Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

3-й семестр / Лекции / 01

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.12.2020

Размер:

572.77 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 1.

Числовые ряды

1. Числовой ряд, сходимость числового ряда.

Одним из важнейших инструментов математического анализа, удобным и полезным для решения многих задач, являются “бесконечные суммы” или ряды.

Определение. Пусть задана числовая последовательность

a	, a	2	,..., a	n	,...
1		2		n

. Составленное из членов этой последовательности выражение


a	a	2	... a	n	...		a	n
1		2		n				n
						n 1

называется

числовым

рядом,

члены

последовательности называются членами этого ряда, an – общий член ряда. Рассмотрим суммы

S1 a1 ,

S2 a1 a2 ,

. . .

S	n	a	a	2	... a	n	,
	n	1		2		n

которые называются частичными суммами ряда.

Частичные суммы образуют новую числовую последовательность

S1 , S2 ,..., Sn ,... .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует

конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.			lim S	n	S		.
			lim S		S
			n

Число	S	называется суммой ряда. Допускается запись		a	n	S		,
Число	S	называется суммой ряда. Допускается запись			n			,
			n 1

которая придает символу бесконечной суммы числовой смысл.

Определение. Числовой ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или не существует.

Рассмотрим примеры на вычисление суммы ряда по определению.

Пример 1.

1	1			1		1
			...		...
2 5	5	8		(3n 1)(3n 2)		(3n 1)(3n 2)
					n 1

Решение. Представляя общий член ряда в виде разности:

1	1	1	,

(3n 1)(3n 2)	3(3n 1)	3(3n 2)

вычислим частичную сумму с номером n :

S	n

	1	1		1	1		1	1
						...
3 2		3 5	3 5		3 8		3 (3n 1)	3 (3n 2)
3 2		3 5	3 5		3 8		3 (3n 1)	3 (3n 2)

	1
	2
	2	3

1 3(3n 2)

Существует

	его сумма равна	1
	его сумма равна	6
		6

Пример 2.

конечный lim→∞ = 16. Значит, данный ряд сходится и

1 3 5 ... (2n 1) ... (2n 1)

n 1

Решение. Вычислим частичную сумму этого ряда.

S	n	1 3 5 ...
	n

В этом примере

Пример 3.

(2n 1)

	lim S	n
	n	n
	n



1 (2n 1)	n n	2	.
		2
2
, следовательно, данный ряд расходится.


n 1	... ( 1)
1 -1 1 - ... (-1)	... ( 1)
	n 1

n 1

У этого ряда все частичные суммы с нечетными номерами равны 1, а частичные суммы с четными номерами равны 0. Значит, предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.

Пример 4.

Рассмотрим более сложный пример:


arctg	n	2
n 1	n
n 1

Для вычисления частичных сумм воспользуемся формулой

	arctg(a) arctg(b) arctg	a b
	arctg(a) arctg(b) arctg	a b
	1	a b

справедливой в случае, когда

a (0,1)

(0,1)

S		arctg	1
S	1	arctg	3
	1

			1		1
			3		7
S		arctg
	2			1		1

			1
				3		7

	arctg	10
	arctg	20
		20

arctg

2 4

Предположим, что

S	n

arctg

n n

, и докажем справедливость этой

формулы, пользуясь методом математической индукции. Пусть

S	n 1

arctg

n n

, тогда

n 1

arctg

n 1

(n 1)(n

n 1)

(n 1)

arctg

(n 1)(n

n 1)

(n 1)

(n 2) (n 2)


	n(n	2	1)
arctg	n(n		1)
arctg	(n 2)(n			2	1)
				2

	arctg	n
	arctg	n 2
		n 2

, что и требовалось доказать.

Итак, Sn arctg	n	,	lim Sn
Итак, Sn arctg	n 2	,	lim Sn
	n 2		n
			n
Ряд сходится, его сумма равна					.
Ряд сходится, его сумма равна				4	.
				4

	n	arctg(1)
lim arctg	n 2	arctg(1)	4
n	n 2		4
n

2. Геометрическая прогрессия.

Определение.

последовательность

Геометрической прогрессией

b,	bq,	bq	2	, ... ,	bq	n 1	, ...	(b 0,	q 0)

	называется числовая
.	Суммируя члены

геометрической прогрессии, получим ряд


b q	n 1
b q
n 1

Теорема. Ряд

b	. Если	q
1 q

∑∞=1 ∙ −1


1	,	то ряд
			n 1

сходится при условии

b q	n 1	расходится.

, и его сумма равна

S	n 1

S	n 1

Sn 1

Доказательство. Запишем частичную сумму этого ряда:

b bq bq	2	... bq		n	двумя способами:

b q(b bq ... bq			n 1		) b	q Sn ,

(b bq ... bqn 1 ) bqn S						n	bqn .

Приравнивая эти выражения:				b q Sn
.
Предполагая, что q 1 , выразим Sn :
Sn	b(1 q n )		.
	1	q

S	n

bqn

получим Sn (1 q) b(1 qn )

В случае, расходится.

Если q 1 , то

S	b
		.
	1 q

когда

q 1 ,

очевидно,

что

n b

lim S

, т.е. ряд

lim q

lim S

, т.е. ряд сходится,

и его сумма

Если

q
1	,

1	, то	lim q	n	и

		n

то частичные суммы

lim S	n	, т.е. ряд расходится. Наконец, если
lim S
n

попеременно принимают значения	b	и 0.

Предела последовательности частичных сумм не существует. Ряд расходится. Теорема доказана.

3. Гармонический ряд.

Определение. Ряд

	1	1		1		1
1			...		...
	2	3		n		n
					n 1

называется гармоническим

рядом.

Каждый член гармонического ряда, начиная со второго, является гармоническим средним соседних с ним членов:

1	1		1	1
					.
					.
an	2
an	2	an 1		an 1

Покажем, что гармонический ряд является расходящимся. Для этого

воспользуемся тем, что последовательность

	1	n
	1
1
	n

является монотонно

возрастающей и

	1	n
		e
lim 1
n	n

(2-ой замечательный предел). Все члены этой

последовательности меньше числа

	1	n
	1
1
	n

1,2,3,...

Прологарифмируем данное неравенство по основанию e :

n 1

ln e

ln(n 1) ln n .

ln 1

n ln

Полученное неравенство справедливо для всех натуральных значений

1 ln 2 ln1

2 1

ln 3 ln 2

ln 4 ln 3

. . .

1n ln(n 1) ln n .

Складывая эти неравенства, получим			1	1	1	...	1	ln(n 1) . Это означает,
				2	3		n
что с возрастанием
	n	частичные суммы гармонического ряда неограниченно

возрастают, а, следовательно, гармонический ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов

1. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Теорема. Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к

нулю при → ∞, т.е.	lim an	0 .
	n
Доказательство. Для сходящегося ряда lim Sn				S	и	lim Sn 1	S .
			n			n
А так как an Sn Sn 1 ,	то	liman	lim (Sn Sn 1 ) S S 0 .
		n	n
Следствие. Если lim		≠ 0, то ряд расходится.
→∞

Мы получили необходимое условие сходимости числового ряда. При нарушении этого условия ряд заведомо расходится. При выполнении этого условия ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

		1
Вернемся к рассмотренным примерам. Для рядов		1	и

		(3n 1)(3n 2)
		(3n 1)(3n 2)
	n 1

		1

		n
	n 1

необходимое условие сходимости выполнено, но первый из них

является сходящимся, а второй – расходящимся.

Необходимое условие удобно применять для доказательства расходимости рядов.

Например, ряд

		2n 1

		3n 2
	n 1

расходится, т.к. lim	2n 1	2	0 .
	3n 2	3
n

Ряд

	3n 1	n
	3n 2
n 1	3n 2

также является расходящимся, т.к.

	3n 1	n			1
		n

lim			lim	1
n	3n 2		n		3n 2

(3n 2)

  

n
3n 2		1		1
3n 2		1

	e	3
		3
			3	e
				e

т.е. необходимое

условие не выполняется.

2. Остаток ряда.

ряд

Определение.

a	n 1	a	n 2	a	n


Если отбросить первые n членов ряда ak , то получится
						k 1

3	... a	n m	...		a	k , который называется остатком
3		n m				k , который называется остатком
				k n 1

данного ряда с номером n.

Теорема. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков.

Следствие. Отбрасывание конечного числа первых членов ряда не повлияет на сходимость.

Действительно, отбрасывание конечного числа первых членов ряда изменит значения членов последовательности частичных сумм на некоторую

величину, равную сумме отброшенных членов, но не повлияет на сходимость.

Теорема. Если ряд сходится, сумма его остатка стремится к нулю с возрастанием номера остатка.

Если S и Sn – соответственно сумма и частичная сумма с номером n сходящегося ряда, а rn – сумма его остатка, то

S	n

. Следовательно,

limr
n	n

lim (S S	n	) S S
n	n
n

3. Критерий Коши сходимости рядов.

Согласно определению числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм. Для числовой последовательности критерий сходимости (критерий Коши) формулируется следующим образом:

для того, чтобы числовая последовательность

S	n

1,2,3,...

, имела конечный

предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого

номер N, что для всех	n N	и для всех натуральных
неравенство

0 существовал такой чисел k выполнялось

S	n k	S	n
	n k		n

Формулируя эту теорему для последовательности частичных сумм, получим критерий сходимости числовых рядов:

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того, чтобы сходился


числовой ряд	a	n , необходимо и	достаточно,
числовой ряд		n , необходимо и	достаточно,
n 1
существовал такой номер N, что для			всех n N
чисел k выполнялось неравенство

чтобы для любого

и для всех натуральных

a	n 1	a	n 2	... a	n k		.

В качестве примера применения критерия Коши, еще раз докажем

расходимость

гармонического ряда.

Для

этого

оценим разность между

частичными суммами гармонического ряда

n k

n , полагая k n :

S2n Sn

....

n 2

2n 2

n слагаемых

Следовательно,

какой бы ни был номер n ,

можно выбрать число k n

так, что Sn k

. Итак,

если выбрать

и для любого номера n

выбрать число k n , то

n k

и, согласно критерию Коши, гармонический ряд расходится.

4. Линейные действия с рядами.

Сходящиеся ряды обладают следующими простыми свойствами:

1) если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то его сходимость не нарушится (сумма умножится на то число, на которое были умножены члены ряда).


2) если ряды an		и bn	сходятся и их суммы равны A и
n 1		n 1

то ряд (an bn )	также сходится и его сумма равна A B .

n 1

соответственно,

Соседние файлы в папке Лекции

#
25.12.2020572.77 Кб401.pdf
#
25.12.2020562.52 Кб302.pdf
#
25.12.2020407.81 Кб403.pdf
#
25.12.2020572.25 Кб304.pdf
#
25.12.2020425.76 Кб305.pdf
#
25.12.2020543.3 Кб206.pdf