3-й семестр / Организация ЭВМиС; Орлов С.А., Цилькер Б.Я

Рис. 2.15. Форматы десятичных чисел: а — упакованный; б — зонный

Наиболее распространен упакованный формат (рис. 2.15, а), позволяющий не только хранить десятичные числа, но и производить над ними арифметические операции. В данном формате запись числа имеет вид цепочки байтов, где каждый байт содержит коды двух десятичных цифр. Правая тетрада младшего байта предназначается для записи знака числа. Десятичное число должно занимать целое количество байтов. Если это условие не выполняется, то четыре старших двоичных разряда левого байта заполняются нулями. Так, представление числа –7396 в упакованном формате имеет вид, приведенный на рис 2.16.

Рис. 2.16. Представление числа –7396 в упакованном формате

Зонный формат (рис. 2.15, б) распространен, главным образом, в больших универсальных ВМ семейства IBM 360/370/390. В нем под каждую цифру выделяется один байт, где младшие четыре разряда отводятся под код цифры, а в старшую тетраду (поле зоны) записывается специальный код «зона», не совпадающий с кодами цифр и знаков. В IBM 360/370/390 это код 11112 = F16. Исключение составляет байт, содержащий младшую цифру десятичного числа, где в поле зоны хранится знак числа. На рис. 2.17 показана запись числа –7396 в зонном формате. В некоторых ВМ принят вариант зонного формата, где поле зоны заполняется нулями.

Рис. 2.17. Представление числа –7396 в зонном формате

Размещение знака в младшем байте, как в зонном, так и в упакованном представлениях, позволяет задавать десятичные числа произвольной длины и передавать их в виде цепочки байтов. В этом случае знак указывает, что байт, в котором он содержится, является последним байтом данного числа, а следующий байт последовательности — это старший байт очередного числа.

Рассмотренный вариант двоично-кодированного представления десятичных цифр с весами 8421 наиболее распространен, но не является единственным. Возможные иные схемы кодирования приведены в табл. 2.5.

Использование 4-х двоичных цифр для представления одной десятичной цифры по своей сути избыточно. В то же время при иной системе кодирования для представления десятичного числа из трех цифр достаточно 10 двоичных разрядов. Два наиболее известных варианта такого «экономичного» кодирования — код ЧенХо (Tien Chi Chen, Irving T. Ho) и плотно упакованный десятичный код (DPD — Densely Packed Decimal).

В обоих вариантах каждая десятичная цифра классифицируется по значению старшего бита в ее представлении в коде BCD на «маленькую» 0–7 (00002–01112) или «большую» 8–9 (10002–10012). Для идентификации маленькой цифры (М) достаточно 3 бита, а большой (Б) — одного бита.

При таком представлении возможны следующие комбинации из трех десятичных цифр:

М + М + М (требуется 9 битов для цифр и остается 1 бит для идентификации этой комбинации);

М + М + Б, или М + Б + М, или Б + М + М (требуется 7 битов для цифр и остается 3 бита для идентификации этих комбинаций);

М + Б + Б, или Б + М + Б, или Б + Б + М (требуется 5 битов для цифр и остается 5 битов для идентификации этих комбинаций);

Б + Б + Б (3 бита для цифр и 7 битов для индикации этой комбинации, хотя нужно только 5).

Для идентификации конкретной комбинации используются те из 10 битов, которые остались свободными после представления закодированных значений цифр. Различие в методах кодирования Чен-Хо и DPD состоит в способе формирования идентификатора комбинации. Более детально с данными видами кодировки десятичных чисел можно ознакомиться в [64, 72]. В табл. 2.6 приведены примеры кодировки троек десятичных чисел в кодах BCD, Чен-Хо и DPD.

Числа в форме с плавающей запятой

От недостатков ФЗ в значительной степени свободна форма представления чисел с плавающей запятой (ПЗ), известная также под названиями нормальной или полулогарифмической формы. В данном варианте каждое число разбивается на две группы цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком. Число представляется в виде произведения X = ±mq±p, где m — мантисса числа X, р — порядок числа, q — основание системы счисления.

Для представления числа в форме с ПЗ требуется задать знаки мантиссы и порядка, их модули в q-ричном коде, а также основание системы счисления (рис. 2.18). Нормальная форма неоднозначна, так как взаимное изменение m и p приводит к «плаванию» запятой, чем и обусловлено название этой формы.

Рис. 2.18. Форма представления чисел с плавающей запятой

Диапазон и точность представления чисел с ПЗ зависят от числа разрядов, отводимых под порядок и мантиссу. На рис. 2.19 показаны диапазоны разрядностей порядка и мантиссы, характерные для известных ВМ.

Помимо разрядности порядка и мантиссы, диапазон представления чисел зависит и от основания используемой системы счисления, которое может быть отличным от 2. Например, в универсальных ВМ (мэйнфреймах) фирмы IBM используется база 16. Это позволяет при одинаковом количестве битов, отведенных под порядок, представлять числа в большем диапазоне. Так, если поле порядка равно 7 битам, максимальное значение qp, на которое умножается мантисса, равно 2128 (при q = 2) или 16128 (при q = 16), а диапазоны представления чисел соответственно составят 10–19 < | X | < 10+19 и 10–76 < | X | < 10+76. Известны также случаи использования базы 8, например, в ВМ B-5500 фирмы Burroughs.

Рис. 2.19. Типовые разрядности полей порядка и мантиссы

В большинстве вычислительных машин для упрощения операций над порядками последние приводят к целым положительным числам, применяя так называемый смещенный порядок. Для этого к истинному порядку добавляется целое положительное число — смещение (рис. 2.20). Например, в системе со смещением 128, порядок –3 представляется как 125 (–3 + 128). Обычно смещение выбирается равным половине представимого диапазона порядков. Отметим, что смещенный порядок занимает все биты поля порядка, в том числе и тот, который ранее предназначался для записи знака порядка.

Рис. 2.20. Формат числа с ПЗ со смещенным порядком

Мантисса в числах с ПЗ обычно представляется в нормализованной форме. Это означает, что на мантиссу налагаются такие условия, чтобы она по модулю была меньше единицы (|q| < 1), а первая цифра после запятой отличалась от нуля. Полученная таким образом мантисса называется нормализованной. Для применяемых в ВМ систем счисления можно записать:

двоичная: X = m × 2p, (1 > |m| ≥ ½);

восьмеричная: X = m × 8p, (1 > |m| ≥ ⅛);

шестнадцатеричная: X = m × 16p, (1 > |m| ≥ 1/16).

значения порядка могут лежать в диапазоне от –128 до +127. В примере предполагается, что основание системы счисления равно 2. Третье поле слова содержит нормализованную мантиссу со скрытым разрядом (единицей). Благодаря такому приему 23-разрядное поле позволяет хранить 24-разрядную мантиссу в диапазоне от 0,5 до 1,0.

На рис. 2.22 приведены диапазоны чисел, которые могут быть записаны с помощью 32-разрядного слова.

Рис. 2.22. Числа, представимые в 32-битовых форматах: а — целые числа

сфиксированной запятой; б — числа с плавающей запятой

Вварианте с ФЗ для целых чисел в дополнительном коде могут быть представлены все целые числа от –231 до 231 – 1, то есть всего 232 различных чисел (рис. 2.22, а). Для случая ПЗ возможны следующие диапазоны чисел (рис. 2.22, б):

отрицательные числа между –(1 – 2–24) × 2127 и –0,5 × 2–128;положительные числа между 0,5 × 2–128 и (1 – 2–24) × 2127.

В эту область не включены участки:

отрицательные числа, меньшие чем –(1 – 2–24) × 2127 — отрицательное переполнение;

отрицательные числа, большие чем –0,5 × 2–128 — отрицательная потеря значимости;

положительные числа, меньшие чем 0,5 × 2–128 — положительная потеря значимости;

положительные числа, большие чем (1 – 2–24) × 2127 — положительное переполнение.

Показанная запись числа с ПЗ не учитывает нулевого значения. Для этой цели используется специальная кодовая комбинация. Переполнения возникают, когда в результате арифметической операции получается значение большее, чем можно

Стандарт IEEE 754

Рекомендуемый для всех ВМ формат представления чисел с плавающей запятой определен стандартом IEEE 754. Этот стандарт был разработан с целью облегчить перенос программ с одного процессора на другие и нашел широкое применение практически во всех процессорах и арифметических сопроцессорах.

Стандарт определяет 32-битовый (одинарный) и 64-битовый (двойной) форматы (рис. 2.24) с 8- и 11-разрядным порядком соответственно. Основанием системы счисления является 2. В дополнение, стандарт предусматривает два расширенных формата, одинарный и двойной, фактический вид которых зависит от конкретной реализации. Расширенные форматы предусматривают дополнительные биты для порядка (увеличенный диапазон) и мантиссы (повышенная точность). Таблица 2.8 содержит описание основных характеристик всех четырех форматов.

Рис. 2.24. Основные форматы IEEE 754: а — одинарный; б — двойной

Не все кодовые комбинации в форматах IEEE интерпретируются обычным путем — некоторые комбинации используются для представления специальных значений. Предельные значения порядка, содержащие все нули (0) и все единицы (255 — в одинарном формате и 2047 — в двойном формате), определяют специальные значения.

Описываются следующие классы чисел.

Порядки в диапазоне от 1 до 254 для одинарного формата и от 1 до 2036 — для двойного формата, используются для представления ненулевых нормализо-

Рис. 2.25. Формат упакованных чисел с плавающей запятой в технологии SSE4

Разрядность основных форматов числовых данных

Данные, представляющие в ВМ числовую информацию, могут иметь фиксированную или переменную длину. Операционные устройства вычислительных машин (целочисленные арифметико-логические устройства, блоки обработки чисел с плавающей запятой, устройства десятичной арифметики и т. п.), как правило, рассчитаны на обработку кодов фиксированной длины. Общепринятые величины разрядности кодов чисел: бит, полубайт, байт, слово, двойное слово, счетверенное слово, двойное счетверенное слово.

Наименьшей единицей данных в ВМ служит бит (BIT, BInary digiT — двоичная цифра). В большинстве случаев эта единица информации слишком мала. Однобитовые операционные устройства использовались в ВМ с последовательной обработкой информации, а в современных машинах с параллельной обработкой разрядов они практически не применяются. Побитовую работу с данными скорее можно встретить в многопроцессорных вычислительных системах, построенных из одноразрядных процессоров.

Следующая по величине единица состоит из четырех битов и называется полубайтом или тетрадой, или реже «ниблом» (nibble). Она также редко имеет самостоятельное значение и заслуживает упоминания как единица представления отдельных десятичных цифр при их двоично-десятичной записи.

Реально наименьшей обрабатываемой единицей считается байт (BYTE, BinarY TErm — двоичный элемент), состоящий из восьми битов. На практике эта единица информации также оказывается недостаточной, и значительно чаще применяются числа, представленные двумя (слово — 16 битов), четырьмя (двойное слово — 32 бита), восемью (счетверенное слово — 64 бита) или шестнадцатью (двойное счетверенное слово — 128 битов) байтами.

Блоки операций с плавающей запятой обычно согласованы со стандартом IEEE 754 и рассчитаны на обработку чисел в формате двойной длины (64 бита). В большинстве ВМ реальная разрядность таких блоков даже больше (80 битов). Таким образом, наилучшим вариантом при проведении вычислений с плавающей запятой можно считать формат двойного слова. При выборе формата меньшей длины (32 разряда) вычисления все равно ведутся с большей точностью, после чего результат округляется. Таким образом, использование короткого формата чисел с плавающей запятой, как и в случае целых чисел с фиксированной запятой, помимо экономии памяти никаких иных преимуществ также не дает.