3-й семестр / Семинары / 12

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

1)при > точка 0 является нулем функции ( ) порядка = − ,

2)при < точка 0 является полюсом функции ( ) порядка = − ,

3)при = точка 0 является устранимой особой точкой функции ( ).

Пример. Найти все особые точки функции ( ) и определить их тип:

1. ( ) = −1.

Особая точка 0 = 0. Она является нулем для числителя: − 1| =0 = 0. Определим порядок нуля в числителе: ( − 1)′ = | =0 = 1 ≠ 0, следовательно, это ноль первого порядка.

Для знаменателя 0 = 0 является нулем первого порядка, значит 0 = НН(1)(1) – устранимая особая точка.

sin

2. ( ) = 3+ 2− −1

Особые точки: 1 = −1, 2 = 1.

Числитель ни в одной из этих точек не обращается в ноль. Для знаменателя: 1

является нулем второго порядка. Точка 2 является нулем первого порядка. Значит

1 = НН(0)(2) = П(2) – полюс второго порядка,2 = НН(0)(1) = П(1) – простой полюс.

1

3.( ) = −2.

Особая точка 0 = 2. Это существенно особая точка, так как ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. по степеням ( − 2) содержит бесконечную главную часть:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

4.( ) = sin .

Найдем особые точки: sin = 0, = , = 0, ±1, ±2, …

Для знаменателя они являются простыми нулями, т.к. ( )′ = | = ≠ 0. Рассмотрим отдельно точку = 0, т.к. она обращает числитель в ноль и является

нулем первого порядка: = 0: НН(1)(1) = УОТ.

= , = ±1, ±2, … : НН((01)) = П(1) - простые полюсы.

Задачи для самостоятельного решения

Найти все особые точки функции ( ) и определить их тип:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2