1619

Рецензент

канд. техн. наук, доц. И.М. Князев (СибАДИ)

СибАДИ

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в

качестве метод

ческ х указаний.

М34 Математ ческ е основы надежности в приложении к технической

эксплуатац

автомо лей [Электронный ресурс]

:

методические указания /

сост. : И.В. Хамов, А.Н. Че оксаров. – (Серия внутривузовских методических

указаний С бАДИ). – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2018. – URL: http://

bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/cgiirbis 64 ft.exe.

-

Режим доступа: для

авторизованных пользователей.

комплексов», профилей

«Автомобили

автомобильное хозяйство»,

«Автомобильный сервис».

Подготовлены на кафедре «Эксплуатация

ремонт автомобилей».

надежности автомоб

лей, их агрегатов, узлов и деталей.

По результатам обработки статистических данных текущего

ремонта автомоб ля были получены величины наработки элемента

С

автомоб ля

до замены. Произвести точечную и вероятностную

наработки элемента автомобиля до замены, определить закон

распределен я случайной величины и найти вероятность отказа Fi и

безотказной

Ri

элемента в процессе эксплуатации.

Вар анты

сходных данных для расчета приведены в табл. 1.1.

оценки

Исходные данные для выполнения расчета

Таблица 1.1

работы

Вариант

Нара отка до отказа, тыс. км

1

2

1

36,6

51,1

28,8

49,8

37,3

14,5

38,2

62,8

32,5

26,9

5,3

32,5

47,3

31,3

59,4

40,8

27,7

35,4

6,2

38,4

44,5

30,7

52,0

11,1

23,4

35,7

А

66,5

38,0

45,5

55,5

25,3

49,7

69,6

20,1

44,9

22,7

19,2

58,9

39,1

18,7

2

1,8

14,7

27,9

9,0

16,6

13,7

16,2

6,4

20,4

18,8

19,3

5,2

18,9

10,3

15,4

33,4

3,6

11,4

15,9

28,1

21,6

13,2

22,5

19,1

20,9

8,3

26,7

17,3

24,7

14,0

27,4

22,2

19,0

12,5

15,6

Д

3

55,1

49,3

23,6

47,7

12,5

40,9

26,5

42,8

39,1

33,3

52,5

38,6

38,9

19,4

35,4

46,8

52,7

36,6

17,0

37,6

34,2

64,5

29,2

48,5

35,8

62,8

32,0

24,8

44,6

18,3

34,7

59,5

41,1

27,9

37,8

4

44,5

83,3

105,4

95,3

48,2

69,9

41,1

23.3

62,8

35,6

74,7

59,8

118,7

82,4

109,9

19,4

70,7

88,2

69,1

61,0

46,5

98,1

72,8

51,3

77,0

10,6

68,5

60,9

53,7

79,9

94,6

112,0И76,7 89,0 28,0

5

15,2

52,3

23,1

55,0

30,8

25,6

22,3

38,2

12,6

49,7

36,6

21,9

35,7

18,3

37,2

44,1

27,8

46,8

51,5

29,4

38,5

59,2

37,1

5,7

30,9

38,7

24,6

36,4

8,2

42,2

17,1

38,1

47,8

25,0

58,7

44,4

34,8

35,9

32,2

48,5

29,1

41,1

59,1

18,4

31,1

1

2

6

3,1

13,0

7,5

15,7

31,0

11,7

26,4

6,5

14,3

16,2

23,9

8,3

25,2

17,3

10,1

18,8

12,8

27,7

24,8

29,5

19,1

21,6

24,0

21,3

33,4

24,9

2,7

14,7

23,0

4,4

22,4

23,8

12,4

16,8

19,2

17,5

9,0

18,3

С

18,1

28,6

12,8

8,9

15,9

19,7

29,8

7

19,1

41,1

22,4

37,1

52,3

44,3

62,3

33,4

59,1

45,3

39,0

21,5

35,6

57,0

14,5

38,7

29,9

47,7

27,3

18,4

37,6

47,2

6,3

34,5

48,4

59,9

31,2

12,7

49,8

35,7

28,2

51,4

41,8

32,6

25,6

46,2

67,0

39,8

27,6

58,2

и

82,3

62,4

103,1

37,8

87,6

59,7

118,5

8

79,31

110,7

15,6

149,5

54,1

89,1

100,2

35,4

90,5

48,2

92,4

75,9

99,9

137,6

90,8

68,9

93,7

117,2

56,0

87,3

105,4

82,3

109,8

110,3

24,5

52,4

41,8

81,5

122,2

88,8

74,7

49,5

89,2

9

40,5

48,4

51,6

34,2

68,9

36,1

47,6

50,8

65,0

11,1

42,3

55,8

25,8

57,2

31,5

3,3

76,9

38,3

16,8

64,5

36,9

63,2

41,2

33,6

48,8

44,1

59,2

45,7

21,3

73,0

49,5

24,4

57,9

39,9

28,9

10

20,9

18,9

27,2

16,5

23,1

12,4

22,7

21,6

15,8

14,6

15,1

10,4

26,8

4,5

33,2

17,1

28,9

9,3

24,1

29,9

32,0

24,8

26,0

21,2

19,4

11,2

34,8

18,3

11,8

22,7

5,6

28,5

7,2

22,0

15,3

22,4

24,6

13,7

18,9

24,2

11

65,2

22,5

44,5

25,0

37,3

42,8

12,4

29,1

32,0

54,3

10,8

5,4

27,8

17,3

67,1

27,6

41,0

7,2

28,8

12,9

33,2

51,3

18,1

43,6

74,5

27,2

59,8

39,1

49,7

18,0

26,6

8,4

28,7

15,0

63,4

12

32,1

10,4

57,9

13,7

30,2

13,5

6,7

26,8

38,3

29,3

28,9

3,5

24,0

19,9бА77,4 23,2 15,0 54,3 18,9 35,1 62,1 27,3 11,5 35,7 22,6

17,8

44,5

23,5

12,4

8,9

13

43,8

8,2

28,9

32,2

18,5

23,1

48,6

19,3

54,2

13,4

11,0

69,3

2,4

49,1

29,5

37,8

10,7

24,5

7,4

35,2

38,6

9,9

13,8

21,3

55,2

18,9

5,2

31,0

12,1

27,6

27,8

47,3

27,1

6,0

17,7

39,4

16,6

28,7

57,0

15,9

Д

14

38,5

58,7

13,5

42,1

8,7

28,6

47,8

22,6

10,3

27,1

12,5

23,4

64,5

29,0

72,3

44,5

3,0

25,3

48,6

18,9

13,6

18,8

26,3

42,1

16,2

15,7

24,1

6,7

33,3

9,1

22,7

53,2

27,2

38,0

26,4

15

43,6

3,7

27,6

11,4

20,8

49,5

15,0

29,8

13,9

72,4

28,7

8,2

29,3

18,9

18,5

21,0

10,5

42,0

18,2

63,5 26,6И23,2 53,8 25,4 17,4

12,6

19,3

42,8

16,2

28,6

49,1

22,3

9,4

25,4

51,7

16

54,5

28,1

5,4

23,6

33,7

29,9

52,3

8,0

17,5

65,4

23,8

47,0

18,2

74,5

22,9

36,2

38,5

25,7

42,3

19,8

38,6

24,5

49,1

38,2

12,6

42,5

26,4

68,1

25,5

34,0

79,6

10,2

3,9

16,8

58,0

14,6

8,9

18,3

48,7

9,3

1

2

17

20,7

65,2

19,1

54,3

16,3

51,0

15,0

62,8

27,1

9,7

17,0

44,4

21,2

17,8

32,3

7,3

24,8

19,4

40,0

25,3

5,6

13,5

61,2

26,4

59,4

29,9

13,9

58,1

19,6

38,5

23,5

58,3

12,7

8,6

11,0

42,7

74,3

С

25,2

8,4

28,8

18

21,0

5,4

47,5

18,3

6,8

17,6

65,3

28,5

37,8

42,2

34,7

25,6

38,1

22,0

12,3

39,5

28,7

3,8

18,5

29,4

29,2

78,3

25,3

5,6

68,7

27,6

19,5

23,1

54,5

12,0

8,1

17,7

35,0

21,9

11,1

32,8

44,3

9,2

19,6

39,3

и

38,5

54,3

12,6

23,5

33,9

8,8

37,1

13,5

19

24,5

3,3

21,0

76,4

24,0

35,0

27,1

32,1

19,0

25,5

27,6

65,2

22,2

35,2

57,0

23,9

9,5

24,6

79,3

27,6

18,3

34,5

17,5

56,3

72,1

5,4

31,9

20

12,0

29,3

48,8

38,5

13,4

37,1

28,8

67,7

25,2

54,3

21,3

11,4

27,8

40,3

26,0

8,2

29,4

17,7

19,5

5,8

27,7

72,4

28,5

31,0

17,8

33,8

25,9

11,4

28,8

34,5

24,4

14,3

45,1

28,2

15,1

16,0

9,4

41,1

23,4

12,0

37,8

25,3

12,4

77,3

8,8

21

44,3

9,7

17,2

3,4

32,3

18,4

59,2

19,0

39,8

9,7

22,5

12,7

7,3

5,5

37,9

11,5

67,3

5,1

15,2

47,8

21,6

8,4

45,0

6,2

18,8

72,4

8,3

17,1

51,1

6,6

26,4

32,5

10,7

8,5

34,7

22

24,6

3,5

19,8

1,8

42,1

3,9

67,6

3,5

83,6

9,2

27,3

7,1

18,7

6,3

16,2

8,2

38,4

4,3

75,2

5,6

24,8

43,7

7,7

9,8

28,1

3,0

12,5

33,9

11,4

19,9

53,1

6,5

16,7

20,6

8,3

23

17,4

7,6

12,8

1,4

32,4

3,0

5,1

15,3

4,0

14,5

2,2

27,8

3,6

22,3

4,6

13,3

3,5

7,9

14,1

2,7

11,2

5,3

18,9

1,7

12,5

1,7

21,4

3,9

8,0

бА33,5

24

7,4

1,6

15,7

3,8

8,5

14,5

1,0

27,6

8,0

13,3

9,1

18,2

2,7

30,7

2,0

2,5

39,4

12,0

3,5

13,6

1,9

5,9

10,2

3,2

6,3

13,4

3,8

16,1

12,5

4,4

6,8

22,8

4,9

32,3

9,4

25

40,2

19,7

100,4

22,7

62,3

12,1

93,5

13,7

24,0

128,2

25,3

66,8

15,0

47,6

16,0

28,7

10,5

Д48,6 18,8 5,4 35,4 80,9 3,2 135,6

10,7

39,8

49,3

9,4

69,1

4,6

26

1,4

84,7

19,6

64,3

11,1

29,4

59,3

59,4

36,6

85,9

18,5

21,5

100,9

18,1

8,3

24,8

15,0

154,2

16,7

28,5

77,7

22,1

42,5

39,9

37,8

50,0

90,2

14,8

9,3

95,6

137,8

10,4

112,3

17,3

31,6

И

27

9,2

41,8

5,1

29,5

7,4 11,4 1,6 31,0 19,0 56,4 23,2 8,7 10,3

6,0

42,9

5,8

67,9

8,2

16,5

3,1

2,6

39,4

7,8

72,3

18,7

35,6

9,1

19,2

35,8

17,7

28

54,8

3,6

22,5

17,1

39,5

5,6

27,4

3,6

62,3

8,7

7,5

45,8

1,3

79,6

6,4

26,0

7,2

10,8

7,0

25,4

29,9

11,1

37,2

4,0

27,1

5,3

52,1

2,7

19,3

9,1

1

2

29

11,5

6,2

3,0

32,1

8,3

25,6

14,5

7,3

18,6

63,5

29,4

17,8

6,0

15,4

2,8

42,9

7,6

27,8

8,2

9,0

5,5

47,5

3,2

28,2

19,0

9,4

18,1

3,9

26,1

7,2

30

65,4

7,3

25,6

3,7

38,8

7,2

25,0

1,6

19,0

27,8

8,8

52,3

18,2

23,3

6,9

47,1

16,5

9,3

77,2

3,5

25,0

6,7

41,6

2,4

11,8

2,5

29,4

32,5

6,4

11,9

Пример выполнения расчета

ыли

СПо результатам о ра отки статистических данных о текущем

ремонте автомо

ля

получены величины наработки элемента

б

автомоб ля до замены: 25; 41; 48; 56; 129; 85; 112; 66; 29; 89; 118; 62; 69;

59; 91; 74; 31; 79; 88; 75; 11; 114; 45; 98; 50; 107; 81; 70; 72; 18; 72; 36; 48;

65; 5; 84.

Точечная оценка случайной величины

А

Точечная оценка позволяет предварительно судить о качестве

изделия. Чем ниже средний ресурс и выше вариация, тем ниже

качество изготовления изделия или ремонта изделия.

1. Случайные величины располагаем в порядке возрастания.

Д

5; 11; 18; 25; 29; 31; 36; 41; 45; 48; 48; 50; 56; 59; 62; 65; 66; 69; 70; 72;

72; 74; 75; 79; 81; 84; 85; 88; 89; 91; 98; 107; 112; 114; 118; 129.

И

2. Определяем размах случайной величины R:

R xmax xmin .

(1.1)

n

xi

xср

i 1

.

(1.2)

n

xср

5 11 ... 129

2402

66,7 тыс. км.

36

36

4. Определяем среднеквадратическое отклонение:

С

n

2

xi xср

i 1

.

(1.3)

n 1

2

2

2

и5 66,7 11 66,7 ... 129 66,7

тыс. км.

36 1

30,75

5. Определяем коэффициент вариации:

.

(1.4)

xср

бА

Коэффициент вариации служит для предварительного

определения закона распределения случайной величины.

Например, наиболее часто встречаются следующие законы

распределения нормальный, Вейбулла-Гнеденко, экспоненциальный.

Для нормального закона распределенияДкоэффициент вариации не

превышает 0,33; при распределении Вейбулла меняется от 0,33 до 0,9

и для экспоненциального распределения имеет значение, близкое к

1,0.

В данном примере коэффициент вариации составит:

30,75

И

0,46.

66,7

N 1 3,3 lgn.

(1.5)

сторону.

С

N 1 3,3 lg36 6.

Некоторые авторы при вероятностных оценках рекомендуют

числонтервалов рать от 5-7 до 9-11.

Шаг нтервала определяется по формуле:

h R .

(1.6)

N

h

124

21 тыс.км.

6

бА

Д

величин в 1-ом, 2-ом и последующих интервалах. Количество

случайных величин попавших в определенный интервал называется

частотой mi (4 столбец табл. 1.2).

И

Вероятностная оценка случайной величины

Таблица 1.2

и

Оценка накопленных

еред на

Частоты

Номер

СГраницы нтервала попадан я в

Частость

Дифференциальная

Вероятность

вероятностей

интервала

интервалов,

xсер i ,

нтервал mi,

ωi

функция

Pi*

отказа

безотказности

тыс.км

б

распределения f(x)

тыс.км

шт

Fi

Ri

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

5 – 26

15,5

4

0,1111

0,0032

0,0679

0,0679

0,9321

2

26 – 47

36,5

А

0,1955

0,2634

0,7366

5

0,1389

0,0091

3

47 – 68

57,5

7

0,1944

0,0125

0,2681

0,5315

0,4685

4

68 – 89

78,5

12

0,3333

0,0113

0,2426

0,7741

0,2259

5

89 – 110

99,5

4

0,1111

0,0072

0,1549

0,9291

0,0709

6

110 – 131

120,5

4

Д

0,0709

1,0000

0,0000

0,1111

0,0033

ВСЕГО

-

-

Σmi = 36

Σωi = 1

Σf(xi) = 0,0467

1,0000

-

-

И

8. Определяем относительные частоты (частость):

i

mi

.

(1.7)

n

вероятности: ωi → рi.

Для первого нтервала частость составит:

и

4

С

0,1111.

36

1

бА

9. Определяем математическое ожидание (эмпирический центр

групп рован я) M, около которого концентрируются значения опытных

данных, т.е. нара отка до отказа большинства автомобилей:

n

М pi xсерi .

(1.8)

i 1

М 0,1111 15,5 0,1389 36,5 ... 0,1111 120,5 68,6 тыс.км.

Д

10. Определяем эмпирическое среднеквадратическое отклонение

σ, которое характеризуется рассеиванием значений случайных величин

в выборке относительно эмпирического центра группирования:

n

М 2

p

.

(1.9)

x

серi

i 1

i

15,5 68,6 2 0,1111 36,5 68,6 2

0,1389 ... 30,30.

11. Вычисляем коэффициент вариацииИυ, который представляет

собой относительную безразмерную величину, характеризующую

рассеивание значений случайной величины

.

(1.10)

М