3-й семестр / Семинары / 15-16

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Вычисление несобственных интегралов 1. Интегралы от рациональных функций

Теорема 3. Если ( ) = (( )), где ( ), ( ) – многочлены, степени и

соответственно, причем все корни знаменателя комплексные и степень ( ) хотя бы на две единицы больше степени ( ) ( − ≥ 2), то

∫ ( ) = 2 ∑ ( ),

где ( ) = ( ) и – полюсы функции ( ), лежащие в верхней полуплоскости.

Примеры:

1) Вычислить интеграл ∫+∞ 2 2

−∞ ( +4)( +9)

1

Решение. Введем функцию ( ) = ( 2+4)( 2+9)

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

На действительной оси (при = ) ( ) = ( ).

Функция ( ) имеет особые точки 1,2 = ±2 , 3,4 = ±3 – это простые полюсы. В верхней полуплоскости находятся точки 1 = 2 , 3 = 3 .

Условия теоремы 3 для функции ( ) выполнены, т.е. можно воспользоваться формулой из этой теоремы.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

−∞

2) Вычислить интеграл ∫+∞ 2 2

−∞ ( +9)( +25)

1

Решение. Введем функцию ( ) = ( 2+9)( 2+25), имеющую четыре особых точек

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

+∞

∫( 2 + 9)( 2 + 25) = 2 ∙ ( (5) + (3)) =

−∞

+∞

Задача. Вычислить интеграл ∫−∞ ( 2+1)2

2. Вычисление интегралов с тригонометрическими функциями вида

∫0+∞ ( ) cos , ∫0+∞ ( ) sin ,

где ( ) – правильная рациональная дробь, > 0 – любое вещественное число.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Лемма Жордана. Если функция ( ) аналитична в верхней полуплоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек и стремится в этой полуплоскости к нулю при | | → ∞, тогда при > 0

lim ∫ ( ) = 0 ,

→∞

где контур – полуокружность | | = в верхней полуплоскости.

Теорема 4. Если функция ( ), заданная на всей действительной оси, может быть продолжена на верхнюю полуплоскость и полученная функция ( )

удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на действительной оси, тогда при > 0 справедливо равенство:

По формуле Эйлера: = cos + sin

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

cos = ( ), sin = ( )

∫ ( ) sin = [2 ∑ (( ) )]

∫ ( ) = [2 ∑ (( ) )] , ( > 0)

Примеры:

∞cos

1)Вычислить интеграл = ∫0 ( 2+4)2 .