74:12:65 соответственно, всего 151 шт. Определить оптимальные способы загрузки
неквалифицированного и 50 ч квалифицированного труда. Для изготовления модели B тре уется 40 ч неквалифицированного и 20 ч квал ф ц рованного труда. Расходы на сырье и комплектующие изделия составляют 3000 условных ед ниц для модели A и 1000 условных единиц для модели B. Суммарные расходы не должны превышать 1 800 000 ед. в неделю. Рабоч , осуществляющие доставку, работают 5 дней в неделю и могут отгруз ть с завода не более 210 машин в день.
11. На автомоб ле КамАЗ-5320 (размер кузова 2,3×5,2 м)
необходимо груз на поддонах А, В и С следующих размеров:
автотранспортного средства при условии максимального использования площади кузова. Определить наиболее рациональные варианты загрузки кузова автомобиля КамАЗ-5320 [11].
10