Зачёт Волчкова 2020 / 26-1_answers_ver2

ВОПРОСЫ к защите Лаб. 26-1 (практическая часть)

1. (Лаб26-1). Запишите выражения для прямого и обратного Z-преобразованиий.

Интегральному преобразованию Лапласа для непрерывных сигналов соответствует– Z - преобразование. Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных сигналов и систем. Если преобразование Лапласа позволяет свести линейные дифференциальные уравнения, которыми описываются непрерывные системы - к алгебраическим, то Z-преобразование позволяет установить такое же соответствие между разностными и алгебраическими уравнениями для дискретных сигналов и систем. Пусть задан непрерывный сигнал x(t). Изображение этого сигнала X(p) определяется посредством прямого преобразования Лапласа вида

Найдем изображение дискретно-непрерывного сигнала xd(t).

Учитывая свойство перестановочности операций интегрирования и суммирования, а также фильтрующее свойство дельта-функции Дирака, получаем

Вводя переменную , получаем следующее прямое Z-преобразование для последовательности

Z-преобразование имеет прямое и обратное представления.

Обратное Z-преобразование имеет следующий вид

оно позволяет по функции X(z) найти дискретную последовательность c помощью определения контурного интеграла.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

2. (Лаб26-1). Чему равно Z-преобразование единичного импульса и Z- преобразование задержанного на 3 отсчета единичного импульса?

Z-преобразование единичного импульса:

Z-преобразование задержанного на 3 отсчета единичного импульса:

3. (Лаб26-1). Как называется отклик ЦФ на воздействие в виде единичного импульса, привести график этого импульса и его математическое описание?

Импульсной характеристикой называется отклик ЦФ на входной единичный импульс

_

4. (Лаб26-1). Поясните свойства Z-преобразования и запишите их математически (всего четыре свойства).

Линейность. Если {xi} и {yi} – числовые последовательности с известными Z-преобразованиями X(z) и Y(z), то последовательность {ui = α xi +β yi} имеет Z-преобразование U(z) = α X(z) + β Y(z).

Z-преобразование смещенного сигнала. Пусть последовательность {yi = xi-m} получена путем задержки последовательности {xi} на m тактов дискретизации. Тогда при нулевых начальных условиях имеем:

Y(z) = X(z), m = 1,2,… При m = 1 символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации).

Z-преобразование свертки. Для последовательностей {xi} и {yi} свертка определяется следующим соотношением

Если эти последовательности имеют Z-преобразования X(z) и Y(z), то свертке {fi} этих последовательностей отвечает произведение их Z- преобразований: F(z) = X(z) Y(z).

Равенство Парсеваля. Данное равенство позволяет определить энергию Ex дискретно-непрерывного сигнала как по его Z-изображению X(z), так и по последовательности {xi}.

5. ^{(Лаб26-1). Записать выражение Y(z) для Z-преобразования сигнала {y}i^{} на} выходе нерекурсивного ЦФ 3-го порядка, если Z-преобразование X(z) входного ^{сигнала {x}i^{} известно.}

6. ^{(Лаб26-1). Записать выражение Y(z) для Z-преобразования сигнала {y}i^{} на} выходе нерекурсивного ЦФ 5-го порядка, если Z-преобразование X(z) входного ^{сигнала {x}i^{} известно.}

7. (Лаб26-1). Как определяется порядок ЦФ и записать общий вид разностного уравнения для ЦФ n-го порядка ?

Порядок фильтра определяют в зависимости от количества параметров фильтра.

Разностное уравнение ЦФ записывается в виде:

_

8. (Лаб26-1). При каком воздействии отклик ЦФ называется переходной функцией, привести график этого воздействия и его математическое описание?

Переходной функцией называется отклик ЦФ на входное воздействие в виде единичного скачка.

_

9. (Лаб26-1). Коэффициенты разностного уравнения нерекурсивного ЦФ-1 равны

^b0^{=1, b}1^{=0.5. Вычислить значение импульсной реакции при n=0?}

_

10. ^{(Лаб26-1). Параметры нерекурсивного ЦФ-2 равны b}0^{=1, b}1^{=0.5, b}2^=0.8.

Запишите численное значение переходной функции при n = 1.

11. (Лаб26-1). Требуется ли проверять на устойчивость нерекурсивный ЦФ и почему (ответ пояснить через рекуррентное уравнение такого фильтра)?

Цифровой фильтр (ЦФ) называется устойчивым, если независимо от начальных условий свободный процесс в нем представляет невозрастающую последовательность, т. е. при <M где M – заданное число Нерекурсивные фильтры не имеют цепей обратной связи и поэтому всегда устойчивы. В рекурсивном фильтре, из-за наличия обратной связи, при некоторой заданной последовательности начальных состояний на выходе могут циклически образовываться отсчеты, играющие роль «свободных колебаний» .

12. ^{(Лаб26-1). На нерекурсивный ЦФ 2 порядка с коэффициентами b}0^=b1^=b2⁼¹ действует сигнал {x_i }, состоящий из трех ненулевых временных отсчетов: x₀  x₁  x₂  1, x_i2  0 . Записать уравнение такого фильтра и найти каково

значение его отсчета отклика

y₂ ?

ответ 3мс

13. ^{(Лаб26-1). Как называется ЦФ, если все его коэффициенты a}i ^{=0, и записать его} разностное уравнение применительно к ЦФ n-го порядка?

Этот фильтр называется фильтр с обратной связью и если все коэффициенты то уравнение 1 будет иметь вид 2 (2)

_

14. (Лаб26-1). Как определяется системная функция ЦФ и записать ее выражение применительно к нерекурсивному ЦФ n-го порядка?

Системная функция определяется с помощью применения z-преобразования к обеим частям уравнения (1) и после этого мы получим уравнение (2) для системной функции ЦФ, заданного разностным уравнением

15. (Лаб26-1). Записать разностное уравнение и системную функцию для ^{нерекурсивного ЦФ 4-го порядка с коэффициентами b}0^=b1^{=0, b}2^{≠0, b}3^{≠0, b}4^≠0

А. Пусть на вход ЦФ подается входной сигнал xn=X(nT) в виде последовательности числовых значений, следующих с интервалом дискретизации Т. Тогда выходной сигнал ЦФ Yn =Y(nT) записывают в виде линейного разностного уравнения:

Для n-порядка

Для 4 порядка

Для 4 порядка с учётом коэффициентов

Где a, b – постоянные вещественные коэффициенты

Б. системная функция для нерекурсивного ЦФ 4-го порядка с коэффициентами b0=b1=0, b2≠0, b3≠0, b4≠0

16. ^{(Лаб26-1). На нерекурсивный ЦФ 2 порядка с коэффициентами b}0^=b1^=b2⁼¹ действует сигнал {x_i }, состоящий из четырех ненулевых временных отсчетов. x₀  x₁  х₂  x₃  0.5 , x_i3  0 . Записать уравнение такого фильтра и найти

каково максимальное значение отсчета отклика фильтра

y_i ?

ответ 2 мс

17. (Лаб26-1). Осуществляет ли нерекурсивный ЦФ 1 порядка полосовую фильтрацию (ответ обосновать через общее выражение для АЧХ этого фильтра)?

Импульсная характеристика фильтра первого порядка имеет вид, показанный на рис 1. Частотную передаточную функцию получим из уравнения 1. Вынесем за знак суммы . Используя формулу Эйлера и учтя условие симметрии h(n) будем иметь уравнение 2

Где

Отсюда для АЧХ имеем уравнение 3

Значения АЧХ в зависимости от выбранных значений коэффициентов , могут быть равными нуля или произвольными положительными поэтому данный вид нерекурсивного ЦФ позволяет получить ФНЧ (фильтр нижних частот) ФВЧ (фильтр верхних частот) ПФ(полосовой фильтр) ЗФ(… фильтр)

18. ^{(Лаб26-1). На нерекурсивный ЦФ 2 порядка с коэффициентами b}0^=b1^=b2⁼¹

действует сигнал {x_i }, состоящий из пяти временных отсчетов:

x₀  x₁  x₂  1, x₃  0.5, x_i3  0

. Сколько не нулевых отсчетов содержит

отклик фильтра

y_i ?

ответ 3мс

19. (Лаб26-1). Как называется модуль комплексного коэффициента передачи

^K_T  ^{j f}  ^{ЦФ и запишите его выражение применительно к нерекурсивному} фильтру n-го порядка?

Комплексным коэффициентом передачи линейной дискретной системы называется отношение комплексной амплитуды выходного синусоидального сигнала к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала

Где – амплитуды выходного и входного сигналов соответственно начальные фазы выходного и входного сигналов соответственно (1)

20. (Лаб26-1). Как называется отклик ЦФ на воздействие в виде единичной

функции включения (скачка)  _i

_{ }1,

^0,



i  0

i  0

привести график этого

воздействия и его математическое описание?

А. Называется функция Хэвисайда, так как функция это единичный скачек. Функция единичного скача a(t), она же функция Хэвисайда, она же функция включения, равна 0 для отрицательных значений аргумента и единице для положительных

П ри отрицательных значения х, у=0 При положительных значениях х, у=1

Переходной характеристикой (ПХ) (или переходной функцией ) линейной непрерывной системы является ее отклик на входное воздействие в виде единичного скачка (функции Хевисайда)

На практике переходная характеристика позволяет оценить поведение л.н.с. при действии на ее входе резко меняющихся сигналов. В частности, если - делаем вывод, что линейная система неустойчива. Если ПХ ограничена , но имеет пульсации, то по их амплитуде и длительности можно оценить близость системы к возбуждению.

21. (Лаб26-1). Запишите разностное уравнение для нерекурсивного ЦФ n-го порядка и выражение для его комплексного коэффициента передачи.

А. Пусть на вход ЦФ подается входной сигнал = в виде последовательности числовых значений, следующих с интервалом дискретизации Т. Тогда выходной сигнал ЦФ = записывают в виде линейного разностного уравнения:

Где a, b – постоянные вещественные коэффициенты

Б. Уравнениям 1 и 2 соответствует структурная схема фильтра, показанная на рис. 1. Выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра получим из уравнения 1, принимая получим уравнение 3. А представив уравнение 3 в тригонометрической форме получим уравнение 4

(1)

(2)

(3)

(4)

P.s. на рисунке показано только 2 фильтра (z^-1) поэтому и бралось a₁z и a₂z для n-ого количества фильтров нужно делать большую сумму уравнений примерно (1)

22. (Лаб26-1). Что такое дискретная свертка двух сигналов и чему равно ее Z- преобразование (ответ пояснить соответствующими формулами)?

Дискретной сверткой двух сигналов называется следующая операция:

где ^[∗^] - символ дискретно-непрерывной свертки.

Спектр свертки равен произведению спектров.

23. (Лаб26-1). Нарисовать структурную схему нерекурсивного ЦФ 4-го порядка и c ^{записать его разностное уравнение (все коэффициенты b}0^,..,b4 ^{не нулевые).}

Разностное уравнение:

_

24. (Лаб26-1). Вывести выражение для АЧХ нерекурсивного ЦФ 1-го порядка с ^{произвольными коэффициентами b}0^{, b}1 ^{(ответ преобразовать к максимально} простому виду).

T-интервал дискретизации

25. ^{(Лаб26-1). При каких ограничениях на коэффициенты b}0^{, b}1 ^{получается ЦФ-1} верхних частот (ответ обосновать анализом соответствующего выражения для АЧХ ЦФ-1)

Если b1-отрицательное значение,то ФВЧ.

26. ^{(Лаб26-1). При каких ограничениях на коэффициенты b}0^{, b}1 ^{получается ЦФ-1} нижних частот (ответ обосновать анализом соответствующего выражения для АЧХ ЦФ-1)

Если b1-положительное значение,то ФНЧ.

27. (Лаб26-1). Вывести выражение для ИХ нерекурсивного ЦФ 1-го порядка с ^{произвольными коэффициентами b}0^{, b}1 ^{(непосредственно воспользоваться} определением ИХ, разностным уравнением и ответ преобразовать к максимально простому виду).

Импульсной реакцией называется отклик ЦФ на входной единичный импульс Для получения импульсной реакции для данного ЦФ нужно в разностное уравнение цифрового фильтра вместо переменной подставить дискретную дельту-функцию (единичный импульс ):

28. (Лаб26-1). Вывести выражение для ИХ нерекурсивного ЦФ 2-го порядка с ^{произвольными коэффициентами b}0^{, b}1^{, b}2 ^{(непосредственно воспользоваться} определением ИХ, разностным уравнением и ответ преобразовать к максимально простому виду).

Импульсной реакцией называется отклик ЦФ на входной единичный импульс Для получения импульсной реакции для данного ЦФ нужно в разностное уравнение цифрового фильтра вместо переменной подставить дискретную дельту-функцию (единичный импульс ):

_

29. (Лаб26-1). Нарисовать структурную схему нерекурсивного ЦФ 3-го порядка и c ^{записать его разностное уравнение, если коэффициенты b}0 ^=b2^{=0, b}1^{≠0, b}3^≠0.

Разностное уравнение:

30. (Лаб26-1). Нарисовать структурную схему нерекурсивного ЦФ 3-го порядка и c ^{записать его разностное уравнение, если коэффициенты b}0^{≠0, b}1^{=0, b}2^{≠0, b}3^≠0.

Разностное уравнение:

31. (Лаб26-1). Нарисовать структурную схему нерекурсивного ЦФ 3-го порядка и c ^{записать его разностное уравнение, если коэффициенты b}0^{= b}1 ^=b2^{=0, b}3 ^≠0

Разностное уравнение: