§ 3. Застосування диференціального числення

1. Повне дослідження функцій однієї змінної та побудова їх графіків.

Дослідження функції однієї змінної на екстремум є відомою задачею з програми шкільної математики. Нагадаємо її основні моменти.

Для більш повного дослідження функції та побудови її графіка треба дослідити функцію на опуклість та угнутість і знайти асимптоти. Наведемо

інтервалі, якщо він розташований нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому інтервалі.

6

При дослідженні функції та побудові її графіка доцільно користуватися наступною схемою:

1.Знайти область визначення функції.

2.Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3.Знайти точки перетину графіка з осями координат.

4.Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо є), визначити їх типи.

5.Знайти асимптоти.

6.Дослідити функцію на монотонність та екстремум.

7.Знайти інтервали опуклості, угнутості, точки перегину.

8.Побудувати графік:

а) ввести декартову систему координат; б) провести асимптоти;

в) нанести усі характерні точки (перетину з осями, точки розриву, екстремуми, точки перегину);

г) з’єднати характерні точки кривими у відповідності з дослідженням функції на монотонність та опуклість.

7

Отже, дана функція непарна і її графік симетричний відносно початку

координатними осями.

4). Оскільки задана функція є елементарною, то вона неперервна на всій області визначення. Отже, залишається дослідити на неперервність точки x 3.

Знайдемо односторонні границі в точці x 3:

6). Знайдемо інтервали монотонності та екстремуми, досліджуючи першу похідну:

8

7). Щоб знайти інтервали опуклості та угнутості, обчислимо другу похідну:

4x 9x2 81 0.

9 x2 3

9