1369

1 – решение задачи в перемещениях, когда за основные неизвестные принимают перемещения u , и w, после чего определяют геометрические соотношения, а через них, используя физические соотношения, находят напряжения;

2 – решение задачи в напряжениях, когда за основные неизвестные принимают шесть функционально зависимых от координат x, y и z компонент напряжений, затем, используя физические соотношения, находят деформации, а затем, используя геометрические соотношения, – перемещения;

3 – смешанный, когда в качестве основных неизвестных принимают часть компонент напряжений и часть перемещений.

Рассмотрим способ решения задач теории упругости в перемещениях. В качестве основных неизвестных принимают перемещения u,и w, функционально зависимые от координат х, у и z.

Перемещения u x, y,z , x, y,z и w x, y,z можно определить из дифференциальных уравнений равновесия Навье. Запишем, например,

напряжений по соответствующим координатам используем соотношения закона Гука в обратной форме с подстановкой в них геомет-

ра-жений первые производные по координатам х, у и z соответст-

71

Из анализа выражения (6.13) очевидно, что скобка первого слагаемого представляет собой дифференциальный оператор Лапласа

второго порядка, который в математике обозначен символом 2 u .

Из скобки третьего слагаемого вынесем . Тогда получим, что

Подставив преобразование (6.14) в (6.13) с учётом оператора Лапласа, после группировки слагаемых получим

у и z , а затем через уравнения закона Гука находят напряжения.

Второй способ решения задач теории упругости в напряжениях предполагает, что за основные неизвестные принимаются шесть функционально зависимых от координат напряжений. Если записать,

вторые производные от уравнений закона Гука (6.11) в прямой форме и подставить их в это выражение, то после математических преобразований можно получить уравнение, в качестве неизвестных в котором выступают напряжения. Таких уравнений можно составить шесть:

72

Выражения (6.18) в теории упругости называются уравнениями Бельтрами-Митчела, выраженными через напряжения. В этих уравнениях символом J1обозначен первый инвариант напряжений, определяемый выражением

6.6. Плоская задача теории упругости

Плоская задача теории упругости рассматривает случай, когда одно из главных напряжений (например, z ) и два касательных (например, zx и zy ) с учётом парности касательных напряжений равны нулю. В плоской задаче неизвестными являются три напряжения – два нормальных x, y и одно касательное xy yx .

Различают два вида плоской задачи теории упругости – плоская деформация и обобщённое плоское напряжённое состояние.

Плоской деформацией называется деформация, при которой перемещения всех точек параллельны одной плоскости. Примером плоской деформации в транспортном строительстве может служить работа протяжённой подпорной стенки (рис. 6.5).

Предполагается, что перемещения w вдоль оси z равны нулю, так как считается, что соседние слои препятствуют их перемещению друг

относительно друга.

Рис. 6.5

73

Примером обобщённого плоского напряжённого состояния может служить работа пластины (рис. 6.6), торцовые грани которой нагружены внешней нагрузкой по её торцам, а её поверхности свободны от нагружения. Поэтому нормальные напряжения, вектор которых параллелен оси z, будут равны нулю ( z 0). Также равными нулю оказываются и касательные напряжения, в индексе которых имеется сим-

вол z yz xz 0 .

Равенство нулю указанных напряжений справедливо только для тех точек, которые располагаются непосредственно на поверхности пластины. В пределах толщины пластины эти напряжения отличны от нуля.

Рис. 6.6

Учитывая то, что толщина пластины несопоставимо мала по сравнению со всеми другими размерами пластины, делается предположение, что все напряжения внутри пластины по её толщине распределяются равномерно и, следовательно, считают, что по толщине пластины и z 0, и yz xz 0 .

Таким образом, в плоской задаче об обобщённом плоском напряжённом состоянии имеются следующие уравнения:

1) уравнения Навье (без учёта объёмных сил) x xy 0

x y

иyx y 0;x y

74

Итак, для решения плоской задачи об обобщённом напряжённом состоянии существует девять уравнений.

6.7. Решение задачи об обобщённом плоском напряжённом состоянии в напряжениях

от них соответствующие уравнению совместности производные и подставим их в это уравнение, перенося все слагаемые в левую часть:

Исключим из выражения (6.20) касательное напряжение ху. Для

этого возьмём первую производную от первого уравнения Навье по координате х, от второго – по координате у и сложим их:

75

2 х 2 ху 0х2 у2

2 ух 2 у 0х2 у2

________________________________

2 х 2 у 2 2 ху 0.х2 у2 х у

Из полученной суммы найдём, что 2 ху 2х2х 2у2у . Под-

х у 2

ставим последнее выражение в (6.20) и после его арифметических преобразований получим уравнение

Из анализа выражения (6.21) очевидно, что его первая пара представляет собой дифференциальный оператор Лапласа второго порядка от нормального напряжения х , вторая пара – от у . С учётом этого

Выражение (6.22) в теории упругости носит название соотношения Мориса-Леви.

Задача решения определения напряжений значительно упрощается, если находить не скалярные значения напряжений, а закон распределения этих напряжений. Для этого используют специальную функцию (функция Эри) х,у , зависящую от координат х и у и удовле-

ху 2 . Подставив в соотношение Мориса-Леви х и у, выра-

х у

женные через функции Эри, получим

76

В математике выражение (6.23) называется бигармоническим уравнением, которое в развёрнутом виде имеет вид

(6.24)

Бигармоническое дифференциальное уравнение (6.24) решают численными методами. Наиболее эффективными среди них являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов

(МКЭ).

77

7. ОСНОВЫ РАСЧЁТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Тонкостенными называют стержни, у которых размеры поперечного сечения несопоставимо малы по сравнению с их длиной, а толщина стенок несопоставимо мала по сравнению с размерами поперечного сечения. Так, любой профиль прокатной стали в принципе является тонкостенным стержнем.

Различают два типа тонкостенных стержней – открытого и закрытого профиля, изображённых на рис. 7.1 и 7.2 соответственно.

Существенной особенностью работы тонкостенных стержней является отсутствие при их расчетах гипотезы плоских сечений. Это связано с тем, что в процессе нагружения тонкостенных стержней появляется их закручивание и поперечные сечения при таком деформировании стержня не остаются плоскими.

Перемещение точек из плоскости поперечного сечения вдоль оси стержня называется депланацией сечения. Наибольшая депланация сечения происходит у стержней открытого профиля, значительно меньшая у стержней закрытого профиля.

7.1. Элементы расчёта тонкостенных стержней

открытого профиля

Рассмотрим виды деформирования тонкостенных стержней при

их скручивании. Различают два вида – свободное и стеснённое кру-

чения тонкостенных стержней.

78

В выражении (7.1) крутящий момент M0 является моментом чистого кручения, а Jd – геометрическая характеристика сечения, выполняющая ту же роль, что и полярный момент инерции. Для узкой поло-

моугольников (швеллер, двутавр и др.), то для определения max ис-

пользуется та же формула, только момент инерции Jd в ней определяется как сумма моментов инерции для каждого прямоугольника, умноженная на соответствующий коэффициент :

79

Значения коэффициента для некоторых форм поперечного сечения тонкостенных стержней следующие: двутавр – 1,2; швеллер –

1,12; уго-лок – 1,0.

Угол закручивания полосы определяют по формуле, структура которой похожа на формулу для определения угла закручивания круг-

GJd

где G – модуль сдвига.

Рассмотрим теперь особенности стеснённого кручения. Стесненным называется такой вид деформирования тонкостенно-

го стержня, при котором депланация различных по длине стержня поперечных сечений становится неодинаковой.

Рассмотрим деформирование тонкостенного стержня (рис. 7.5) двутаврового поперечного сечения, жесткозаделанного одним концом в стену. Из рис. 7.5 видно, что депланация сечения, непосредственно примыкающего к заделке, будет равна нулю, т.е. положение этого сечения никак не изменится. Наибольшая депланация будет у сечения, свободного от закрепления. Так как перемещения точек разных сечений по длине стержня будут различными (εz ≠ 0), то появятся относительные удлинения волокон, что приведет к появлению в поперечных сечениях и касательных, и нормальных напряжений.

Представим скручивающий момент Mz = T в виде пары сил F, под действием которых одновременно с закручиванием двутавра происходит и изгиб его полок в противоположных направлениях.

Рассечём мысленно двутавр плоскостью и, отбросив часть его, получим, что в оставшейся части под действием пар сил F произойдёт его закручивание и изгиб полок.

Эпюры нормальных напряжений в сечении оставшейся части имеют такой вид, который показан на рис. 7.6.

80