393
.pdf
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
N ui2 |
( ui )2 |
; |
(35) |
|||||
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
N |
|
|
||
1 N uivi |
ui |
vi ; |
(36) |
||||||
|
|
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
||
|
|
N |
N |
N |
|
N |
|
||
2 |
ui2 vi uivi ui ; |
(37) |
|||||||
|
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
|
||
A |
|
1 |
; |
B |
2 |
, |
(38) |
||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого найти параметры a и b по одной группе из двух формул (8, 11, 14, 17, 20, 23, 26).
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Результаты эксперимента приведены в табл. 2.
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
Таблица |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
1,40 |
2,49 |
4,66 |
7,16 |
|
9,07 |
10,56 |
13,93 |
16,16 |
17,76 |
20,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём аппроксимирующие зависимости по всем предложенными формулам (с учебной целью, хотя возможно, что некоторые зависимости явно не являются решениями задачи), построим графики эмпирической и аппроксимирующей зависимостей в одной системе координат и выберем оптимальный вариант по наименьшему значению суммы квадратов отклонений. Решение выполним в Excel.
11
Для отличия экспериментальных и аппроксимирующих значений экспериментальные значения функции будем обозначать y, а аппроксимирующие значения функции y1.
1. Линейная у1=ax+b.
i |
x |
y |
xx |
xy |
y1 |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,4 |
1 |
1,4 |
0,62 |
0,61 |
2 |
2 |
2,49 |
4 |
4,98 |
2,78 |
0,09 |
3 |
3 |
4,66 |
9 |
13,98 |
4,95 |
0,08 |
4 |
4 |
7,16 |
16 |
28,64 |
7,11 |
0,00 |
5 |
5 |
9,07 |
25 |
45,35 |
9,28 |
0,04 |
6 |
6 |
10,56 |
36 |
63,36 |
11,44 |
0,78 |
7 |
7 |
13,93 |
49 |
97,51 |
13,61 |
0,10 |
8 |
8 |
16,16 |
64 |
129,28 |
15,77 |
0,15 |
9 |
9 |
17,76 |
81 |
159,84 |
17,94 |
0,03 |
10 |
10 |
20,4 |
100 |
204 |
20,10 |
0,09 |
|
55 |
103,59 |
385 |
748,34 |
|
1,98 |
у1= |
ax+b |
|
|
|
|
|
= |
825 |
|
|
|
|
|
= |
1786 |
|
a= |
2,16 |
|
|
= |
-1276,6 |
|
b= |
-1,55 |
|
|
12
Рис. 1
13
2. Степенная у1=bха.
I |
x |
y |
u=Ln(x) |
v=Ln(y) |
uu |
uv |
y1 |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,40 |
0,00 |
0,34 |
0,00 |
0,00 |
1,27 |
0,02 |
2 |
2 |
2,49 |
0,69 |
0,91 |
0,48 |
0,63 |
2,93 |
0,19 |
3 |
3 |
4,66 |
1,10 |
1,54 |
1,21 |
1,69 |
4,78 |
0,02 |
4 |
4 |
7,16 |
1,39 |
1,97 |
1,92 |
2,73 |
6,77 |
0,15 |
5 |
5 |
9,07 |
1,61 |
2,20 |
2,59 |
3,55 |
8,87 |
0,04 |
6 |
6 |
10,56 |
1,79 |
2,36 |
3,21 |
4,22 |
11,05 |
0,24 |
7 |
7 |
13,93 |
1,95 |
2,63 |
3,79 |
5,13 |
13,32 |
0,38 |
8 |
8 |
16,16 |
2,08 |
2,78 |
4,32 |
5,79 |
15,65 |
0,26 |
9 |
9 |
17,76 |
2,20 |
2,88 |
4,83 |
6,32 |
18,04 |
0,08 |
10 |
10 |
20,40 |
2,30 |
3,02 |
5,30 |
6,94 |
20,49 |
0,01 |
|
bха |
|
15,10 |
20,63 |
27,65 |
37,00 |
|
1,39 |
у1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
48,36 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
58,44 |
|
A= |
1,21 |
a= |
1,21 |
|
|
= |
11,48 |
|
B= |
0,24 |
b= |
1,27 |
|
|
Рис. 2
14
3. Показательная вида у1=bеах.
i |
X |
y |
u=x |
v=Ln(y) |
uu |
uv |
y1 |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,40 |
1,00 |
0,34 |
1,00 |
0,34 |
2,23 |
0,69 |
2 |
2 |
2,49 |
2,00 |
0,91 |
4,00 |
1,82 |
2,95 |
0,21 |
3 |
3 |
4,66 |
3,00 |
1,54 |
9,00 |
4,62 |
3,91 |
0,57 |
4 |
4 |
7,16 |
4,00 |
1,97 |
16,00 |
7,87 |
5,17 |
3,97 |
5 |
5 |
9,07 |
5,00 |
2,20 |
25,00 |
11,02 |
6,84 |
4,98 |
6 |
6 |
10,56 |
6,00 |
2,36 |
36,00 |
14,14 |
9,05 |
2,28 |
7 |
7 |
13,93 |
7,00 |
2,63 |
49,00 |
18,44 |
11,98 |
3,81 |
8 |
8 |
16,16 |
8,00 |
2,78 |
64,00 |
22,26 |
15,85 |
0,10 |
9 |
9 |
17,76 |
9,00 |
2,88 |
81,00 |
25,89 |
20,98 |
10,34 |
10 |
10 |
20,40 |
10,00 |
3,02 |
100,00 |
30,16 |
27,76 |
54,16 |
|
|
|
55,00 |
20,63 |
385,00 |
136,57 |
|
81,11 |
у1= bеах |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
825,00 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
231,15 |
|
A= |
0,28 |
a= |
0,28 |
|
|
= |
430,42 |
|
B= |
0,52 |
b= |
1,68 |
|
|
Рис. 3
15
4. Показательная вида у1=baх.
I |
x |
y |
u=x |
v=Ln(y) |
uu |
uv |
y1 |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,40 |
1,00 |
0,34 |
1,00 |
0,34 |
2,23 |
0,69 |
2 |
2 |
2,49 |
2,00 |
0,91 |
4,00 |
1,82 |
2,95 |
0,21 |
3 |
3 |
4,66 |
3,00 |
1,54 |
9,00 |
4,62 |
3,91 |
0,57 |
4 |
4 |
7,16 |
4,00 |
1,97 |
16,00 |
7,87 |
5,17 |
3,97 |
5 |
5 |
9,07 |
5,00 |
2,20 |
25,00 |
11,02 |
6,84 |
4,98 |
6 |
6 |
10,56 |
6,00 |
2,36 |
36,00 |
14,14 |
9,05 |
2,28 |
7 |
7 |
13,93 |
7,00 |
2,63 |
49,00 |
18,44 |
11,98 |
3,81 |
8 |
8 |
16,16 |
8,00 |
2,78 |
64,00 |
22,26 |
15,85 |
0,10 |
9 |
9 |
17,76 |
9,00 |
2,88 |
81,00 |
25,89 |
20,98 |
10,34 |
10 |
10 |
20,40 |
10,00 |
3,02 |
100,00 |
30,16 |
27,76 |
54,16 |
|
|
|
55,00 |
20,63 |
385,00 |
136,57 |
|
81,11 |
у1= baх |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
825,00 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
231,15 |
|
A= |
0,28 |
a= |
1,32 |
|
|
= |
430,42 |
|
B= |
0,52 |
b= |
1,68 |
|
|
Рис. 4
16
5. Логарифмическая у1=aLn(x)+b.
i |
x |
y |
u=Ln(x) |
v=y |
uu |
uv |
y1 |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,40 |
0,00 |
1,40 |
0,00 |
0,00 |
-2,30 |
13,69 |
2 |
2 |
2,49 |
0,69 |
2,49 |
0,48 |
1,73 |
3,51 |
1,04 |
3 |
3 |
4,66 |
1,10 |
4,66 |
1,21 |
5,12 |
6,91 |
5,05 |
4 |
4 |
7,16 |
1,39 |
7,16 |
1,92 |
9,93 |
9,32 |
4,66 |
5 |
5 |
9,07 |
1,61 |
9,07 |
2,59 |
14,60 |
11,19 |
4,49 |
6 |
6 |
10,56 |
1,79 |
10,56 |
3,21 |
18,92 |
12,72 |
4,65 |
7 |
7 |
13,93 |
1,95 |
13,93 |
3,79 |
27,11 |
14,01 |
0,01 |
8 |
8 |
16,16 |
2,08 |
16,16 |
4,32 |
33,60 |
15,13 |
1,07 |
9 |
9 |
17,76 |
2,20 |
17,76 |
4,83 |
39,02 |
16,11 |
2,71 |
10 |
10 |
20,40 |
2,30 |
20,40 |
5,30 |
46,97 |
17,00 |
11,57 |
|
|
|
15,10 |
103,59 |
27,65 |
197,00 |
|
48,93 |
у1= aLn(x)+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
48,36 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
405,29 |
|
A= |
8,38 |
a= |
8,38 |
|
|
= |
-111,22 |
|
B= |
-2,30 |
b= |
-2,30 |
|
|
Рис. 5
17
6. Гиперболическая у1=b+a/x.
I |
x |
y |
u=1/x |
v=y |
uu |
uv |
y1 |
(y-y1)2 |
1 |
1 |
1,40 |
1,00 |
1,40 |
1,00 |
1,40 |
-2,68 |
16,62 |
2 |
2 |
2,49 |
0,50 |
2,49 |
0,25 |
1,25 |
6,54 |
16,41 |
3 |
3 |
4,66 |
0,33 |
4,66 |
0,11 |
1,55 |
9,61 |
24,54 |
4 |
4 |
7,16 |
0,25 |
7,16 |
0,06 |
1,79 |
11,15 |
15,92 |
5 |
5 |
9,07 |
0,20 |
9,07 |
0,04 |
1,81 |
12,07 |
9,01 |
6 |
6 |
10,56 |
0,17 |
10,56 |
0,03 |
1,76 |
12,69 |
4,52 |
7 |
7 |
13,93 |
0,14 |
13,93 |
0,02 |
1,99 |
13,13 |
0,65 |
8 |
8 |
16,16 |
0,13 |
16,16 |
0,02 |
2,02 |
13,45 |
7,32 |
9 |
9 |
17,76 |
0,11 |
17,76 |
0,01 |
1,97 |
13,71 |
16,40 |
10 |
10 |
20,40 |
0,10 |
20,40 |
0,01 |
2,04 |
13,92 |
42,05 |
|
|
|
2,93 |
103,59 |
1,55 |
17,59 |
|
153,44 |
у1= b+a/x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
6,92 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
-127,56 |
|
A= |
-18,44 |
a= |
-18,44 |
|
|
= |
109,03 |
|
B= |
15,76 |
b= |
15,76 |
|
|
Рис. 6
18
7. Дробно-рациональная вида у1=1/(ax+b).
I |
x |
y |
u=x |
v=1/y |
uu |
uv |
y1= |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,40 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
0,71 |
2,24 |
0,70 |
2 |
2 |
2,49 |
2,00 |
0,40 |
4,00 |
0,80 |
2,56 |
0,00 |
3 |
3 |
4,66 |
3,00 |
0,21 |
9,00 |
0,64 |
3,00 |
2,76 |
4 |
4 |
7,16 |
4,00 |
0,14 |
16,00 |
0,56 |
3,61 |
12,58 |
5 |
5 |
9,07 |
5,00 |
0,11 |
25,00 |
0,55 |
4,55 |
20,44 |
6 |
6 |
10,56 |
6,00 |
0,09 |
36,00 |
0,57 |
6,14 |
19,57 |
7 |
7 |
13,93 |
7,00 |
0,07 |
49,00 |
0,50 |
9,43 |
20,27 |
8 |
8 |
16,16 |
8,00 |
0,06 |
64,00 |
0,50 |
20,33 |
17,42 |
9 |
9 |
17,76 |
9,00 |
0,06 |
81,00 |
0,51 |
-129,64 |
21725,97 |
10 |
10 |
20,40 |
10,00 |
0,05 |
100,00 |
0,49 |
-15,48 |
1287,26 |
|
|
|
55,00 |
1,91 |
385,00 |
5,83 |
|
23106,98 |
у1= 1/(ax+b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
825,00 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
-46,94 |
|
A= |
-0,057 |
a= |
-0,057 |
|
|
= |
416,06 |
|
B= |
0,504 |
b= |
0,504 |
|
|
Рис. 7
19
8. Дробно-рациональная вида у1=x/(bx+a).
i |
x |
y |
u=1/x |
v=1/y |
uu |
uv |
y1 |
(y-y1)^2 |
1 |
1 |
1,40 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
0,71 |
1,37 |
0,00 |
2 |
2 |
2,49 |
0,50 |
0,40 |
0,25 |
0,20 |
2,86 |
0,14 |
3 |
3 |
4,66 |
0,33 |
0,21 |
0,11 |
0,07 |
4,50 |
0,03 |
4 |
4 |
7,16 |
0,25 |
0,14 |
0,06 |
0,03 |
6,30 |
0,74 |
5 |
5 |
9,07 |
0,20 |
0,11 |
0,04 |
0,02 |
8,30 |
0,60 |
6 |
6 |
10,56 |
0,17 |
0,09 |
0,03 |
0,02 |
10,52 |
0,00 |
7 |
7 |
13,93 |
0,14 |
0,07 |
0,02 |
0,01 |
13,00 |
0,87 |
8 |
8 |
16,16 |
0,13 |
0,06 |
0,02 |
0,01 |
15,80 |
0,13 |
9 |
9 |
17,76 |
0,11 |
0,06 |
0,01 |
0,01 |
18,97 |
1,47 |
10 |
10 |
20,40 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,00 |
22,61 |
4,87 |
|
|
|
2,93 |
1,91 |
1,55 |
1,09 |
|
8,84 |
у1= x/(bx+a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
6,92 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
5,28 |
|
A= |
0,763 |
a= |
0,763 |
|
|
= |
-0,22 |
|
B= |
-0,032 |
b= |
-0,032 |
|
|
Рис. 8
20