3-й семестр / Лекции / 16
.pdf
ЛЕКЦИЯ 16
6.3. Вычисление несобственных интегралов.
1. Интегралы от рациональных функций.
Теорема 6.3. Если ( ) = (( )), где ( ), ( ) – многочлены, причем все
корни знаменателя комплексные и степень ( ) «m» хотя бы на две единицы больше степени ( ) «n» ( − ≥ 2), то
∞ |
|
|
∫ ( ) = 2 ∑ |
|
( ), |
|
−∞ |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
где ( ) = |
( ) |
|
и |
|
– полюсы |
функции |
( ), лежащие в верхней |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
полуплоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 6.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
||
Вычислить интеграл = ∫0 |
|
|
( > 0). |
|||||||||||||||
(2+ 2)2 |
||||||||||||||||||
Решение: подынтегральная функция ( ) |
= |
2 |
||||||||||||||||
|
– четная. Поэтому |
|||||||||||||||||
(2+ 2)2 |
||||||||||||||||||
∞ |
2 |
1 |
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∫0 |
|
= |
|
∫−∞ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2+ 2)2 |
2 |
(2+ 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Введем функцию ( ) = |
|
|
2 |
(заменили переменную на ). Т.е. на |
||||||||||||||
(2+ 2)2 |
|
|||||||||||||||||
действительной оси при = ( ) = ( ). Функция ( ) имеет две особые
точки 1 |
= , |
2 = − |
– |
|
это полюса |
второго |
порядка. В верхней |
|||||||||||||||||||||||||||||
полуплоскости находится точка = , |
|
|
> 0. Условия теоремы (6.3) для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функции ( ) выполнены. Вычислим |
|
( ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
lim |
|
[ ( )( − )2] = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= lim |
|
|
[ |
|
|
2 |
( − )2 |
|
|
|
|
] = lim |
|
|
|
2 |
|
= |
|
||||||||||||||||
|
|
( − )2( + )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
→ |
|
|
→ ( + )2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
2 |
= |
|
2( )2 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( + )3 |
|
(2 )3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подставим |
|
( ) = |
|
1 |
|
в формулу (6.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
= |
|
= |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
(2 + 2)2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Вычисление интегралов вида
∫0∞ ( ) cos , ∫0∞ ( ) sin ,
где ( ) – правильная рациональная дробь, > 0 – любое вещественное число.
Лемма Жордана. Если функция ( ) аналитична в верхней полуплоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек и стремится в этой полуплоскости к нулю при | | → ∞, тогда при > 0
lim ∫ ( ) = 0 ,
→∞
где контур – полуокружность | | = в верхней полуплоскости (см. рис.
20).
Рис. 1
Теорема 6.4. Если функция ( ), заданная на всей действительной оси, может быть продолжена на верхнюю полуплоскость и полученная функция ( ) удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на действительной оси, тогда при > 0
∞ |
|
|
∫ ( ) = 2 ∑ |
[( ) ] |
(6.9) |
|
|
|
−∞ |
=1 |
|
где – особые точки функции ( ) в верхней полуплоскости.
Так как согласно формуле Эйлера
= cos + sin ,
т.е. cos = ( ), sin = ( ), то (6.9) можно переписать в виде
∫−∞∞ ( ) sin = [2 ∑ =1 (( ) ∫−∞∞ ( ) = [2 ∑ =1 (( ) ( > 0).
Пример 6.6.
)], |
|
)], |
(6.10) |
Вычислить = ∫∞ sin 2 .
0 2+9
Решение: введем вспомогательную функцию ( ) = 2 . Если = , то
2+32
( ) |
совпадает с подынтегральной функцией |
( ) = |
sin 2 |
. Так как |
|||||||
|
|||||||||||
подынтегральная функция ( ) четная, то |
|
2+9 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
∞ |
sin 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
(6.11) |
||
|
|
|
2 |
2 + 9 |
|
||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||
Функция |
при стремлении | | → ∞ стремится к нулю и не имеет особых |
||||||||||
|
|
||||||||||
2+9 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точек на действительной оси, т.е. удовлетворяет условиям леммы Жордана. По теореме 6.4, используя формулу (6.9), получим
∞ |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
∫ |
|
|
= 2 |
( |
|
) . |
(6.12) |
|
|
|
|||||
|
2 + 9 |
=3 |
|
2 + 9 |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 – особая точка функции ( ), находится в верхней полуплоскости и является простым полюсом.
= −3 – также особая точка ( ), находится в верхней полуплоскости и в вычислении интеграла не используется.
Вычислим по формуле (5.7) вычет в точке = 3
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
( |
|
|
) = lim |
|
|
|
|
( − 3 ) = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=3 |
|
2 + 9 |
|
→3 2 + 9 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= lim |
|
2 |
= |
3−6 |
= |
|
1 |
. |
||||||
|
|
+ 3 |
|
6 |
|
|
26 |
||||||||
|
|
→3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя полученное значение в формулы (6.10), (6.11), (6.12), получим
|
|
|
1 |
∞ |
sin 2 |
1 |
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
∫ |
|
|
= |
|
|
∫ |
|
= |
|
|
||||
|
|
2 |
2 + 9 |
2 |
2 + 9 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
(2) |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
= |
|
[2 |
|
|
] = |
|
[2 |
|
|
] = |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
=3 |
|
2 + 9 |
|
2 |
|
|
26 |
|
26 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обобщение пройденного материала.