ЛЕКЦІЯ № 6. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ (2)

Аналогічно отримаємо означення частинної похідної за

y :

u

u

u x, y y u x, y

lim

y

lim

(2.14)

y

y

y

y 0

y 0

Аналогічно означаються частинні похідні функції багатьох трьох

змінних

u f x, y, z .

З означення

частинних похідних маємо, що для їх

Розв’язання.

Задана функція залежить від двох незалежних змінних

x

і y , тому

похідну за змінною

x , отже змінну

y

будемо вважати сталою. Задана функція

за змінною x представляє собою

суму трьох доданків, тому застосуємо

формулу (2.5).

u x3 y2

x

3x x 4 y cos3y x .

x

З першого

доданку

винесемо

y

2

як сталий множник, а похідна

останнього дорівнює нулю як похідна сталої. Отримаємо:

u

y

2

x

3

3 0

3x

2

y

2

3.

x

x

Аналогічно знаходиться частинна похідна за змінною y :

u

x

3

y

2

x

3

y

2

cos3y

y

3x

y

4 y cos3y

y

0 4 y

y

y

y

2x

y 4cos3y 4 y sin 3y 3 2x

y 4cos3y 12 ysin 3y .

4 y cos3y

3

3

y

5. Похідні вищих порядків.

Нехай

задана

диференційована

функція

y f x ,

тоді її похідна

y f x також є функцією від незалежної змінної x . Далі будемо називати y

також похідною першого порядку функції

y . Якщо функція y

є у свою чергу

диференційованою функцією за змінною

x

,

то її похідну називають похідною

другого

порядку функції

y

та позначають

y , тобто

. Аналогічно

y y

можна

ввести

поняття

похідної

третього

порядку

функції

однієї змінної:

y

n

y

n 1

(2.15)

.

Приклад 1. Знайти похідну третього порядку функції

y x

2

e

2 x

.

Розв’язання.

Знайдемо похідну першого порядку заданої функції:

y

2x e

2 x

x

2

e

2 x

2 2e

2 x

x x

2

.

Диференціюючи ще раз отриману функцію, матимемо похідну другого

порядку:

y 2e 2 x

2

x x2

2e 2 x

1

2x

2e 2 x 1 4x

2x2

.

Знайшовши похідну від похідної другого порядку, отримаємо похідну

третього порядку заданої функції:

y 2e 2 x

2

4x 2x2

2e 2 x

4

4e 2 x

4x

2x2

1

4x

3

.

Розглянемо

тепер

частинні

похідні

вищих

порядків.

Нехай задано

диференційовану функцію двох змінних u f x, y .

Її частинні похідні ux та

називаються частинними похідними

першого порядку

та

представляють

uy

2u

u

x2

15xy4

x2

60xy3 .

2

3

y

y

y

y

2 y

4 y

2

2u

u

2x

x

y 3y

5

15y

4

.

y

y

x y

y

x

u

u

x

x

2

2

15xy

15y

.

4

4

y x

x

2

y

y

x y

диференціал цієї функції має вигляд

dy x . Оскільки y x і dy dx , тоді

отримаємо, що dx x . Це означає,

що для незалежної змінної її приріст і

диференціал співпадають. Тоді формула диференціала функції, який називають

диференціалом першого порядку, набуває остаточного вигляду:

dy f x dx .

(2.18)

диференціалів другого та більших порядків.

Означення. Диференціал від диференціала

першого

порядку функції

y f x

називають її диференціалом другого

порядку

та позначають

y

sin 3x 3x cos3x ,

y

3cos3x 3cos3x 9xsin 3x 6cos3x 9xsin 3x .

Підставляючи у формулу (2.18) знайдену похідну, отримаємо

диференціал першого порядку:

sin 3x 3x cos3x dx .

dy

Вважаючи у формулі (6.28), що

n 2

, і враховуючи знайдену похідну

Розглянемо

тепер

поняття

диференціала

функції

двох змінних

u f x, y , яка є диференційованою у деякій області

D .

Означення.

Повним

диференціалом du

першого порядку

функції

u

називається величина:

du

u

dx

u

dy .

(2.21)

x

y

Як і у випадку функції однієї змінної диференціали вищих порядків

визначається за

рекурентною формулою:

d

n

u d d

n 1

u .

Отримаємо

d

u d

u

dx

u

u

dx

u

2

du d

dy

dy dx

u

u

x

u

y

u

x x

u

y

u

2

2

2

2

dx

dy

dy

dx

2

dxdy

dxdy

dy

2

y

x

2

y x

x y

y

2

y x

З урахуванням теореми Шварца отримаємо остаточну формулу:

d 2u

2u

dx2

2

2u

dxdy

2u

dy

2 .

(2.22)

x2

x y

y2

Приклад 2. Знайти повні диференціали першого та другого порядків для

функції u 8x 3x4 y2 7 y3 .

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні першого порядку заданої функції:

u

8 12x3 y

2 ,

u

6x4 y 21y2 .

x

y