МОС Ответы на экзамен

1. Абсолютная и относительная погрешности

Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна

1,214 – 1,2: т. е. 0,014.

В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью.

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом .

А ≈ а (±Δ).

Запись следует понимать так: точное значение величины А находится в промежутке между числами а - и а + Δ, которые называют соответственно нижней и верхней границами А и обозначают НГА и ВГА.

Пример: если А ≈ 2,3(± 0,1), то 2,2 < А < 2,4.

Наоборот, если 7,3 < А < 7,4, то А ≈ 7,35(± 0,05).

Относительная погрешность (Relative error), "δ" – отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа.

Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью: δ = / а.

Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах.

Пример. 12,3 < А <12,7.

Ответ: а = 12,5 (± 0,2). = 0,2.

δ = 0,2 / 12,5 = 0,016

= 1,6%.

2. Приближен ные вычисления с помощью правил подсчета цифр

3. Приближенные вычисления по способы границ.

Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя − сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ(х + у) = НГx + НГу; ВГ(х + у) = ВГx + ВГу.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ(xу) = НГx • НГу; ВГ(ху) = ВГx • ВГy.

Для обратных действий − вычитания и деления − соответствующие правила имеют вид:

−округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ − по избытку;

−чем меньше разность ВГх – НГх, тем точнее определяется х;

−в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГх и ВГх или число близкое к нему.

4. Интерполяция

Интерполяцией в вычислительной математике называют способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

5. Измерение углов. Понятие градус и радиан.

Углом 1 градус называется угол, составляющий 1/360 полного круга

Углом 1 радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной 1.

6. Соотношение между градусной и радианной мерой угла. Число П.

1 градус=П/180 радиан

Х градусов=х*П/180 радиан

1 радиан=180/П=57.3 грудсов

Храдиан=180*х/П

7.Основные определения и понятия сферической тригонометрии.

Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от одной точки — центра О сферы.

Большим кругом называется след на поверхности сферы, который образуется при сечении ее плоскостью, проходящей через центр О.

Полюсом большого круга называется точка поверхности сферы, лежащая на прямой, которая проходит через центр О сферы перпендикулярно плоскости большого круга.

Сферическим радиусом большого круга является дуга другого большого круга, проходящая от полюса Р (Р') до той или иной точки заданного большого круга.

Дуги больших кругов (ДБК) обладают следующими свойствами: положение ДБК определяется двумя точками поверхности сферы (при условии, что эти точки не лежат на концах одного диаметра сферы); ДБК, заключенная между двумя точками сферы, является кратчайшим расстоянием между этими точками.

Из первого свойства следует, что через две точки поверхности сферы можно провести дугу большого круга и причем только одну. Вообще дуга большого круга играет на поверхности сферы такую же роль, как и прямая на плоскости.

Малым кругом называется след на поверхности сферы, образуемый в результате сечения ее плоскостью, не проходящей через центр О сферы.

Сферическим треугольником называется фигура на сфере, образованная тремя пересекающимися попарно дугами больших кругов. Во всех задачах задаются и определяются элементы такого сферического треугольника, каждая сторона которого ограничена пределами 180° (Эйлеров треугольник). У прямоугольного треугольника один из углов равен 90°. Четвертные – сферические треугольники у которых хотя бы одна сторона = 90˚.

8. Решени е сферических треугольников

.

13. Применение сферической тригонометрии в судовождении.

Ортодромия (ДБК) – линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земного шара, представляет собой наименьший из отрезков дуги большого круга, проходящей через эти точки.

Локсодромия – линия постоянного курса.

Расчет начального курса (Kн) и ортодромического расстояния (Dо) при плавании из точки А в точку В можно выполнить, рассмотрев сферический треугольник образованный пересечением меридианов проходящих через эти точки и дуги большого круга соединяющей точки А и В.

14. Случайная величина.

Случайная величина — это величина, которая может принимать то или иное значение неизвестное до опыта. Под случайной величиной понимают всю совокупность значений, которые она может принимать.

Случайная величина называется дискретной, если все ее значения можно перечислить. Например, количество очков на гранях игрального кубика, погрешности в 0,1о при округлении поправки компаса.

Если случайная величина своими значениями заполняет некоторый числовой интервал, то она называется непрерывной. Например, площадь пробоины, время до первого отказа прибора.

15. Закон распределения случайных величин.

Поскольку случайная величина может принимать различные значения, важно знать, с какой вероятностью могут появляться те или иные ее значения. Зависимость между самой случайной величиной и вероятностью появления ее возможных значений называется законом распределения случайной величины.

При равномерном распределении все значения случайной величины равновероятны. Примером такого распределения может служить погрешность при округлении какого-либо числа.

Если на случайную величину действует множество факторов, ни один из которых не преобладает, то ее распределение подчиняется нормальному закону

При оценке доверительного интервала случайной величины, распределенной по нормальному закону, по малой выборке (от 2 до 20 измерений) применяется распределение Стьюдента

16. Систематические погрешности, варианты определения и исключения их результата.

Систематические погрешности — это погрешности, знак и величина которых в измерениях изменяется по определенному закону. Систематические погрешности появляются в результате

неучтенного постоянного или закономерно изменяющегося воздействия факторов. Систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные погрешности сохраняют величину и знак постоянными в течение измерений или для всех навигационных элементов рассматриваемой совокупности. Например, неточное знание высоты мостика порождает одинаковую погрешность в выбираемом из таблиц наклонении горизонта для всех измеряемых светил.

Переменные погрешности изменяют свою величину по определенному закону с изменением условий измерения или с изменением величины навигационного элемента. Они порождаются факторами, действие которых закономерно изменяется. Как правило, эти законы известны и вызывают монотонно изменяющиеся или периодические погрешности.

Примером монотонно изменяющейся погрешности могут служить погрешности, зависящие от времени или расстояния: погрешность хронометра, погрешность в пройденном расстоянии по лагу, погрешность в расстоянии, рассчитанном по приближенному курсу

Принципиальная возможность определить систематическую погрешность позволяет исключить ее из результатов измерений.

Систематические погрешности определяются теоретическим и практическим способами. После того, как систематическая погрешность тем или иным способом определена, она исключается из результата измерения – учитывается при подсчетах (поправка лага,ГК, секстана), вводится в прибор (скоростная девиация в ГК)

17. Случайные погрешности. Промахи.

Случайные погрешности - это погрешности, изменяющие свою величину и знак от наблюдения к наблюдению без каких-либо известных закономерностей. Они принципиально непредсказуемы, однако, как и любая случайная величина, они подчиняются определенному закону распределения, и эти законы могут быть использованы для уменьшения их влияния на результат измерения.

Промахом называется грубая ошибка, величина которой заметно превышает ошибки измерений или вычислений при данных условиях. Наиболее исчерпывающе случайные погрешности описываются законом распределения. На практике обычно ограничиваются их числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией или средней квадратической погрешностью (СКП).

18. Исключение промахов по Q-критерию.

Для этого исключим из серии измерений результат x′, подозреваемый на промах (наиболее отличающийся от других). По оставшимся измерениям определяем размах:

R = xmax – xmin. (5.1)

Вычисляем разность x′ – x”,

где: x” – ближайшее к x′ измерение – xmax или xmin.

Проверка x′ на принадлежность к промаху производится с помощью неравенства:

│x′ - x”│ > Q×R.

Если неравенство выполняется, то x′ – промах. Исключаем его из результатов измерений.

В противном случае отброшенное измерение оставляем в серии и приступаем к вычислению числовых характеристик. Численное значение коэффициента Q выбирается из таблицы Приложение 2 по числу измерений n – 1, оставшихся после исключения подозреваемого на промах значения x′.

19. Обработка равноточных измерений.

Измерения выполненные одним наблюдателем с помощью одного и того же прибора, одним методом, в течении короткого промежутка времени и при одинаковых внешних условиях называются равноточными.

20. Навигационные параметры.

Навигационные параметры — это измеряемые величины, зависящие от взаимного расположения судна и ориентира и служащие для определения места судна. Примеры навигационных параметров: пеленг на ориентир или обратный пеленг, дистанция до ориентира, вертикальный угол, горизонтальный угол между двумя ориентирами, высота светила, разность расстояний до двух ориентиров ит.д.

21. Изолинии навигационных параметров. Использование в навигации.

Геометрическое место точек на земной поверхности, в которых значение навигационного параметра остается постоянным, называется изолинией.

Так, например, изолиния расстояния называется изостадией, изолиния пеленга - изопеленгой, изолиния горизонтального угла - изогоной, изолиния высоты светила - кругом равных высот, изолиния разности расстояний - гиперболой

Основное назначение изолинии - определение места судна. Как уже говорилось, одна изолиния не дает обсервованное место. Для его получения необходимо, как минимум, иметь две изолинии, т.е. следует, по крайней мере, измерить два навигационных параметра.

22. Линия положения и ее элементы.

Линия положения – отрезок прямой вблизи счислимого места судна, касательный к навигационной изолинии.

23. ОМС по ЛП

Измеряются, как минимум, два навигационных параметра.

Вмомент измерения фиксируется время и на этот момент с карты снимаются счислимые координаты.

Внавигационные функции подставляются счислимые координаты и рассчитываются счислимые навигационные параметры Uc 1 и Uc 2 .

Рассчитываются или выбираются из справочной литературы модули и направления градиентов навигационных параметров g1, т1; g2, т2.

Рассчитываются переносы р1 и р2.

Дальнейшее решение может быть выполнено двумя способами - аналитически и графически.

24. Полоса положения. Фигура погрешностей.

Таким образом, можно утверждать, что с вероятностью 68% судно находится где-то в полосе р ± mлп. Эта область называется полосой положения. Судоводитель должен полагать, что место судна не на линии, а в полосе положения, притом с вероятностью 68%.

На пересечении линий положения находится наиболее вероятное место, при этом действительное место судна находится не в этой точке, а в некоторой области около нее.

Пересечение полос положения образует четырехугольник, который называется фигурой погрешностей. Она показывает область, в которой с некоторой вероятностью может находиться действительное место судна.

25. Эллипс погрешностей.

Из всех оценок точности обсервованного места математически наиболее обоснованной и содержащей наибольшую информацию является оценка средним эллипсом погрешностей. Он накрывает действительное место судна с вероятностью около 39%.

Эллипс характеризуется двумя полуосями и ориентацией большой полуоси. Условимся в следующих обозначениях: а – большая полуось, b – малая полуось, φ – угол между более точной линией положения и большой полуосью.

26. Круговая погрешность места судна.