1369

Полученная формула (5.12) является приближённой из-за принятых при её выводе предпосылок. Об одной из них, о неупругом ударе,

говорилось в начале этого раздела. На практике таких ударов прак-

тически не встречается. Кроме того, не учтено то, что происходит деформирование тела в месте удара по нему падающего груза. Учёт этого приводит к значительной корректировке значения динамиче-

ского коэффициента в сторону его уменьшения. Но процесс учёта местных деформаций весьма трудоёмкий. Поэтому в инженерной практике для определения динамического коэффициента использу-

ют формулу (5.12), полагая, что его завышенное по сравнению с точным значение идёт в запас прочности рассчитываемого элемента конструкции.

В случаях, когда нужно определить лишь порядок значения дина-

мического коэффициента, можно отказаться от учёта весов соуда-

ряемых тел. Тогда формула (5.12) принимает вид

Обобщая приведённые теоретические обоснования расчёта элементов конструкции на ударное воздействие, можно отметить то обстоятельство, что, по сути, динамический расчёт, основываясь на

61

формуле (5.11), сводится к статическому расчёту, в общем виде описываемому формулой

В выражении (5.14) Sдин представляет собой искомое (изгибающий момент, напряжение, перемещение и т.д.) динамическое усилие, а Sстат статическое усилие, определяемое от статического приложения силы, равной весу падающего груза.

дин

Рис. 5.4

В сопротивлении материалов различают два вида удара – продольный (рис. 5.4, а) и поперечный (рис. 5.4, б).

При продольном ударе направление движения падающего груза совпадает с продольной осью тела, на которое падает груз.

При поперечном ударе направление движения падающего груза перпендикулярно продольной оси тела, на которое падает груз.

62

6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

6.1. Общие замечания

Известно, что наука о механике деформируемого твёрдого тела содержит ряд направлений, основополагающим из которых является сопротивление материалов. Все остальные направления (строительная механика, теория упругости, теория разрушений и т.д.) базируются именно на сопротивлении материалов.

Так, теория упругости, как и сопротивление материалов, занимается расчётом на прочность, жёсткость и устойчивость элементов конструкций. Но отличительной особенностью теории упругости является то, что она для решения задач при определении напряжённого и деформированного состояния тела, которое по своей природе всегда внутренне статически неопределимо, использует более строгие методы, чем это имеет место в сопротивлении материалов. Так, в теории упругости отсутствуют такие гипотезы, как гипотеза плоских сечений (изгиб), гипотеза прямых радиусов (кручение круглых стержней) и др. Поэтому для решения задач в теории упругости используется математический аппарат, значительно более сложный, что позволяет получать точные решения, и те решения задач, которые выполнены методами сопротивления, являются частными случаями более общих методов расчёта теории упругости.

Кроме того, теория упругости часто решает задачи, которые невозможно решить методами сопротивления материалов. К таким задачам относятся расчёты пластин, оболочек, балки-стенки, массивных тел и другие.

Сопротивление материалов часто не может решить задачи, связанные с выявлением местных напряжений, с решением вопросов, связанных с концентрацией напряжений в местах отверстий.

Назначение теории упругости заключается в том, чтобы давать решение задач, которые невозможно получить методами сопротивления материалов и оценивать точность и пределы применимости решения задач по уравнениям сопротивления материалов. Как и в сопротивлении материалов, в теории упругости рассматриваются три группы уравнений – статические, геометрические и физические.

6.2. Статические уравнения

Выделим из тела, нагруженного внешними силовыми воздействиями, элементарный параллелепипед с длинами сторон соответственно dx, dy и dz. При этом предполагается, что рассматриваемый па-

63

Из анализа рис. 6.1 видно, что на гранях элементарного параллелепипеда имеется 18 составляющих напряжений, из которых неиз-

вестными являются девять: х, у, z, yx, xy, yz, zy, xz и zx. Однако с учётом закона о парности касательных напряжений всего неизвестных

остаётся шесть составляющих напряжений х, у, z, yx, xz, yz. Кроме указанных составляющих напряжений в теле элементарно-

го параллелепипеда присутствуют так называемые объёмные силы, к которым относятся: сила тяжести, силы инерции, электромагнитные силы и др.

Для определения искомых составляющих напряжений рассмотрим равновесие элементарного параллелепипеда, составив уравнения статики, представляющих три суммы проекций всех сил, включая объёмные, на соответствующие оси и три суммы моментов относительно этих осей. Покажем, например, уравнение, описывающее сумму проекций всех сил, действующих на гранях параллелепипеда, на ось х.

можно составить ещё два, выполнив предыдущую процедуру, спроецировав все силы, действующие на элементарный параллелепипед, на оси у и z. В итоге получим три уравнения, которые в теории упругости называются статическими уравнениями равновесия, носящие имя её автора Навье.

осей, например оси у, можно записать

65

В уравнениях (6.7) коэффициенты l , m и n представляют собой так называемые направляющие косинусы углов, которые составляет нормаль к наклонной площадке, которой параллелен вектор полного напряжения Р , с положительным направлением соответствующей оси, т.е. l cos ,x ; m cos , y и n cos ,z .

В случае совпадения наклонной площадки с поверхностью тела уравнения (6.7) можно использовать для определения характера и величины действия на эту поверхность внешней нагрузки. Поэтому выражения (6.7) являются условиями на поверхности и могут рассматриваться как одни из граничных условий при решении задач теории упругости.

Уравнения Навье (6.4), представляющие собой дифференциальные урав-нения равновесия, и условия на поверхности (6.7), представляющие собой формулы для определения напряжений на наклонных площадках,

66

Тогда относительные линейные деформации сторон бесконечно

Относительные линейные деформации считаются положительны-

ми, если они являются деформациями удлинения; угловые относи-

тельные деформации (деформации сдвига) считаются положительны-

ми, если стороны элемента составляют между собой острый угол.

Обобщая выполненные аналитические рассуждения, можно сфор-

мировать следующую систему (6.9) дифференциальных соотношений,

именуемых в теории упругости уравнениями Коши:

Если из соотношений (6.9) исключить перемещения u, и w, то между компонентами деформаций можно получить шесть (6.10) диф-

68

ференциальных соотношений, именуемых в теории упругости усло-

виями совместности (неразрывности) деформаций Сен-Венана.

Неразрывность деформаций определяется условием, по которому

бесконечно малые элементы, выделенные из деформируемого тела,

должны так деформироваться, чтобы между ними не было абсолютно

никаких разрывов, т.е. тело должно оставаться сплошным по всему

его объёму.

Уравнения (6.10) неразрывности необходимы и достаточны толь-

ко для тел с так называемой односвязной областью, в пределах кото-

рой любая замкнутая линия непрерывной деформации может быть

стянута в точку таким образом, чтобы она не пересекала поверхности

тела.

Примером односвязной области может служить сплошной шар, а многосвязной – замкнутое сплошное кольцо.

6.4. Физические уравнения

Физические соотношения устанавливают связь между напряжениями и деформациями. В общем случае пространственной задачи для упругого материала такими соотношениями являются, что известно из курса сопротивления материалов, уравнения закона Гука:

69

где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга); G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига); – коэффициент Пуассона.

Соотношения (6.11) в теории упругости называются законом Гука в прямой форме. Закон Гука, выраженный через объёмную деформацию , носит название закона Гука (6.12) в обратной форме:

вается постоянной Лямэ.

6.5. Способы решения задач теории упругости

С учётом статических, геометрических и физических соотношений в теории упругости получены системы, содержащие пятнадцать уравнений с пятнадцатью неизвестными, которыми являются шесть компонент напряжений, шесть компонент деформаций и три компоненты перемещений. Для определения этих пятнадцати неизвестных в теории упругости разработано три способа:

70