1369

Обозначим эти напряжения через σw и будем считать, что они одинаковы (рис. 7.7) по толщине полки δ ввиду ее малых размеров.

т.е. изгибающие моменты относительно главных осей инерции сечения и нормальная сила должны равняться нулю.

В связи с тем, что в поперечном сечении стержня при его стесненном кручении возникают одновременно деформации кручения и изгиба, поэтому возникают две (рис. 7.8) системы касательных напряжений.

Рис. 7.8

На рис. 7.8 τ0 – касательные напряжения от свободного (чистого) кручения и соответствующий им момент М0 – момент чистого кручения, а τω – касательные напряжения, возникающие в связи с тем, что нормальные напряжения σω в поперечном сечении стержня неодинаковы.

Напряжения τω в полках двутавра направлены в разные стороны и им соответствует так называемый изгибно-крутящий момент Mω, который вместе с моментом чистого кручения М0 создает момент Мкр, уравновешивающий внешний крутящий момент Тп= Мкр = М0+ Мω.

В связи с тем, что при стесненном кручении имеет место изгиб отдельных элементов стержня, этот вид кручения называют изгибным кручением. При этом принято следующее правило знаков: крутящий момент Мкр в рассматриваемом сечении стержня считается положи-

81

тельным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали его вектор направлен по ходу часовой стрелки, и соответственно наоборот.

Рассмотрим теперь зависимости между деформациями стержня и перемещениями его точек. При этом введем две гипотезы: деформации сдвига срединной поверхности стержня равны нулю и профиль поперечного сечения стержня считается недеформируемым.

Всоответствии с первой гипотезой предполагается, что угол между двумя отрезками, один из которых совпадает с образующей срединной поверхности, а другой – нормален к ней, не изменяется при закручивании стержня.

Всоответствии со второй гипотезой предполагается, что проекция формы поперечного сечения и его размеры на ось стержня остаются неизменными в процессе деформирования стержня. Кроме того, по этой гипотезе деформацию стержня можно представить как совокупность поворотов поперечных сечений на определенный угол вокруг некоторого полюса, при которых каждое поперечное сечение одновременно будет испытывать депланацию.

Рассматривая стесненное кручение стержня (рис. 7.9), имеющего произвольное поперечное сечение, возьмем на срединной поверхности

точку М, имеющую координаты zm и sm. Перемещения этой точки вдоль образующей (ось z) и перпендикулярно ей (по дуге) являются функциями этих координат и обозначаются соответственно u=f1(z, s) и=f2(z, s). Обе эти функции непрерывны, так как должна сохраняться цельность стержня.

z

82

Рис. 7.11

В соответствии с принятыми гипотезами, что при кручении стержня форма его поперечного сечения не изменится, точка М переместится в точку М2, которая проецируется на касательную в точку С, и отрезок МС = υ. Из геометрических построений, показанных на рис. 7.11, будет справедливо следующее равенство: υ = θr. Тогда можно

Так как в (7.6) интегрировалась частная производная от u, то в правую часть выражения введена функция u0(z), не зависящая от s, физический смысл которой выражает некоторую часть перемещения u, которая одинакова для всех точек сечения.

Произведение r ds является удвоенной площадью элементарного сектора АМm. Обозначая эту площадь через d , получим

Величину называют секториальной площадью, которая является геометрической характеристикой сечения тонкостенного стержня. Значение для различных точек профиля зависит от расположения полюса А и начальной точки М.

Секториальную площадь считают положительной, если при

движении точки по профилю сечения от начала отсчета М соответ-

ствующий радиус-вектор вращается против хода часовой стрелки.

84

В связи с тем, что для каждой точки профиля секториальная площадь имеет свое значение и знак, она называется секториальной координатой точки. Беря частную производную от u по координате z, получим

Эту формулу мы используем при изучении распределения нормальных и касательных напряжений в сечении тонкостенного стержня.

В соответствии с законом Гука можно записать, что σ = Eεz. Под-

A

В числителе выражения (7.12) интеграл dA S называется сек-

A

ториальным статическим моментом площади сечения и имеет размерность ед. длины. Он, как и обычный статический момент площади се-

85

чения, может быть как положительным (рис. 7.13), так и отрицательным, и знак его зависит от выбора начальной точки отсчета.

A

ω+ эп.

ω- ω+

M0

Рис. 7.13

Стараются выбирать положение начальной точки М0 таким, чтобы соблюдалось условие S dA 0. Тогда секториальное нормальное

A

напряжение может быть описано выражением

Выражение (7.13), называемое законом распределения нормальных секториальных напряжений, описывает закон распределения по контуру сечения тонкостенного стержня секториальных площадей.

Так как и модуль упругости Е, и для каждого сечения являются положительными, то эпюра σ имеет форму эпюры секториальных площадей , а точку М0 называют главной секториальной нулевой точкой. Кроме того, из последнего выражения следует, что если является const, то 0, и, следовательно, секториальные нормальные напряжения σ не возникнут.

Формулу для определения секториальных касательных напряжений τ выводят так же, как и формулу Журавского, т.е. вырезают в тонкостенном стержне (рис. 7.14) элемент со сторонами dz и ds.

AOTC

86

Рис. 7.14

Секториальные касательные напряжения τ , действующие в продольном сечении рассматриваемой отсеченной части, будем считать положительными, если их вектор направлен в сторону, противоположную направлению оси z. Рассматривая равновесие этого элемента, составим уравнение, описывающее сумму проекций всех сил, действующих на этот элемент, на ось z. В результате получим формулу

В связи с тем, что множитель Е для каждого сечения есть величина постоянная, секториальные касательные напряжения τ изменя-

ются по закону отношения Sотс / .

Для определения зависимостей внутренних усилий при стесненном кручении и напряжений рассматривают сечение произвольного очертания (рис. 7.15).

A

После подстановки в (7.17) выражения (7.14) для определения τ и интегрирования после несложных математических преобразований получим

87

Из анализа структуры полученной формулы (7.23), по которой определяются секториальные нормальные напряжения, нетрудно заме-

тить её аналогию с формулой Mx y, по которой определяют нор-

Jx

мальные напряжения при изгибе.

Продолжая аналогию с изгибом, возьмём первую производную от бимомента по координате z:

Из анализа структуры формулы (7.24) нетрудно заметить её ана-

логию с дифференциальной зависимостью dM Q, имеющей место в dz

изгибе.

Для вычисления внутренних силовых факторов и напряжений при стесненном кручении тонкостенного стержня используется уравнение угла закручивания, являющегося функцией по координате z и имеющего вид

В выражении (7.25) параметр m представляет собой распределенный по длине стержня внешний момент, интенсивность которого рав-

на m dM , а параметр k представляет собой отношение жёсткостей: dz

k GJd . При выводе этого уравнения использовано условие, свя-

EJ

зывающее внешние и внутренние моменты при стесненном кручении Mкр M M0 M , представляющие собой сумму изгибно-

крутящего момента М и момента чистого кручения М0.

Для случая, когда на стержень действуют только сосредоточенные моменты, уравнение углов закручивания становится однородным:

Решение дифференциального уравнения (7.26) в математике известно и имеет вид

89

Для определения постоянных интегрирования использован метод начальных параметров. Они оказались равными

Окончательное решение дифференцированного уравнения (для I-го участка) принимает вид

В уравнениях (7.29) (7.31) функции перед 0 , B0 и М 0 называются функциями влияния.

Универсальное уравнение угла закручивания аналогично универсальному уравнению прогибов метода начальных параметров и имеет вид

90