Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1095

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

867.12 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

Кафедра информационной безопасности

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА

ЛАГРАНЖА

Методические указания к выполнению лабораторной работы для студентов

факультета ИСУ

Составитель М.Я. Епифанцева

Омск Издательство СибАДИ

2008

УДК 519.6 ББК 22.19

Рецензент канд.физ.- мат. наук, доц. Л.Н. Романова

Работа одобрена научно-методическими советами специальностей 090105, 080801 в качестве методических указаний для студентов всех специальностей факультета ИСУ.

Интерполяционная формула Лагранжа: Методические указания к выполнению лабораторной работы для студентов всех специальностей факультета ИСУ / Сост. М.Я. Епифанцева. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2008. – 16 с.

Методические указания предназначены для студентов специальностей факультета ИСУ в рамках курса «Вычислительная математика», но могут использоваться студентами других специальностей при работе с интерполяционной формулой Лагранжа. Методические указания содержат вывод формулы Лагранжа, алгоритм работы для вычисления значений функции в заданных точках, примеры записи функции заданной степени, формулы для оценки погрешностей полученных результатов, приведены варианты индиивидуальных заданий.

Табл.1 . Ил.2. Библиогр.: 2. назв.

Введение

Частным случаем задачи приближения одной функции к другой является интерполяция. Речь пойдет о приближении функции одной переменной. Задачи интерполяции возникают в практике инженера в случае:

-интерполирования табличных данных;

-получения аналитической зависимости по экспериментальным данным;

-замены сложной с вычислительной точки зрения функции более простой зависимостью;

-приближенного дифференцирования и интегрирования;

-численного решения дифференциальных уравнений.

Цель работы: вычислить значение функции, заданной таблично, в точках, не совпадающих с узлами, используя интерполяционную формулу Лагранжа.

Порядок выполнения работы

1.Изучить теоретический материал.

2.Составить программу для решения задачи, отладить её.

3.Решить заданный вариант контрольного задания.

4.Составить отчет, содержащий задание, листинг программы, вычисленные значения функции.

5.Защитить лабораторную работу.

1. Постановка задачи
Исходная функция y f( x) задана на	отрезке [a, b]	в
виде таблицы с неравноотстоящими узлами	xi 1 xi const.	Для

аналитической записи этой функции с помощью интерполяционной формулы необходимо выполнение условия, состоящего в том, что исходная функция и заменяющая её функция n x должны совпадать в узлах, то есть необходимо выполнение условия

f xi n xi , где ì = 0,...,n.

(1)

Функцию y f( x) представим в виде полинома степени п:

L x a	0	a x a		2	x2 ... a	n	xn.	(2)
n			1
Воспользуемся для этого			полиномами, каждый из которых в
точке х = хi , где i = 0,1… принимает значение у = 1 , а								во всех
остальных узлах x x0,x x1,…,x xi 1,x xi 1,…,x xn								обращает

y y0 y1 ... yi 1 yi 1 ... yn 0.

Рис. 1. Полином, принимающий значение равное единице в точке xi

1,i j;

Pi x

0,i j.

На рис. 1 изображен полином. Так как искомый полином обращается в 0 в точках, x0 ,x1...xi 1,xi 1,xn , то он имеет вид

Pi x Ci x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn ,

(3)

где Ci - постоянный коэффициент.

Значение этого коэффициента может быть найдено при x xi, так

как P xi 1,
Ci x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn 1,								(4)
откуда
Ci			1				.	(5)
Ci	x x x x x x			x x	x x	n	.	(5)
	0	1	i 1	i 1		n

Подставляя (5) в (3), получим

P x	x x0		x x1	x xi 1	x xi 1	x xn		.	(6)
			x x x x		x x
i	x x	0				x x	n
	i		1	i 1	i 1	i

Степень полинома равна п. Нумерация точек начинается с 0 и заканчивается п при этом i-я точка выпадает. Полученный полином представляет исходную функцию у = f(x) только в одной точке. Для представления всей таблично заданной функции таких полиномов потребуется п.

																Ln x													n																	(7)
																Ln x								Pi x yi .																						(7)
																												i 0
								2. Частные случаи полинома Лагранжа
		Рассмотрим частные случаи полинома Лагранжа при n 1;																																											n 2;
n 3.					n 1
		Для			n 1						исходная			таблица															функции										будет				выглядеть
следующим образом:																x				x
																x		0		x
																		0				1					,
																y		0		y							,
тогда по формуле (7) имеем:																		0				1
тогда по формуле (7) имеем:																									x x1										x x0
							L x P x y						P x y												x x1						y				x x0							y .
							L x P x y						P x y																		y											y .
								1			0	0	1					1							x			0	x				0			x x					1
		Для случая п =2:																										0	1								1			0
		Для случая п =2:												x					x x
														x			0		x x				2
																	0			1			2
														y			0		y y					2			.
																	0			1				2
L	x P				x y			P			x y P		x y							x x1 x x2																	y					x x0 x x2					y
L	x P				x y			P			x y P		x y																								y										y
2				0			0		1		1	2			2				x		0			x x						0		x		2				0			x x		0	x x		2		1
	x x0 x x1																				0								1	0				2							1		0	1		2
	x x0 x x1									y2 .
	x	2	x	0	x	2	x			y2 .
		2		0		2		1
		Для случая п=3:
													x			0	x x				2		x			3
																0		1			2					3
													y			0	y y					2		y			3		.
																0		1				2					3

L3 x P0 x y0 P1 x y1

P2 x y2 P3 x y3

x x1 x x2 x x3

x x0 x x2 x x3

x0 x1 x0 x2 x0 x3

x1 x1 x1 x2 x1 x3

x x0 x x1 x x3

x x0 x x1 x x2

x2 x0 x2 x1 x2 x3

x3 x0 x3 x1 x3 x2

Рассмотрим конкретный пример. Дана таблица значений функции y= Ln(x). Вычислить значение функции в точке 2,5, используя интерполяционный полином Лагранжа.

			Значения функции y=Ln(x)				Таблица 1
			Значения функции y=Ln(x)

X		2		3	4		5

Y		0,6931		1,0986	1,3863		1,6094
	Используем		первые три значения		в	качестве узлов

интерполирования, получим:

L2 x x 3 x 4 / 2 3 2 4 0,6931

x 2 x 4 / 3 2 3 4 1,0986

x 2 x 3 / 4 2 4 3 1,3863 0,0589x 0,7000x 0,4713;

L2 2,5 0,9103.

Полином третьей степени строим по четырём узлам


L			x	x 3 x 4 x 5		0,6931		x 2 x	4 x 5		1,0986
				2 3 2 4 2 5				3 2 3 4 3 5
	3
		x 2 x 3 x 5					x 2 x 3 x 4
					1,3863					1,6094 0,0089x3
		4 2 4 3 4 5					5 2 5 3 5 4

0,1390x2 0,9214x 0,6849;L3 x 0,9139.

Для сравнения укажем, что в четырёхзначных таблицах значение

Ln(2,5)=0,9139.

3. Оценка погрешностей

Построенный полином Лагранжа совпадает с исходной функцией f x в узловых точках, во всех остальных точках Ln(x) представляет

Рис.2. Блок-схема метода Лагранжа

функцию f x на отрезке [a,b] приближенно. Без вывода запишем формулу, используемую для оценки погрешностей:

f x Ln x

f n 1

(8)

n 1 !

n 1

где R x остаточный член или

погрешность;

f n 1 n 1

производная от исходной функции, при этом будем предполагать, что f x на отрезке a ≤ x ≤ b изменений х будет иметь все производные до

n 1 порядка включительно; точка	a,b , она придаёт
максимальное значение функции f n 1 ,	n – степень полинома;

n 1 x x0 x x1 x xn .

Оценим погрешность функции, заданной таблицей, выберем

степень		полинома				n 2, заданная					функция	y=lnx.	Найдем
производную			третьего				порядка:				y 1/ x,y 1/ x2 ,y 1/ x3.
Очевидно, что				максимальное					значение y'''			получим	при x=2:
y'''=2/23=1/4.
		R	x			1		2,5 2 2,5 3 2,5 4				0,0156.

		3			4 1 2 3

	Алгоритм выполнения задания по лабораторной работе
представлен на рис. 2.
								4. Задания
	Используя			интерполяционную						формулу Лагранжа,			вычислить
значения		функции в				указанных				точках. В		таблично	заданных
функциях шаг таблиц постоянный.

	№1					№2					№3	№4
	X	У			X			У	X		У	X	У
	3,50	33,1154		0,115			8,65729		0,15		0,860708	0,45	20,1946
	3,55	34,8133		0,120			8,29329		0,20		0,818731	0,46	19,6133
	3,60	36,5982		0,125			7,95829		0,25		0,778801	0,47	18,9425
	3,65	38,4747		0,130			7,64893		0,30		0,740818	0,48	18,1746
	3,70	40,4473		0,135			7,36235		0,35		0,704688	0,49	17,3010
	3,75	42,5211		0,140			7,09613		0,40		0,670320	0,50	16,3123
	3,80	44,7012		0,145			6,84815		0,45		0,637628	0,51	15,1984
	3,85	46,9931		0,150			6,61659		0,50		0,606531	0,52	13,9484
	3,90	49,4024		0,155			6,39986		0,55		0,576950	0,53	12,5508
	3,95	51,9354		0,160			6,19658		0,60		0,548812	0,54	10,9937
	x= 3,52			x = 0,121					x = 0,17			x = 0,455
	x = 3,93			x = 0,161					x = 0,58			x = 0,535

	№5		№6		№7		№8
X	У	X	У	X	У	X	У
0,34	-0,14476	1,340	4,25562	0,15	4,4817	0,01	0,991824
0,35	-0,15970	1,345	4,35325	0,16	4,9530	0,06	0,951935
0,36	-0,17446	1,350	4,45522	0,17	5,4739	0,11	0,913650
0,37	-0,18906	1,355	4,56184	0,18	6,0496	0,16	0,876905
0,38	-0,20350	1,360	4,67344	0,19	6,6859	0,21	0,841638
0,39	-0,21779	1,365	4,79038	0,20	7,3891	0,26	0,807789
0,40	-0,23195	1,370	4,91306	0,21	8,1662	0,31	0,775301
0,41	-0,24598	1,375	5,04192	0,22	9,0250	0,36	0,744120
0,42	-0,25991	1,380	5,17744	0,23	9,9742	0,41	0,714193
0,43	-0,27371	1,385	5,32016	0,24	11,0232	0,46	0,685470

x = 0,345		x = 1,361		x = 0,155		x = 0,027
x = 0,427		x = 1,384		x = 0,238		x = 0,451

	№9		№10	№11		№12
X	У	X	У	X	У	X	У
0,180	5,61543	0,101	1,26183	1,415	0,888551	1,215	0,106044
0,185	5,46693	0,106	1,27644	1,420	0,889599	1,220	0,113276
0,190	5,32634	0,111	1,29122	1,425	0,890637	1,225	0,119671
0,195	5,19304	0,116	1,30617	1,430	0,891667	1,230	0,125324
0,200	5,06649	0,121	1,32130	1,435	0,892687	1,235	0,130328
0,205	4,94619	0,126	1,33660	1,440	0,893698	1,240	0,134776
0,210	4,83170	0,131	1,35207	1,445	0,894700	1,245	0,138759
0,215	4,72261	0,136	1,36773	1,450	0,895693	1,250	0,142367
0,220	4,61855	0,141	1,38357	1,455	0,896677	1,255	0,145688
0,225	4,51919	0,146	1,39959	1,460	0,897653	1,260	0,148809
x = 0,181		x = 0,102		x = 1,416		x = 1,227
x = 0,217		x = 0,151		x = 1,457		x = 1,253

	№13		№14	№15		№16
X	У	X	У	X	У	X	У
1,5	0,35620	3,5	1,25276	1,234	-6,94647	3	1,211023
1,7	0,44990	3,6	1,28093	1,244	-7,08945	5	1,816535
1,9	0,52912	3,7	1,30833	1,254	-7,23617	7	2,170736
2,1	0,59774	3,8	1,33500	1,264	-7,38678	9	2,422046
2,3	0,65827	3,9	1,36097	1,274	-7,54145	11	2,616977
2,5	0,71241	4	1,38629	1,284	-7,70035	13	2,776248
2,7	0,76139	4,1	1,41098	1,294	-7,86366	15	2,910909
2,9	0,80610	4,2	1,43508	1,304	-8,03156	17	3,027558
3,1	0,84724	4,3	1,45861	1,314	-8,20426	19	3,130449
3,3	0,88532	4,4	1,48160	1,324	-8,38198	21	3,222489
x = 1,48		х = 3,68		х = 1,246		х = 2,7
х = 2,87		х = 4,23		х = 1,315		х = 19,5

			№17			№18			№ 19	№20
	X		Y		X	Y		X	Y	X	Y
	0,15		-0,68424	1,90		1,584241	1,47		-0,30788	0,05	-1,0804
	0,21		-0,56288	1,95		1,607884	1,48		-0,30111	0,08	-0,9109
	0,27		-0,47224	2,00		1,63093	1,49		-0,29437	0,11	-0,7961
	0,33		-0,39987	2,05		1,653406	1,5		-0,28768	0,14	-0,7091
	0,39	-0-,33961		2,10		1,67534	1,51		-0,28104	0,17	-0,6391
	0,45		-0,288	2,15		1,696759	1,52		-0,27444	0,2	-0,5804
	0,51		-0,24286	2,20		1,717685	1,53		-0,26788	0,23	-0,5300
	0,57		-0,20274	2,25		1,73814	1,54		-0,26136	0,26	-0,4858
	0,63		-0,16664	2,30		1,758147	1,55		-0,25489	0,29	-0,4464
	0,69		-0,13383	2,35		1,777722	1,56		-0,24846	0,32	-0,4109
	х = 0,16				х = 1,92			х = 1,475		х = 0,064
	х = 0,66				х = 2,33			х = 1,559		х = 0,30

			№21			№22			№23	№24
	X		У		X	У		X	У	X	У
0,007			-1,78961	5,05		0,926241	0,34		-1,07881	0,789	-2,9018
0,008			-1,74145	5,10		0,936093	0,35		-1,04982	0,79	-2,9078
0,009			-1,69896	5,15		0,94585	0,36		-1,02165	0,791	-2,9138
0,010			-1,66096	5,20		0,955511	0,37		-0,99425	0,792	-2,9197
0,011			-1,62659	5,25		0,965081	0,38		-0,96758	0,793	-2,9257
0,012			-1,59521	5,30		0,97456	0,39		-0,94161	0,794	-2,9317
0,013			-1,56634	5,35		0,983949	0,4		-0,91629	0,795	-2,9377
0,014			-1,53961	5,40		0,993252	0,41		-0,8916	0,796	-2,9437
0,015			-1,51472	5,45		1,002468	0,42		-0,8675	0,797	-2,9497
0,016			-1,49145	5,50		1,011601	0,43		-0,84397	0,798	-2,9557
	x = 0,0079				х = 5,16		х = 0,387			х = 0,780
	х = 0,0151				х = 5,48		х = 0,424			х = 0,793

			№25			№26			№27	№28
	X		У		X	У		X	У	X	У
	3,75		42,5211	0,135		7,36235	0,30		0,740818	0,190	5,3263
	3,80		44,7012	0,140		7,09613	0,35		0,704688	0,195	5,1930
	3,85		46,9931	0,145		6,84815	0,40		0,670320	0,200	5,0664
	3,90		49,4024	0,150		6,61659	0,45		0,637628	0,205	4,9461
	3,95		51,9354	0,155		6,39986	0,50		0,606531	0,210	4,8317
	4,00		54,5982	0,160		6,19658	0,55		0,576950	0,215	4,7226
	4,05		57,3975	0,165		6,00551	0,60		0,548812	0,220	4,6185
	4,10		60,3403	0,170		5,82558	0,65		0,522046	0,225	4,5191
	4,15		63,4340	0,175		5,65583	0,70		0,496585	0,230	4,4242
	4,20		66,6863	0,180		5,49543	0,75		0,472236	0,235	4,3333
	x = 3,76			x = 0,136			x = 0,32			х = 0,198
	x = 4,17			х = 0,172			х = 0,74			х = 0,237

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021860.64 Кб121090.pdf
#
07.01.2021861.56 Кб31091.pdf
#
07.01.2021861.56 Кб21092.pdf
#
07.01.2021863.41 Кб61093.pdf
#
07.01.2021865.27 Кб21094.pdf
#
07.01.2021867.12 Кб51095.pdf
#
07.01.2021867.27 Кб21096.pdf
#
07.01.2021868.03 Кб71097.pdf
#
07.01.2021869.98 Кб21098.pdf
#
07.01.2021870.91 Кб71099.pdf
#
07.01.2021188.09 Кб111.pdf