3-й семестр / Лекции / 15

ЛЕКЦИЯ 15

5.4. Вычеты функций.

Определение 5.7. Вычетом аналитической функции ( ) в изолированной особой точке 0 называется комплексное число, обозначаемое символом (0) и определяемое равенством

1 (0) = 2 ( ),

где – любой контур, лежащий в области аналитичности функции ( ), содержащий внутри себя единственную особую точку 0 функции ( ).

Предполагается, что контур C проходится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Теорема 5.5. Вычетом аналитической функции ( ) в изолированной особой точке 0 является коэффициент при ( − 0)−1 в разложении функции ( ) в ряд Лорана в окрестности точки 0.

Формулы для вычисления вычетов функции ( ):

1.если 0 – правильная точка функции ( ), то (0) = 0.

2.если 0 – устранимая особая точка функции ( ), то (0) = 0.

3.если 0 – полюс порядка функции ( ), то

нахождения необходимо найти коэффициент −1 в лорановском разложении функции ( ) в окрестности точки 0 ( (0) = −1).

Пример 5.9.

Найти вычеты функции в ее особых точках ( ) = −1 .

2( − )

Решение: особыми точками функции ( ) являются точки 1 = 0, 2 = . В точке = 0

Следовательно, = 0 – устранимая особая точка и ( ) = 0.

=0

В точке = имеем полюс первого порядка, так как ( ) можно представить в виде (по теореме 5.3). Тогда

Решение: особые точки функции ( ) – нули знаменателя, т.е. корни уравнения 3 + 1 = 0. Решая это уравнение, получим

т.е. вычеты по всех особых точках функции равны 13.

Пример 5.11.

Найти вычет функции в ее особой точке ( ) = 2 1.

Решение: особая точка функции ( ) есть точка = 0. Она является существенно особой точкой функции ( ). Чтобы убедиться в этом, достаточно выписать лорановское разложение функции ( ) в окрестности точки = 0, используя формулу (4.5)

Оно содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет функции в

Решение: особые точки функции находятся из уравнения 5 + 43 = 0 или

3( + 2 )( − 2 ) = 0.

1 = 0 – полюс третьего порядка,2,3 = ±2 – полюса первого порядка.

и в точке 1 по формуле вычисления вычета в полюсе 3-го порядка:

Тема 6. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов

6.1. Основная теорема о вычетах.

Теорема 6.1. Если функция ( ) аналитична всюду внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек 1, 2,. . . , , тогда

( ) = 2 ∑ ( ).

Контур Г проходится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Пример 6.1.

Вычислитьинтеграл ∫| +2|=1 ( +2)2( 2+1).

Решение: особые точки подынтегральной функции определяются из уравнения ( + 2)2(2 + 1) = 0.

1 = −2 – полюс второго порядка,

2,3 = ± – полюса первого порядка (см. рис.).

Пример 6.2.

1

Вычислить интеграл∫| − |=2 2 .

Решение: в области : | − | < 2 функция ( ) = 2 1 имеет одну особую точку = 0. Это существенно особая точка, так как ее лорановское разложение в окрестности = 0 имеет вид (используем формулу (4.1))

Оно содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет в точке= 0 равен коэффициенту 1 = 3!1 , т.е. =0 ( ) = 3!1 . По теореме 6.1

6.2. Вычет функции в бесконечно удаленной точке

Определение 6.1. Функция ( ) аналитична в бесконечно удаленной точке= ∞, если функция (ζ) = f (1) аналитична в = 0.

Определение 6.2. Если = 0 – правильная, устранимая, полюс или существенно особая точка функции ( ), то точка = ∞ называется правильной, устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции

( ).

Определение 6.3. Вычетом аналитической функции ( ) в точке = ∞ называется комплексное число, равное значению интеграла

1(∞) = 2 ∫−( )

по любому замкнутому контуру, проходимому по часовой стрелке, вне которого функция аналитична и не имеет особых точек, отличных от = ∞, т.е.

=∞( ) = −−1.

Пример 6.3.

Найти вычет в = ∞ для функции ( ) = cos .

Теорема 6.2. Если функция ( ) аналитична на полной комплексной плоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек

1, 2, … , −1, = ∞, то

∑ ( ) = 0

=1

или

−1

∞( ) = − ∑ ( ).

=1

Последней формулой удобно пользоваться при вычислении некоторых интегралов.

Пример 6.4.

Вычислить интеграл = ∫| |=4 6+9 4.

1

Решение: подынтегральная функция ( ) = 6+9 4 внутри окружности

| | = 4 имеет три особые точки 1 = 0, 2 = 3, 3 = −3.

Использование основной теоремы о вычетах приводит к громоздким вычислениям. Удобнее воспользоваться формулой (6.7): = −2 ∞( ).

Выпишем лорановское разложение функции ( ) в окрестности