Термодинамика-621.Т35

Работа адиабатного процесса на основании первого закона термодина-

мики dq = du + dl при dq = 0

т.е. работа совершается за счет убыли внутренней энергии. Поскольку для любого процесса с идеальным газом du = cvdT, то dl = – c vdT или в конечном процессе 1 – 2

С учетом выражений (2.43), (2.46) и уравнения Клапейрона можно записать еще несколько удобных для работы выражений через различные параметры:

Политропный процесс носит обобщающий характер, так как здесь не накладывается какого-либо ограничения, например постоянства одного из параметров в изохорном, изобарном и изотермном процессах или отсутствия теплообмена в адиабатном процессе. В связи с этим уравнение политропного процесса должно быть выведено из наиболее общих предпосылок. Воспользуемся для этого уравнением первого закона термодинамики, которое для идеального газа можно записать в виде: dq = cvdT + pdv.

Элементарное количество тепла dq можно выразить через произведение теплоемкости политропного процесса с на приращение температуры dT,

тогда cdT = cvdT + pdv или

Совместное решение уравнений (2.51) и (2.52) приводит к выражению:

cp − c pdv + vdp = 0 . cv − c

Введя обозначение

и разделяя переменные, имеем n = (dv/v) + dp/p = 0, откуда после интегрирования получаем уравнение политропного процесса:

Величина n называется показателем политропного процесса. Как и показатель адиабаты k = cp / cv , показатель политропы n, согласно выражению (2.53), представляет собой отношение теплоемкостей.

Конструктивно уравнение политропы аналогично уравнению адиабаты. На этом основании можно заключить, что все зависимости, вытекающие из этих уравнений, будут иметь внешнее сходство, только вместо k следует ставить n.

В соответствии с формулами (2.52) – (2.54) соотношения параметров в политропным процессе имеют вид:

Работа политропного процесса, согласно выражению (2.50),

Таким образом, политропный процесс, описываемый уравнением pvn = const, обобщает все частные случаи, при этом показатель политропы n и теплоемкость c принимают конкретные, вполне определенные значения.

известен показатель политропы n.

При заданных начальных и конечных параметрах процесса величина n

Построив точки 1 и 2 в логарифмической диаграмме р,v (рис.2.15), обнаруживаем, что показатель n равен тангенсу угла наклона линии 1 – 2.

При переменном показателе политропы найденная величина n является средним значением показателя политропы в процессе 1 – 2. В том случае, когда по опытным данным можно построить график процесса (рис. 2.16), истинное значение n в каждой точке процесса определяется следующим образом.

Дифференцируя уравнение политропы (2.54) vnpd + npvn–1 dv = 0 и разделив его на vn–1 , имеем vpd + npdv = 0 или

Сравнивая (2.62) и (2.63), получаем ā = v / n, n = v / ā. Для любой точки процесса в р, v-диаграмме показатель политропы есть отношение величины удельного объема в этой точке к величине отрезка подкасательной.

На рис. 2.17, 2.18 в р,v- и Т, s-диаграммах показано относительное расположение изохоры, изобары, изотермы и адиабаты, проведенных через произвольную точку О. При этом поле диаграммы разделяется на восемь областей, в которых показатель политропы n принимает различные значения, изменяясь по величине и по знаку. В областях 1 и 5 0 > n > – ∞, в областях 2 и 6 1 > n > 0, в областях 3 и 7 k > n > 1, в областях 4 и 8 +∞ > n > k.

Так как dq = Tds, то все процессы, начинающиеся в точке О и проходящие в областях 8, 1, 2, 3, т. е. протекающие при возрастании энтропии, будут идти с подводом тепла: dq > 0. В областях же 4, 5, 6, 7 dq < 0.

Знак изменения внутренней энергии определяется изменением температуры в процессе: du = cvdT. Поэтому в областях 7, 8, 1, 2 du > 0, а в обла-

стях 3, 4, 5, 6 du < 0.

Считая работу расширения положительной, а сжатия – отрицательной (dl = pdv), устанавливаем, что в областях 1, 2, 3, 4, где процессы протекают с ростом удельного объема, dl > 0, а в областях 5, 6, 7, 8 dl < 0.

Всю эту информацию о знаке тепла, изменения внутренней энергии и работы в различных процессах сведем в табл. 2.1.

В заключение приведем сводку формул по газовым процессам, которая весьма удобна при решении практических задач, а также для подготовки к экзаменам.

Эта работа на рис. 2.19 выражается площадью 1 – 2 – 3 – 4. Величина ее зависит от характера процесса сжатия 1 – 2. Можно представить два предельных случая. Если цилиндр компрессора имеет идеальную теплоизоляцию и процесс сжатия протекает достаточно быстро, то его можно считать адиабатным (1 – 2a на рис. 2.20). Работа адиабатного сжатия

После подстановки в уравнение (2.64) получаем

Если же цилиндр компрессора выполнен из идеально теплопроводного материала и процесс протекает достаточно медленно, так что температура газа остается равной температуре среды, то процесс сжатия будет изотермиче-

ским (1 – 2 и).

ра

v2

Осуществить настолько интенсивный отвод тепла, чтобы температура газа при сжатии не повышалась, практически не представляется возможным. Действительный процесс сжатия займет некоторое промежуточное положение между адиабатным и изотермическим и будет протекать по политропе 1

– 2 п. Формула работы компрессора при этом имеет вид: