3-й семестр / Семинары / 15-16

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

3 СЕМЕСТР

Преподаватель: Горшунова Татьяна Алексеевна – доцент кафедры ВМ-2

e-mail: gorshunova@mirea.ru

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Практическое занятие 15-16

Приложения теории вычетов

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Основная теорема о вычетах

Теорема 1. Если функция ( ) аналитическая всюду внутри замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа изолированных особых точек 1, 2,. . . , , лежащих внутри D, тогда справедлива формула:

( ) = 2 ∑ ( )

Пример1. Вычислить интеграл ∫| −1|=1 ( −1)2(z+2)

Решение. Особые точки подынтегральной функции определяются из уравнения:

( − 1)2(z + 2) = 01 = 1 = НН(0)(2) = П(2) – полюс второго порядка,

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

2 = −2 = НН(0)(1) = П(1) – полюс первого порядка,2 не принадлежит : | − 1| < 1.

По основной теореме о вычетах

Решение. 0 = 0 - особая точка функции ( ) = 2 ∙ 1.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Она является существенно особой точкой и принадлежит области | | ≤ 1.

Вычет в существенно особой точке найдем, разложив функцию в ряд Лорана по степеням :

9

Пример 3. Вычислить интеграл ∫| |=3 10−1

Решение.

Особые точки подынтегральной функции – корни уравнения:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

10 − 1 = 0= 10√1 = 1 ∙ 210 , = 0,1, … ,9

Все они принадлежат кругу | | ≤ 3.

Использование основной теоремы о вычетах приводит к громоздким вычислениям. Удобнее воспользоваться теоремой 2.

Теорема 2. Если функция ( ) аналитична в расширенной плоскости (т.е. включающей точку = ∞ ), за исключением конечного числа изолированных особых точек 1, 2,. . . , , то

∞ ( ) = − ∑ ( )

=1

Тогда

( ) = −2 ∞ ( )

∞ ( ) = −−1

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Выпишем лорановское разложение функции ( ) в окрестности бесконечно удаленной точки = ∞.

Замечание. Окрестностью точки = ∞ называют внешность какого-либо круга с центром в точке = 0 и достаточно большим радиусом (чем больше R, тем меньше окрестность точки = ∞).

Пример 4. Вычислить интеграл ∫

| |=4 6+9 4

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

1 1

Решение. Подынтегральная функция ( ) = 6+9 4 = 4( 2+9) внутри окружности

| | = 4 имеет три особые точки 1 = 0, 2 = 3 , 3 = −3 .

Использование основной теоремы о вычетах приводит к громоздким вычислениям. Удобнее воспользоваться теоремой 2.

Выпишем лорановское разложение функции ( ) в окрестности бесконечно

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Пример 5. Вычислить интеграл ∫| +1|=2( + 1)2 ( +14 )

Решение. Приравниваем к нулю знаменатель, чтобы найти особые точки:

+ 1 = 0

Особой точкой является точка = −1, она входит в область, ограниченную кругом | + 1| = 2.

элементарной функции (под синусом), то скорее всего это существенно особая точка. Проверим это, разложив подынтегральную функцию в ряд Лорана:

( + 1)2 ( +4 1) =

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2