920

где n – численность выборочной совокупности; Sост– среднее квадратическое отклонение результативного признака у от теоретических значений ~y ; ~y – значение результативного признака, полученное путем подстановки значений факторного признака х в уравнение регрессии; Sx – среднее квадратическое отклонение фактического признака.

Параметры уравнения регрессии b и a признаются типичными,

если tфакт больше tтабл: ta tтабл tb . Табличные значения t-критерия Стьюдента приведены в [5].

2. Определение значимости уравнения регрессии. В некоторых случаях разброс точек корреляционного поля настолько велик, что для принятия решения в управлении нельзя ориентироваться на полученное уравнение регрессии, так как погрешность во взаимосвязи анализируемых явлений будет высокая. Адекватность проверяется с помощью расчета средней квадратической ошибки уравнения регрессии (Se) – это среднее квадратическое отклонение фактических значений у относительно значений, рассчитанных по уравнению регрессии ỹ. Величина Sе – это показатель значимости и полезности прямой, выражающей соотношение между признаками. Величина Se сопоставляется со средним квадратическим отклонением результативного признака Sу. Если Se < Sу, то использование уравнения регрессии является целесообразным. Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг прямой, тем меньше средняя квадратическая ошибка уравнения.

где yi – фактические значения результативного признака, полученные по данным наблюдения; ỹ – значение результативного признака, полученные путем подстановки значений факторного признака х в уравнении регрессии; k – число параметров в уравнении регрессии (в линейном уравнении регрессии k = 2).

Этапы построения множественной корреляционнорегрессионной модели рассмотрены в учебном пособии [5].

Для решения практических задач исследуется влияние факторов производства на его конечные результаты. Поэтому из корреляционных связей выделилась совокупность математико-статистических моделей, которые выражают зависимость результативных показателей от производственных факторов. Существует самостоятельное направление исследований – производственные функции.

60

Производственная функция – это математическая модель исследуемого явления или процесса, которая в форме уравнения или их системы описывает зависимость результативного показателя от одного или ряда производственных факторов.

К производственным функциям относятся корреляционные и функциональные связи, которые моделируют зависимости производственных показателей от одного или ряда факторов. Производственные функции моделирую связи, которые имеют место в реальной производственной сфере. Они практически используются для решения аналитических, проектных и управленческих вопросов.

5.5.Вопросы к зачету

1.Основные виды моделирования.

2.Цели моделирования и требования, предъявляемые к моде-

лям.

3.Виды моделей при управлении производством

4.Физический смысл коэффициента регрессии.

5.Определение коэффициента детерминации.

6.Понятие ошибки аппроксимации.

7.Определение коэффициента корреляции.

8.Определение модели.

9.Понятие детерминированной модели.

10.Понятие стохастической модели.

11.Производственная функция.

12.Основные критерии значимости.

13.Отличие функциональной зависимости от корреляционной.

14.Принципы сетевых моделей.

5.6.Список рекомендуемой литературы

1.Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Ecxel: учебное пособие для вузов Г.В. Горелова, И.А. Кацко 3-е изд., доп. и перераб. // Серия «Высшее образование». – Рос-

тов н/Д: Феникс, 2005. – 480 с.

2.Громыко Г.Л. Общая теория статистики: практикум // Г.Л. Громы-

ко. - М.: Инфра, 2000. –138с.

3.Гусаров В.М. Статистика: учебное пособие для вузов. / В.М. Гусаров. – М.:Аудит, ЮНИТИ, 2003 г.

61

4.Мальцев Ю. А. Экономико-математические методы в транспортном строительстве: учебное пособие / Ю.А. Мальцев; ВТУ. – Балашиха: ВТУ, 2006. – 248 с.

5.Конорева А.А Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли: учебное пособие /

А.А. Конорева, М.Ю. Харинова. - Омск: СибАДИ, 2012. – 156 с.

6.Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач / И.В. Орлова – М.: Вузовский учебник, 2005. – 144 с.

7.Основы системного анализа и математического моделирования инженерных задач: методические указания к лабораторным работам / сост.: А.А. Конорева, А.Б. Цырульникова, Е.А. Голубева; СибАДИ, кафедра ЭиУДХ. – Омск: СибАДИ, 2001. –52 с.

8.Рау В. Г. Практический курс математики и общей теории статистики: учебное пособие / В. Г. Рау. – М. : Высшая школа, 2006. - 126 с.

9.Салин В.Н. Статистика: учебное пособие / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова, Е.П. Шпаковская. – М.: КноРус, 2007. – 290 с.

10.Системный анализ и математическое моделирование: методические указания к выполнению курсовой работы / сост. А.А. Конорева; СибАДИ, кафедра ЭиУДХ. – Омск: СибАДИ, 2008. – 24 с.

11.Статистика: методические указания к выполнению курсовой работы

/сост. А.А. Конорева, Н.Ю. Кузнецова; СибАДИ, кафедра ЭиУДХ. – Омск: Си-

бАДИ, 2005. – 45 с.

12.Статистика: учебное пособие / под ред. проф. М.Р. Ефимовой – М.:

Инфра, 2002. – 336 с.

62

6. МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИОННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

6.1. Математическое программирование

Для построения наилучшей модели при изучении технических, экономических систем необходимо полнее изучить проблему, т.е. составить адекватную модель и на её основе выбрать оптимальный вариант. Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл техноэкономических задач.

Математическое программирование – это прикладная матема-

тическая дисциплина, изучающая методы нахождения оптимума при наличии ограничений на переменные [11]. Часто математическое программирование понимается как распределение ограниченных ресурсов наилучшим способом для достижения поставленных целей. В настоящее время оптимальное программирование используется в оперативном управлении отдельными технологическими процессами. В строительстве это оптимальное управление перевозками строительных материалов, конструкций и деталей; оптимальное управление запасами строительных материалов, расходом энергетических затрат; оптимальное календарное планирование выполнения строительномонтажных работ и др. Оптимальные задачи при этом реализуются разными методами математического программирования.

Модель задачи математического программирования состоит в определении целевой функции (критерия) и ограничений в виде неравенств.

Экономической целью задач математического программирования обычно является отыскание такого плана, при реализации которого достигается минимум затрат на выполнение определенного объема работ (производство фиксированной продукции), минимум транспортных расходов для оказания услуг или максимум получаемой прибыли, выпускаемой продукции, эффекта при ограниченных ресурсах.

Наиболее важной при постановке задач оптимального программирования является задача выбора критерия, в соответствии с которым должна производиться оптимизация. Критерий должен отражать

63

цель, ради достижения которой решается задача и должен иметь количественное выражение. В строительстве в качестве критерия могут рассматриваться издержки производства, прибыль, объемы производства, улучшение ритмичности строительства, повышение производительности труда строителей.

В реальных условиях производства решается целый комплекс взаимоувязанных задач оптимального программирования. Главным требованием к критериям при этом является непротиворечивость критериев и соответствие их глобальному критерию. В строительстве как специфичной отрасли производства глобальным критерием является ввод в действие основных фондов для обеспечения роста производства. В качестве одного из существенных ограничений должны рассматриваться контрольные сроки ввода объектов в действие.

Основные особенности классификации методов математического программирования следующие: 1) вид математического выражения целевой функции и ограничений; 2) степень динамичности модели; 3) непрерывность функций; 4) степень неопределенности функций [11].

По виду математических выражений существует линейное и нелинейное программирование. Если целевая функция и ограничения линейны, т. е. являются функциями первой степени относительно совокупности всех своих переменных, то задачи относятся к классу задач линейного программирования. Если же в модели все математические выражения, или хотя бы одно из них, нелинейны, т. е. степень переменных в функции отличается от первой, в выражении есть произведения переменных, или в модели есть трансцендентные функции, то такие задачи относятся к классу задач нелинейного программирования.

По степени динамичности методы подразделяются на статические и динамические. Если задача поставлена в статике, т. е. рассматривается какой-то один период времени, или задача решается в один этап, то для решения ее используются статические методы, и, наоборот, если в математической модели предусматривается нахождение оптимума в зависимости от изменения не только переменных, но и времени, или в ходе решения алгоритмом предусматривается разделение статической задачи на несколько этапов, решаемых последовательно, то такие задачи решаются методами динамического программирования.

Если целевая функция и функции ограничений непрерывны, а на переменные не наложено ограничение целочисленности, то такие

64

задачи решаются методами непрерывного программирования. Если наблюдаются разрывы целевой функции или функций ограничений, или на переменные наложено ограничение целочисленности, то такие задачи решаются методами дискретного программирования.

Если целевая функция и ограничения заданы детерминированными математическими выражениями, то такие задачи могут решаться детерминированными методами. Если целевая функция или хотя бы одно ограничение заданы случайными функциями, законами распределения вероятностей или вероятностями, то такие задачи должны решаться методами стохастического программирования.

Особый класс задач представляют задачи эвристического про-

граммирования. Эвристическое программирование – это нахождение оптимального решения с включением элементов эвристики. Эвристика – наука, изучающая закономерности творческого мышления и занимающаяся разработкой методов, аналогичных методам творческого мышления человека.

С помощью математической модели и меры эффективности можно оценить разные решения и выбрать наилучшее. В линейном программировании, благодаря вычислительным методам, эта задача решается автоматически.

В строительстве существует большой класс задач, решаемых методами линейного программирования. Они используются для оптимизации экономических и технических процессов (оптимальное закрепление карьеров за участками дорог, определение оптимальной структуры парка дорожно-строительных машин, материальное обеспечение строительства и т.д.).

Пример [6]. При построении модели линейного программирования, описывающей процесс поставки щебня из нескольких промышленных карьеров для строительства дороги (на асфальтобетонный и цементобетонный заводы, а также для устройства щебеночного основания на линии) выявлен ряд факторов, влияющих на конечные экономические результаты строительства:

1)стоимость щебня в карьерах (отпускная цена);

2)стоимость транспортировки материала от карьера до приобъектного склада, которая зависит от расстояния перевозки и принятой транспортной схемы (карьер – автоперевозка; карьер – железнодорожная перевозка – автоперевозка и т.п.);

3)возможные потери щебня в процессе перегрузки материала с одного вида транспорта на другой;

65

4)различная сложность организации транспортного процесса и управления при доставке материала из одного и нескольких карьеров (поставка щебня одним поставщиком, естественно, позволяет сравнительно легко создать диспетчерскую систему управления перевозками, при нескольких поставщиках эта задача усложняется и становится дороже);

5)степень экономической стабильности поставщиков и их дисциплинированность при выполнении договорных обязательств (карьер может иметь низкую отпускную цену на щебень, но находиться на грани банкротства, либо экономическое положения стабильно, но предприятие часто нарушает сроки поставки и оговоренный договором фракционный состав материала).

Анализируя все пять факторов – переменных системы, можно

установить: на первый и пятый фактор стройка влиять не может, а может только их учитывать при выборе альтернатив (т.е. поставщик может устроить строителей, либо от его услуг следует отказаться). Эти факторы следует перевести в разряд ограничений. Третий и четвертый факторы не оказывают существенного влияния (железнодорожная станция имеет специальную выгрузочную площадку, где потери на перегрузах близки к нулю; наличие устойчивой связи с поставщиками не создает проблемы контроля за отправкой и перевозкой грузов). Их также можно включить в разряд ограничений, либо просто не учитывать при построении модели. Существенным и управляемым оказывается второй фактор.

6.2. Содержание модели линейного программирования

Сокращение издержек производства на доставку строительных материалов и конструкций на объекты строительства достигается за счет рационального закрепления потребителей за поставщиками и рациональной организации их доставки. Задача, которая при этом решается – оптимизация поставок строительных материалов, т.е. нужно найти такое решение, при котором стоимость продукции франкостроительная площадка будет наименьшей. Эта стоимость складывается из двух частей: отпускной цены франко-склад поставщика и расходов по доставке к объекту строительства. На первую составляющую (отпускную цену) потребители влиять не могут и принимают ее такой, какой диктуют поставщики. На вторую часть (расходы по доставке) потребители могут и должны влиять. Задача при этом – свести

66

эту часть расходов к минимуму за счет оптимального плана прикрепления потребителей к поставщикам продукции. Критерием оптимальности такой задачи может быть минимум транспортной работы в тон- но-километрах или минимум транспортной работы в рублях. Первый критерий (тонно-километры) рекомендуется применять при использовании транспорта одного вида и равной стоимости единицы продукции (например, автотранспортом по дорогам одного класса). Второй (рубли) – в случае применения транспорта разного вида (например, автомобильного и железнодорожного) или только одного вида, но с разной стоимостью единицы продукции.

Итак, задача формулируется следующим образом. Ряд поставщиков располагает определенным количеством данного материала. Ряд потребителей (строительные объекты) заинтересованы в получении этого материала. Известно, какое количество данного материала (в физических единицах) имеется у каждого поставщика на пункте отправления и сколько его требуется в каждом пункте потребления.

Требуется разработать такой план поставок, при котором весь данный материал из каждого пункта поставки будет вывезен, потребности каждого пункта потребления будут полностью удовлетворены, стоимость перевозки будет минимальна.

Ограничения в этой задаче выражаются тем, что каждый поставщик может поставить только строго определенное количество данного материала, а каждый получатель может принять также строго определенное количество этого же материала.

Математическая формулировка следующая: Пусть имеется m пунктов отправления:

A1, A2, A3, ... , Am,

в которых сосредоточены запасы какого-то однородного товара (груза) в количестве соответственно a1, a2, a3, ... , am единиц;

имеется n пунктов назначения:

B1, B2, B3, ... , Bn,

подавших заявки соответственно на b1, b2, b3, ... , bn единиц товара (груза).

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запа-

сов:

67

Известна стоимость Cij перевозки единицы товара от каждого пункта отправления Ai до каждого пункта назначения Bj. Матрица стоимостей перевозки Cij задана:

C11 C12 ... C1n

C21 C22 ... C2n

...

Cm1 Cm2 ... Cmn

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки были бы выполнены, и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна.

При такой постановке задачи показателем эффективности плана перевозок является стоимость.

Поставим эту задачу как задачу линейного программирования. Обозначим хi – количество груза, отправляемого из i-го пункта

отправления Аi в j-й пункт назначения Вj (i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n). Неотрицательные переменные х11, х12,..., хmn должны удовлетворять следующим условиям:

1.Суммарное количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте.

2.Суммарное количество груза, доставляемое в каждый пункт изо всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом.

Суммарная стоимость всех перевозок, т.е. сумма величин хij, умноженных на соответствующие стоимости Сij должна быть мини-

68

Все эти условия удобнее записать в так называемую транспортную таблицу. В ней указывается:

-пункты отправления и назначения;

-запасы, имеющиеся в пунктах отправления;

-заявки, поданные пунктами назначения;

-стоимости перевозок из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения.

Образец транспортной таблицы приведен в табл.6.1. Примечание. Стоимости перевозок помещены в правом верхнем

углу ячейки, с тем, чтобы в самой ячейке при составлении плана помещать перевозки xij.

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана.

План называется опорным, если в нем отличны от нуля не более r = m + n-1 базисных перевозок хij, а остальные перевозки равны нулю (где m – количество строк транспортной таблицы, n – количество столбцов).

Таблица 6.1

Макет транспортной таблицы

69