Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

3-й семестр / Семинары / 12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.12.2020

Размер:

456.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

																												РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
	1		2			2 2					1				2				3		1				2				1
=		(1 −			+ (			) ∙						− (				) ∙					+ + (−1) ∙ (			) ∙				+ ) =
=	3	(1 −	3		+ (		3	) ∙			2			− (			3	) ∙			3		+ + (−1) ∙ (		3	) ∙				+ ) =
		=		1	−	2				+			22			−				23			+ + (−1) ∙				2			+
		=		3	−	2			2	+		3		3	3	−			4			4	+ + (−1) ∙	3	+1				+1	+
				3		3						3								3				3

Область сходимости |32 | < 1 или | | > 23

Пример 3. Разложить функцию

( ) =

в ряд Лорана по степеням во

4 −5+ 2

всей комплексной плоскости, указать правильную и главную части ряда.

Решение. Разложим функцию на простейшие дроби

( ) =

= −

4 − 5 + 2

( + 5)( − 1)

( + 5)

( − 1)

6( + 5)

6( − 1)

Особые точки функции ( ) находим, приравнивая знаменатель к нулю:

( + 5)( − 1) = 0

Особые точки 1 = −5 , 2 = 1.

Сделаем чертеж

Получаем три области:

1)| | < 1 – круг

2)1 < | | < 5 -кольцо

3)| | > 5 – внешняя часть круга

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

(2)

(1)	1	5

(3)

1)	Чтобы получить разложение в \| \| < 1 , используем формулу:
	1			= 1 + + 2 + 3			+ + + ,					сходится при \| \| < 1
			1 −	= 1 + + 2 + 3			+ + + ,					сходится при \| \| < 1
			1 −	1			1		1				1		1				1
				1			1		1				1		1				1
				( ) =		−		= −			∙					−				∙			=
				( ) =	6( − 1)	−	6( + 5)	= −		6	∙	1 −				−		30		∙	1 +		=
																			5
	1							1								2				3
= −		(1 + + 2 + 3 + + + ) −							(1 −					+			−					+ + (−1)			+ ) =
= −		(1 + + 2 + 3 + + + ) −						30	(1 −				5	+		2	−			3		+ + (−1)			+ ) =
	6							30					5		5				5					5

																							РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
	1										1			1					2		3
= −		(1 + + 2 + 3 + + + ) −										(				−		+		−		+ + (−1)						+ ) =
= −		(1 + + 2 + 3 + + + ) −									6	(		5		−	2	+	3	−	4	+ + (−1)					+1	+ ) =
	6										6			5			5		5		5						5
			1		1		1		1				2		+ + (1 + (−1)								1
= −				((1 +		) + (1 −		) + (1 +		)															)	+ )
= −			6	((1 +		) + (1 −	2	) + (1 +	3	)														+1	)	+ )
			6		5		5		5														5

	2)Разложение в области 1 < \| \| < 5 . Преобразуем функцию
					( ) =						1								1						1				1						1	1
															−								=				∙							−			∙			=
										6( − 1)					−		6( + 5)						=		6		∙				1			−	30		∙			=
																												1 −								1 +			5
	1			1 1				1						1									1											2			3	+ + (−1)
=			(1 +		+		+				+ +						+ ) −									(1 −				+					−							+ ) =
=		6	(1 +		+	2	+		3		+ +						+ ) −						30			(1 −			5	+			25		−	125						+ ) =
		6																					30						5				25			125					5
							( )				1		1			1				1			1										1
											=	(		+					+			+				+ +									+ ) −
											=	(		+				2	+		3	+		4		+ +						+1			+ ) −
											6

главная часть

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

+ + (−1)

−

(1 −

−

+ )

125

правильная часть

Найдем области сходимости:

для главной части

| < 1 1 < | |

для правильной части

| < 1 |z| < 5

Весь ряд сходится в области 1 < |z| < 5.

3)Разложение в

области | | > 5. Преобразуем функцию

( ) =

−

∙

−

∙

6( − 1)

6( + 5)

1 −

1 +

1 1 1

5 52

+ + (−1)

(1 +

+ +

+ ) −

(1 −

−

+ ) =

1 1 1 1

1 1 5 52

+ + (−1)

(

+ +

+ ) −

(

−

+ ) =

										РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
	1		1 + 5 1 − 52				1 + 53		1 + (−1) 5
=		(		+		−		+ +		+ )
=	6	(	2	+	3	−	4	+ +	+1	+ )

В разложении присутствует только главная часть ряда Лорана. Найдем области сходимости:

|1| < 1 1 < | | |5| < 1 |z| > 5

Оба ряда сходятся вне круга |z| > 5 и представляют главную часть ряда Лорана.


Ответ: В области (1)				\| \| < 1 функция ( ) =								1			=

													4 −5+ 2
1		1		1		1			2							1
= −	((1 +		) + (1 −		) + (1 +			)		+ + (1 + (−1)							)	+ )
= −	((1 +		) + (1 −	2	) + (1 +		3	)		+ + (1 + (−1)						+1	)	+ )
6		5		5		5										5
						правильная часть
в области(2)			1 < \| \|	< 5		функция ( )				=		1		=

											4 −5+ 2

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

1 1 1

(−1)

(

+ +

+ ) −

(1 −

−

+ +

+ )

125

главная часть

правильная часть

в области(3)

|z| > 5

( ) =

1 1 + 5 1 − 52

1 + 53

1 + (−1) 5

(

−

+ +

+ )

4 − 5 + 2

главная часть

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить в ряд Лорана функцию ( ) = 3−1 в окрестности точки 0 = 1 2. Разложить в ряд Лорана функцию ( ) = 3−1 по степеням ( 0 = 0) во всех

областях аналитичности функции.

3. Разложить в ряд Лорана функцию ( ) = 2 +1 по степеням − 3 ( 0 = 3) во

( −3)

всех областях аналитичности функции.

4.Разложить в ряд Лорана функцию ( ) = областях аналитичности функции.

5.Разложить в ряд Лорана функцию ( ) =

2−2 −3 по степеням ( 0 = 0) во всех

2−2 −3 в окрестности ее особых точек.

Изолированные особые точки

Определение. Точка 0 называется изолированной особой точкой функции ( ),

если ( ) аналитична в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки 0, а в точке 0 функция не определена или не дифференцируема.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Рассмотрим точку 0 и разложим ( ) в ряд в окрестности точки 0, т.е. по степеням ( − 0).

Если точка 0 – правильная, т.е. ( ) аналитична в т. 0, то существует окрестность (круг радиуса ) | − 0| < , внутри которого ( ) аналитична и функция раскладывается в степенной ряд Тейлора:

∞		( )( )
		( )( )
( ) = ∑ ( − ) ; =		0
( ) = ∑ ( − ) ; =
	0	!

Если точка 0 – изолированная особая точка (ИОТ), то ( ) аналитична в кольце 0 < | − 0| < и функция раскладывается в степенной ряд Лорана:

∞		( )( )
		( )( )
( ) = ∑ ( − ) ; =		0
( ) = ∑ ( − ) ; =
	0	!

=−∞

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Таблица классификации изолированных особых точек функции

Типы ИОТ

По пределу

По ряду Лорана в окрестности ИОТ

Устранимая особая точка :

lim ( ) = 0

Ряд Лорана для ( ) в окрестности точки 0

не

→0

содержит главной части:

( ) = +

( −

) + = ∑∞

( − )

Полюс порядка :

lim ( ) = ∞

Главная часть ряда Лорана для ( ) в окрестности

→0

точки 0

содержит конечное число слагаемых:

( ) =

−

+ +

−

+ ∑∞

( − ) , ≠ 0

(−

)

−

Существенно особая точка

lim ( ) не существует

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное

→0

число слагаемых

Н( )

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Определение. Точка 0 называется нулем -го порядка аналитической функции ( ), если – порядок первой не равной нулю производной:

( 0) = 0, ′( 0) = 0, … , ( −1)( 0) = 0, ( )( 0) ≠ 0

Если = 1, то точка 0 называется простым нулем.

Теорема. Точка 0 является нулем -го порядка функции ( ), аналитической в точке0, тогда и только тогда, когда имеет место равенство:

( ) = ( − ) ( ), где ( ) аналитична в точке									и ( )	≠ 0.
	0							0	0
Связь между нулем и полюсом:
Если точка 0 – полюс порядка			для функции ( ), то точка 0 – нуль порядка
для функции ( ) =	1	при условии		1		= 0.
для функции ( ) =	( )	при условии		(	)	= 0.
	( )			(	)
				0
Теорема. Если функция ( ) представима в виде ( ) =							( )	и точка		является
Теорема. Если функция ( ) представима в виде ( ) =								и точка		является
							( )		0
							( )

нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )) и нулем порядка для функции

( ) ( 0 = Н( )), то есть 0 = Н( ), то:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Семинары

#
25.12.2020413.07 Кб202.pdf
#
25.12.2020335.53 Кб303-04.pdf
#
25.12.2020453.95 Кб205-06.pdf
#
25.12.2020332.01 Кб207.pdf
#
25.12.2020435.1 Кб208.pdf
#
25.12.2020456.57 Кб212.pdf
#
25.12.2020395.96 Кб713.pdf
#
25.12.2020411.5 Кб214.pdf
#
25.12.2020372.84 Кб315-16.pdf