1503

Определим показатель эффективности оценки математического

ожидания как kЭ mN . Чем меньше kЭ , тем эффективнее оценка.

x

Минимум kЭ определяется числом последовательных измерений реализации СП, заданной на интервале T, и видом корреляционной

Принимая 0,1 и T 50с, получим mont2 = 0,286. Используя соотношение (1.13), найдем, что mT2 = 0,321. В то же время формула (1.14) для разного числа регистрируемых точек на интервале T дает: по 6 точкам m2N = 0,310; по 11 точкам m2N = 0,307; по 21 точке m2N = = 0,311.

Среднеквадратичная оценка при разбиении интервала реализации на 10 участках в данном примере оказалась достаточно эффективной. Приведенный пример иллюстрирует важность вопроса выбора числа отсчетов для описания реализаций СП. К такому же выводу можно прийти при рассмотрении оценок дисперсии, корреляционной функции и спектральной плотности случайных стационарных процессов и последовательностей.

На практике, как правило, корреляционная функция неизвестна, и задача по выбору оптимального числа отсчетов СП на интервале его задания не имеет решения. С другой стороны, имеющиеся экспериментальные данные и физические законы формирования и течения различных динамических процессов позволяют достаточно точно судить о максимально возможных изменениях в исследуемом процессе в единицу времени. Другими словами, речь идет об оценке максимальной частоты в спектральной плотности СП, которая значимо влияет на его форму. В качестве примера на рис. 1.8 приведена спектральная плотность функции изменения скорости ветра, полученная экспериментальным путем. На графике четко выражены синоптический максимум, соответствующий колебаниям с

периодом около 4 суток (~100 часов), и микрометеорологический максимум колебаний с периодом ~1 минута.

Рис. 1.8. Спектральная плотность изменений горизонтальной составляющей скорости ветра

частота, выражаемая в циклах в час или Гц. Такое представление позволило усилить высокочастотные составляющие процесса и увидеть наличие микрометеорологического максимума с частотой ~0,0016 Гц. Колебания с частотами более 0,3 Гц имеют ничтожную амплитуду, ими можно пренебречь, приняв за максимальную частоту процесса 0,3 Гц.

В ряде случаев информацию о максимальной частоте (частоте среза) удается получить теоретически. К примеру, в гидромеханике выведено уравнение для максимально возможной частоты изменений

колмогоровский масштаб турбулентности, выраженный через постоянные среднюю скорость диссипации кинетической энергии и вязкость воздуха . Принимая скорость ветра =10 м/с и =1см2∙с-3,

=10-1см2∙с-1, получим fmax 103Гц. Эта оценка является предельно возможной на земном шаре и, как следует из приведенных выше экспериментальных данных для изучаемой местности, ее значение более чем в 1000 раз превышает используемое на практике значение

fmax.

Значение частоты среза fmaxпозволяет для решения поставленной задачи воспользоваться теоремой В.А. Котельникова: функция, спектральная плотность которой отлична от нуля только в полосе ( fmax, fmax), полностью определяется своими значениями отсчетов,

взятых в дискретных точках аргумента через интервалы t 1 .

2 fmax

По этим отсчетам можно восстановить исходную функцию x(t), используя выражение

где x(k t)– отсчеты непрерывной функции x(t) в моменты времени

отсчетам x(k t).

Сигналы, с которыми приходится иметь дело на практике, ограничены по длительности. Такие функции формально можно описать усеченным рядом Котельникова:

Налицо отступление от классической формулы (1.15), возникает погрешность представления исходной функции

Здесь черточка над x означает усреднение.

Рис. 1.9. Иллюстрация представления произвольной функции x(t) рядом Котельникова:

а – взятие отсчетов x(tk ) через интервал t в точках (t k t);

б-г – формирование аппроксимирующих функций соответственно в точках t 0, t Δt, t 8Δt

Таким образом, для финитных (ограниченных во времени) функций использование усеченного ряда Котельникова предполагает:

Вернулись к той же проблеме: заранее надо знать спектральную плотность или корреляционную функцию исследуемого процесса.

99 % мощности ураганного ветра переносится на частотах, расположенных до микрометеорологического максимума. При штиле для переноса такой же мощности необходимо расширить спектр частот на порядок. Поэтому естественным представляется метод дискретизации функции с переменной частотой взятия отсчетов, определяемый динамическими свойствами СП на текущем отрезке времени. Такой метод получил название метод адаптивной дискретизации.

Наибольшее распространение на практике получила следующая процедура. В точке ti берется отсчет функции x(ti ) (рис. 1.10), и начинается вычисление разности зарегистрированного значения отсчета и текущей функции: x x(t) x(ti ). При превышении разностью установленного порога 0, т.е. x 0, берется новый отсчет. Полученная функция имеет вид ступенчатой кривой (рис. 1.10, а).

Рис. 1.10. Пояснение идеи адаптивной дискретизации:

а – без использования производной; б – с использованием производной

В другом варианте (рис. 1.10, б) после взятия очередного отсчета x(ti ) формируется сигнал, x*(t) x(t) x (ti ) t , где x (ti )– производная функции x(t) в момент времени ti . Очередной отсчет производится в точке, определяемой выполнением равенства

x(t) x(t) x(ti) x (ti ) t 0.

Очевидно, при таком подходе к процессу дискретизации СП исследователь в меньшей степени зависит от априорных данных. Необходимость хранения времени взятия отсчетов, т.е. ti , – недостаток адаптивного метода.

Задачи

1. Источник информации генерирует колокольные импульсы вида

e 2t2 , которые через фильтр с частотой среза fmax подлежат записи в память ПЭВМ. Определить интервал дискретизации сигнала t, если допустимая относительная погрешность последующего его восстановления не должна превышать 10%, а =20 с-1.

Решение

В соответствии с (1.4) спектральная плотность колокольного импульса

Принимая во внимание известное соотношение

и умножая числитель и знаменатель в выражении (1.17) на 12 2 , получим

где Φ z – функция Крампа.

Учитывая, что 0,1, известным способом определяем аргумент

t 12 fmax 6,56 10 2 с.

2. Найти относительную погрешность представления случайного синхронного двоичного сигнала рядом Котельникова при произвольной граничной частоте. Определить погрешность представления , если граничная частота выбирается равной fЭ .

Решение

Известно, что спектр случайного синхронного телеграфного сигнала описывается формулой

где Т– длительность посылки; h – ее амплитуда. Подставляя это выражение в формулу (1.17), получим

K 0 exp дискретизирован с шагом t. Найти погрешность представления такого процесса рядом Котельникова в зависимости от параметров и t.

Решение

Энергетический спектр случайного процесса

При ограничении полосы такого спектра частотой fmax

погрешность 1 2 arctg 2 fmax .

Принимая fmax 0,5 t , найдем 1 2 arctg t .

1.5. Модели нестационарных случайных процессов

Приступая к обработке результатов наблюдений (измерений), исследователь должен принять решение о модели изучаемого процесса и прежде всего о его стационарности или нестационарности. Классический подход при решении этого вопроса строится по следующей схеме.

При наличии m реализаций (1, 2, …, k, …, m) и разбиении интервала задания СП на n отрезков (i=1, 2, …, n) можно рассчитать

рассчитанных оценок индексом *(ti ) и построим для каждого сечения ti доверительные интервалы:

Что касается доверительного интервала для корреляционной функции, приводить его не будем из-за громоздкости выражения для

дисперсии 2* .

k

Ввыражении (1.18) индекс tβ вычисляется через β –

доверительную вероятность того, что найденная оценка попадет в

нормального распределения величин по формулам:

m D /m ; D 2D /m 1.

Охарактере связи t f ( ) можно судить по данным табл. 1.2.

Таблица 1.2

Значения используемых на практике доверительных вероятностей и связанных с ними индексов tβ