РАСЧЕТА КАПИЛЛЯРНЫХ ДАВЛЕНИЙ ВО ВЛАЖНЫХ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛАХ
.pdf
СПБГУАП группа 4736
МЕТОДИКА РАСЧЕТА КАПИЛЛЯРНЫХ ДАВЛЕНИЙ ВО
ВЛАЖНЫХ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛАХ
СПБГУАП группа 4736
В процессе тепломассопереноса во влажных капиллярно-пористых телах происходит изменение их структуры, вызванное переносом влаги,
действием капиллярных, осмотических и молекулярных сил и возникающих в материале внутренних напряжений.
Создание методики расчета капиллярных давлений и вызванных внутренних напряжений позволит выявить физико-механических свойств материала с его исходными характеристиками и параметрами тепломассопереноса, на основе которой можно было прогнозировать и управлять качеством конечного продукта.
В настоящее время имеется большое количество различных моделей дисперсных сред. Одной из них может служить модель, в которой дисперсная среда представлена в виде шариков одного определенного радиуса R и
какого-либо типа упаковки. Пусть из экспериментальных данных известна влажность материала (кг/кг). Число контактов одного шарика с соседними зависит от типа упаковки шариков в материале. Предположим, что на каждый контакт приходится одинаковое количество воды. Определим объем воды, приходящейся на один контакт в рассматриваемой модели. В
большинстве случаев моделируемая дисперсная среда представляет собой трехфазную систему, содержащую в некотором объеме V воздух, воду и твердое вещество (шарики) с объемами соответственно Vвоз, Vв и Vт,
плотностями ρвоз, ρв и ρт и весами Pвоз, Pв и Pт, с соотношениями:
V= Vт+ Vв+ Vвоз (1)
|
P |
|
В |
|
|
|
|
|
|
P |
(2) |
|
Т |
|
|
|
PВ = ρвVв (3)
PТ = ρТVТ (4)
Учитывая формулы (1), (3), (4), соотношение (2) можно записать:
СПБГУАП группа 4736
ω = PВ VВ / ρТ (V-VВ-Vвоз) (5)
Полагая ω известной на экспериментальных данных, имеем:
тепломассоперенос капиллярный пористый давление
V |
|
|
|
|
V V |
|
|
|||
|
|
Т |
|
|
ВОЗ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
В |
Т |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
|
В |
V V |
|
|
|
|||
|
|
|
в оз |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В |
Т |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
(6)
(7)
Зная объем одного шарика Vш радиуса R:
V |
Ш |
|
4 R3
3
(8)
можно найти число таких шариков в выбранном объеме дисперсной среды V:
N V |
V |
Ш |
Т |
|
3 |
|
V V |
/ 4 R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
в оз |
|
|
|
В |
|
Т |
|
|
|
(9)
Вычислим число шариков в объеме V. Предполагаем, что контакты шариков на поверхности объема V не вносят существенной ошибки в вычисления. Задаваясь типом упаковки шариков в среде, а, следовательно, и числом контактов, приходящихся на один шарик γ, можно найти объем воды, приходящийся на одну манжету:
|
|
|
|
|
4 R |
|
||
V |
|
V |
|
/ N |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
В |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10)
где γ - число контактов одного шарика с другими шариками в среде. Теперь рассмотрим место контактов шариков с другой точки зрения, и
найдем объем воды, приходящийся на одну манжету в зависимости от
параметра h=(R-d) (рис.1).
Найдем из геометрических соображений необходимые для дальнейших
расчетов соотношения между величинами R’, OA”, R и h:
СПБГУАП группа 4736
R' |
R R |
|
h |
||
|
OA" 
R2
h
(11)
h2 R
h (12)
Объем фигуры, который получается при вращении относительно оси A’A окружности с радиусом R’ и центром в A”, и ограниченной плоскостями
d, равен [3]:
|
|
R h |
|
|
|
[ 3R |
|
|
|
|
|
/ 3h |
|
|
R3(R |
2 |
h |
2 |
) arcsin( h / R) |
||
1 |
2 |
|
|
2 |
dx 2 (R h) |
2 |
3 |
2Rh |
2 |
h |
3 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||
V |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13)
Объем сфер с радиусом R объем V1 , равен :
|
R |
|
|
|
|
2 |
|
|
V2 |
2 R |
2 |
x |
2 |
dx |
2R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и с центрами в точках ( R O), попавших в
3R |
h h |
|
|
2 |
|
3 |
|
(14)
Из соотношения (13) и (14) можно получить объем воды, приходящийся на одну манжету, в зависимости от параметров R и h:
|
|
|
|
|
2 (R h) |
2 |
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
h |
|
V |
|
V V |
|
|
|
|
R |
2 |
h |
2 |
arcsin |
|||||
B |
2 |
|
2 |
|
|
|
h |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
3h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(15)
В пределе, когда h R, получаем Vв=0. Когда h 0, получаем:
|
|
|
2 R |
|
|
|
3 |
V |
B |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
(16)
Данный предел объема совпадает с объемом цилиндра высотой 2R и радиусом R, из которого вычтен объем сферы радиуса R.
Исходя из условий нашей модели, допустим, что объем воды, приходящийся на один контакт, полученный из экспериментальных данных, должен быть равен объему воды VB , вычисленному по формуле (15) при каком-то определенном значении параметра h. Приравнивая VЭ и VB, получаем:
4R |
3 |
|
|
2R |
3 |
R h |
2 |
|
|
|
|
|
|
h |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
h |
R |
2 |
h |
2 |
arcsin |
|
3 |
|
|
|
|
h |
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17)
откуда
СПБГУАП группа 4736
3 |
|
2 |
|
R |
2 |
h |
2 |
arcsin |
h |
B |
R h |
h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 h |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
(18)
В данной модели не учитывается пленочная влага, поэтому область значений , когда h R, должна быть исключена. Рассмотрим предельные
случаи. Из формулы (18) следует, что при h R, 0. В случае, когда h=0
= B 2 T.
В реальных дисперсных средах укладка частиц приводит к тому, что мениски от соседних контактов частиц среды сливаются при h 0. В связи с этим необходимо учитывать, что параметр h может быть только больше некоторого h min, зависящего от вида упаковки.
Величину капиллярного давления в дисперсной среде можно определить по формуле Лапласа:
|
1 |
|
1 |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
2 |
|
||
1 |
|
|
|||
(19)
где - коэффициент поверхностного натяжения воды; R1 и R2 - радиусы кривизны менисков манжеты (рис.1). Из геометрических соотношений можно найти:
R |
|
|
R" |
R(R h) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
R |
2 |
h |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (20)
(20)
R h (21)
и (21) в (19), имеем:
P |
h |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R |
2 |
h |
2 |
|
|
R R h |
|
|
|
R h |
|||
(22)
По известным значениям , R, T, B можно найти величину параметра h, а по формуле (22) рассчитать давление в дисперсной среде. В предельных случаях, которые не выполняются в реальной дисперсной среде, величина давления P - знакопеременная величина для данной модели, а из экспериментальных данных известно, что давление в
дисперсной среде - величина не знакопеременная. Поэтому, как было отмечено выше, значение h можно рассматривать лишь в диапазоне R > h > h min. Приравняв в формуле (22) P=0, получим значение h, при котором R1 = R2. Независимо от типа упаковки получаем соотношение h = 0,6 R при P=0, откуда следует, что h min 0,6 R.
На рис.2 представлен график расчетной зависимости величины
СПБГУАП группа 4736
капиллярного давления от количества влаги в модельной среде с диаметром шариков D=2R = 60мкм и числом контактов = 6 (кривая 1). Здесь же построена экспериментальная кривая измерения капиллярного давления от влагосодержания 4 в песке диаметром частиц ~ 60мкм (кривая 2). Как видим из графиков, экспериментальная кривая подобна расчетной, а их несовпадение может быть объяснено тем, что в процессе обезвоживания происходит изменение типа упаковки и числа контактов между частицами . Эти факторы могут быть учтены при дальнейшей детализации предложенной модели. Принятые начальные допущения показывают, что предложенная методика расчета капиллярного давления будет тем лучше согласовываться с экспериментальными данными, чем больше частицы реального материала будут похожи на жесткие модельные шарики, а поровая влага близка к манжетной.
Таким образом, на основе известных экспериментальных данных (влагосодержание, плотность твердого вещества и пороговой влаги, а также кривой распределения частиц материала по размерам) предложенная математическая модель позволяет рассчитывать величину капиллярного давления, возникающего во влажных дисперсных материалах в процессе переноса влаги.
СПБГУАП группа 4736
ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.
-М.: Наука, 1968. Т.11 -551с.
2. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. -М.: Энергия, 1978. -479 с.