1369

Уравнение нулевой линии принимает вид прямой в отрезках ах и

Формулы (3.31) можно использовать для решения обратной задачи, когда по положению нулевой линии при известных ах и ау находят координаты положения силы F, соответствующие положению заданной нулевой линии.

3.8. Ядро сечения

Рассмотрим теперь характерные особенности, связанные с положением нулевой линии n n. На рис. 3.13 показано произвольное сечение массивной колонны.

Рис. 3.13

Будем перемещать сжимающую силу F по лучам, исходящим из центра тяжести сечения. Так, если сила F будет располагаться на оси

Это означает, что нулевая линия при любом положении силы F будет

41

обязательно параллельной оси Оу. Будем перемещать силу F вдоль оси Ох от центра тяжести сечения к его краю. Если сила F будет располагаться в (·) 0, то нулевая линия будет находиться в бесконечности. Если же сила F будет располагаться в (·) 1, то такому её положению будет соответствовать положение нулевой линии I–I. В (·) 2 нулевая линия займёт положение II–II и т.д. В соответствии с этим, если перемещать силу F по радиусу OE, то будет иметь место такое же перемещение нулевой линии.

Выполним анализ, отражённый на рис. 3.14, где показано произвольное сечение стержня.

nC

Рис. 3.14

Расположим силу F в точке А, такому положению силы F соответствует нулевая линия nA – nA. При положении силы F в точке В нулевая линия займёт положение nB – nB. Эти линии пересекаются в точке D. Теперь поместим силу F в точку С и разложим ее по методу рычага на две силы FA и FB, от одновременного приложения которых нормальное напряжение в точке D σD = 0. При этом нулевая линия займет положение nC – nC. Изложенное позволяет говорить о том, что при движении силы F по линии АВ нулевые линии будут вращаться вокруг точки D.

Рассмотрим теперь более общий случай соответствия положений сил и соответствующих этим положениям нулевых линий.

42

IV

y B

A

3 2

I 90 O

4 III

II

IV

I III

II

Рис. 3.15

Найдем на луче ОА точку 1, когда нулевая линия I–I будет касаться контура сечения. Теперь на луче ОВ найдём точку 2 и соответствующую ей нулевую линию II–II. Аналогичную процедуру можно выполнить бесконечное число раз, определяя каждому положению нулевой линии точку приложения силы F. На рис. 3.15 показана пунктирная линия, построенная вокруг центра тяжести сечения. Она ограничивает некоторую область, характерную тем, что при расположении сжимающей или растягивающей силы внутри этой области абсолютно во всех точках поперечного сечения стержня будут возникать напряжения одного знака. Такая область, очерченная вокруг центра тяжести сечения, носит название ядро сечения. Если сжимающая или растягивающая сила F будет находиться за пределами ядра сечения, то нулевая линия будет располагаться в пределах поперечного сечения, деля его на сжатую и растянутые зоны.

Рассмотрим случаи построения ядра сечения для наиболее характерных форм поперечных сечений стержня. На рис. 3.16 показано прямоугольное поперечное сечение. Проведем нулевую линию I–I так, чтобы она касалась верхнего контура и была параллельна оси х. Тогда координаты, которая эта линия отсекает на соответствующих осях, окажутся равными ах = ∞; аy = h/2. По формулам (3.32) найдём значения координаты приложения силы F, соответствующие заданному по-

диуса инерции для прямоугольника, как известно, равен следующему

43

Рассмотрим круглое сечение, изображённое на рис. 3.17. Здесь достаточно рассмотреть положение одной нулевой линии, для которой

Rчено прямыми, и соответственно наоборот.

Рис. 3.17

44

4.УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

4.1.Основные понятия

При расчете сжатых элементов конструкций (рис. 4.1) не всегда оказывается достаточным ограничиваться расчетами на прочность. Это связано, например, с тем, что при использовании высокопрочных материалов из расчета только на прочность достаточной оказывается относительно небольшая площадь поперечного сечения стержня при достаточно больших внешних нагрузках, действующих на этот стержень. В этом случае безопасная работа стержня будет определяться не только площадью поперечного сечения стержня, но и его длиной. При одной и той же сжимающей силе F чем меньше длина стержня, тем он

любом возможно малом отклонении от указанного положения система, будучи предоставлена сама себе, возвращается в исходное положение.

Рис. 4.2

Неустойчивым равновесным состоянием системы называется та-

кое, при котором она, будучи отклонённой от равновесного со-

стояния, не возвращается в исходное положение и продолжает от

него отклоняться.

45

Положение равновесия системы считается безразличным, если при любом возможно малом отклонении ее от исходного система, будучи предоставлена сама себе, остается сколь угодно долго в отклоненном положении.

На рис. 4.2 показаны приведённые определения трёх равновесных состояний. Левый шарик иллюстрирует безразличное равновесное состояние, средний – устойчивое, правый – неустойчивое. Аналогично этому применительно к сопротивлению материалов можно сказать, что если при бесконечно малом увеличении сжимающей силы F (см. рис. 4.1)

стержень не получает значительных изменений равновесного состояния, а после снятия нагрузки возвращается в исходное положение, то это значит, что имеет место устойчивое равновесие, и соответственно наоборот.

F F

Рис. 4.3

Одной из задач расчёта сжатых стержней является определение величины той силы, при которой происходит смена равновесных состояний стержня. В соответствии с этим можно дать следующее определение: критической Fкр называется такая сила, при бесконечно малом увеличении которой происходит переход от устойчивого к неустойчивому равновесному состоянию.

На рис. 4.3 представлены некоторые виды потери устойчивости равновесия упругих систем.

4.2.Вывод формул для определения критической силы для сжатого стержня при различных видах его закрепления

В зависимости (4.2) знак минус поставлен потому, что при выбранных направлениях осей координат кривизна является отрицательной, а момент – положительный. Приравняем выражения (4.1) и

Уравнение (4.3) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка, описывающим продольный изгиб сжатого стержня, шарнирно опёртого с обеих сторон. Общее решение дифференциального уравнения (4.3), являющегося в математике стандартным, имеет вид

Постоянные интегрирования A и B найдем из условия закрепления стержня: (0)z 0 0 и (l)z l 0. Подставив эти данные в (4.4), получим два уравнения

Получилась система (4.5) линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных A и B, ненулевые значения которых возможны в том случае (известно из математики), когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю:

Раскрыв определитель, получим тригонометрическое уравнение

Выполнение условия (4.7) возможно для бесконечного ряда значений kl = π, 2π, 3π,…, π, каждому из которых со-

ответствует своя критическая сила и соответствующая ей форма потери устойчивости. Из равенства kl n най-

Из выражения (4.8) получим формулу для определения критической силы:

47

На основании формулы (4.9), меняя параметр n, можно определить величины критических сил, каждой из которых (рис. 4.5) соответствует своя форма потери устойчивости.

Рис. 4.5

В инженерных расчетах, как правило, определяют наименьшую величину Fкр. Поэтому для рассмотренного закрепления стержня формула для определения критической силы Fкр принимает вид

Анализ формулы (4.10) говорит о том, что критическая сила Fкр прямо пропорциональна жесткости и обратно пропорциональна его длине. Кроме того, из (4.10) видно, что критическая сила Fкр не зависит от прочностных характеристик материала стержня и поэтому

Fкрсж сжатия абсолютно отлична от Fкррастрастяжения.

Следует отметить, что при определении осевого момента инерции Jmin необходимо учитывать то важное обстоятельство, что потеря устойчивости стержня происходит из плоскости, момент инерции относительно которой минимальный.

48

Ненулевое решение системы (4.15) возможно лишь при условии, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю.

сюда k2 n2 2 . Следовательно, наименьшая критическая сила, ко- (2l)2

торая будет при n = 1, определится из формулы

Рассматривая стержень (рис. 4.7), шарнирно закреплённый с одной стороны и защемлённый с другой и подверженный действию сжимающей силы F, изгибающий момент в произвольном сечении z может быть описан выражением

Аналогично предыдущей задаче решение не- Рис. 4.7 однородного дифференциального уравнения (4.20)

можно записать так:

В решении (4.21) неизвестными являются параметры A, B и Q/F, которые, как и в предыдущем случае, найдем из граничных условий, в

50