Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

(космический вакуум тоже можно считать средой — ведь он заполнен излучением) ниже температуры светящегося тела. В этом случае закон Кирхгофа тоже можно применять: нагретые тела в неравновесной системе излучают точно так же, как и в равновесии. Приведем несколько простых примеров.

Пример 29.1. Все знают, что свечка светит ярче газовой горелки, хотя горение происходит примерно при одной и той же температуре, а горелка часто мощнее свечки. Дело в том, что газ горелки является слабо поглощающей средой и согласно закону Кирхгофа должен слабо излучать. А вот среди продуктов сгорания свечки много мелких черных частичек углерода (говорят, что «свечка коптит»). Именно этим черным частичкам мы обязаны не только за копоть, но и за яркость.

Пример 29.2. Еще один известный опыт (такой опыт легко проделать каждому) состоит в том, что в пламя костра вносят черепок расписанного фарфора с темным рисунком на белом фоне, а затем раскаленный черепок вынимают обратно. При этом хорошо видно, что темный рисунок светится, а фон, наоборот, выглядит черным (это похоже на негативный снимок). Вытащить черепок из костра необходимо для большей «неравновесности»: в пламени костра (тем более в закрытой печке) малое излучение белого фона будет компенсироваться сильным отражением излучения печки и рисунок станет почти незаметным.

С точки зрения фундаментальной науки наиболее важной задачей является определение функции rω* — ведь именно она определяет равновесное распределение излучения как такового по частотам.

Прежде чем рассказать о попытках вычисления rω* на основе

классической физики, предпринятых рядом ученых в конце XIX в., попробуем «угадать» результат из соображений размерности. Вели-

чина rω* dω по определению имеет размерность Вт/м2, следова-

тельно, сама rω* имеет размерность Дж/м2 — энергия, отнесенная к

площади. Конечная формула не должна содержать никаких постоянных, которые относятся к природе и размерам тел, но при этом должна отражать зависимость rω* от температуры. Поэтому в каче-

стве энергии естественно выбрать величину, пропорциональную kT, а в качестве единственного масштаба длины — длину волны света λ. Тогда

461

Любопытно, что формула (29.4) в точности совпадает с результатом сложных расчетов на основе классической физики (мы еще и немного «сжульничали» для этого совпадения: «честная» замена переменной λ на переменную ω делается немного сложнее — см. вывод формулы (29.16) ниже).

Один из классических расчетов r*ω был выполнен в 1897 г. немец-

ким ученым Максом Планком. Суть работы Планка состояла в следующем. Так как закон Кирхгофа (29.3) универсален для тел любой природы, то в качестве тела, находящегося в равновесии с излучением, можно взять простейшее для расчетов — одномерный гармонический осциллятор (тот самый «заряд на пружинке», который фигурирует в классической элементарной теории дисперсии). Затем можно рассчитать для него величины rω и аω, после чего по формуле

(29.3) найти rω*. Вопрос о том, «что считать площадью поверхности

осциллятора» не является непреодолимым: эта «площадь» (принято говорить «сечение поглощения») получается как частное от деления мощности, поглощаемой осциллятором, на мощность излучения, падающего на единицу площади плоской поверхности. Проделав прямые, но несколько громоздкие выкладки, которые мы здесь не приводим, Планк пришел к выражению:

осциллятора. Согласно классической физике W = kT (в среднем —

которую принято называть формулой Рэлея — Джинса (Рэлей и Джинс получили эту формулу одновременно с Планком, но другим способом). Формула Рэлея — Джинса хорошо согласуется с экспериментом на низких частотах, однако на высоких частотах противоречит эксперименту, да и вообще, очевидно, абсурдна. Функция r*ω

монотонно возрастает с частотой, а значит, площадь под ее графиком бесконечна (интеграл (29.1) расходится), т.е. абсолютно черное тело при любой конечной температуре излучает бесконечную мощность. Пауль Эренфест позднее дал этой расходимости выразительное название «ультрафиолетовая катастрофа», и оно прижилось.

462

29.2. Формула Планка

Для разрешения проблемы «ультрафиолетовой катастрофы» в 1900 г. Планк выдвинул гипотезу: энергия W осциллятора может принимать не произвольные, как это следует из классической теории колебаний, а лишь дискретные (лат. discretus — прерывистый) значения, кратные его собственной частоте ω0: W = 0, $ω0, 2$ω0,

3$ω0, …, где $ — некий коэффициент (исторически Планк ввел

немного другую константу — h ≡ 2π$, обозначение с горизонтальной чертой для h / 2π принадлежит Полю Дираку; сейчас обе постоянные носят имя Планка). Гипотеза Планка оказалась гениальной — она полностью подтвердилась в 20-е годы ХХ в., когда была создана квантовая механика.

Почему же экспериментаторы раньше никогда не сталкивались с дискретностью значений энергии осциллятора? Ответ прост: постоянная Планка и частоты макроскопических осцилляторов слишком

малы ($ = 1,055æ10– 34 Джæс) для того, чтобы самыми точными приборами зафиксировать дискретность уровней энергии.

Чтобы понять теорию Планка, прежде всего вспомним, как вычисляется среднее значение («математическое ожидание») в теории вероятностей. Пусть величина А может принимать значения А0,

А1, А2, …, Аn с вероятностями соответственно P0, P1, P2, …, Pn (очевидно, что P0 + P1 + P2 + … + Pn = 1 — условие нормировки). Тогда <A> = А0 P0 + А1 P1 + А2 P2 + … + Аn Pn.

Для расчета средней энергии «дискретного» осциллятора Планк использовал вероятности, даваемые классической статистикой Макс- велла—Больцмана: вероятность того, что система в термодинамиче-

ском равновесии имеет энергию W, пропорциональна e– W / kT, т.е.

где Z — коэффициент, определяемый из условия нормировки:

n = 0

(Начиная с последнего равенства (29.7) и далее мы будем опускать индекс «0» у собственной частоты осциллятора, так как осциллятор с произвольной собственной частотой должен находиться в

463

термодинамическом равновесии с излучением.) Окончательно получаем:

n = 0

Существует несколько способов вычисления подобных выражений. Один из простейших состоит в непосредственном делении «столбиком» многочленов из числителя и знаменателя — результат оказывается обычной убывающей (x < 1) геометрической прогрессией:

_ x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + … 1 + x + x2 + x3 + x4 + …

_ x3 + 2x4 + 3x5 + …

x3 + x4 + x5 + …

x4 + 2x5 + …

……………

464

Значит

(Последнее равенство легко получить, заметив, что если S = х + х2 + + х3 + … = х + х (х + х2 + х3 +…) = x + xS, то S = x / (1 – x). Можно, разумеется, и сразу воспользоваться известной формулой суммы прогрессии.) Возвращаясь к старым обозначениям, окончательно получаем:

Теперь осталось подставить выражение (29.9) для средней энергии одномерного осциллятора в (29.5). Это и есть формула Планка:

e kT – 1

Графики rω* , для двух разных фиксированных температур приве-

дены на рис. 29.1. Формула Планка хорошо согласуется с экспериментальными данными.

rω*

T2>T1

T1

Рис. 29. 1

465

Рассмотрим асимптотики формулы Планка.

1. «Классический предел»: низкие частоты, высокие темпера-

что совпадает с формулой Рэлея — Джинса (29.4). Таким образом, пределы применимости классической физики (по крайней мере, для осциллятора) установлены.

2. «Квантовый предел»: высокие частоты, низкие температуры ($ω >> kT ). Единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе (29.10) можно пренебречь, и, соответственно, получаем:

К выражению вида (29.12) еще в 1896 г. на основе некоторых произвольных допущений пришел Вильгельм Вин, поэтому его называют формулой Вина. При ω → × убывающая экспонента «заби-

вает» возрастающую степенную функцию ω3, что обеспечивает сходимость интеграла по частотам (29.1), и, соответственно, снимается проблема «ультрафиолетовой катастрофы».

Теперь рассмотрим случай промежуточных частот, при которых наблюдается переход от возрастания к убыванию — максимум функ-

ции rω* . Относительно положения этого максимума можно сделать

определенные выводы на основании вида функции (29.10). Перепишем (29.10) в эквивалентном виде:

где y = $ω/ kT.

При фиксированной температуре форма кривой определяется

только вторым сомножителем в (29.13): f (y) = у3/(e y – 1). Функция f (y) одинакова для всех температур. Обозначим значение у, при котором

466

f (y) имеет максимум, как уm. Но тогда, возвращаясь к старым обозначениям, ym = $ωm / kT, или:

где ωm — частота, при которой rω* имеет максимум.

Выражение (29.14) называется законом смещения Вина, а постоянная b′ — постоянной Вина. Из (29.14) непосредственно следует:

чем выше температура, тем на более высоких частотах наблюдается максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела (см. рис. 29.1). Значение константы в (29.14) можно получить стандартным способом отыскания экстремума (приравниванием нулю производной f (y) по у). Прямые вычисления дают b′ = 3,694 · 1011 с– 1 · К– 1.

Найдем энергетическую светимость абсолютно черного тела R* в соответствии с ее определением (29.1):

Интеграл в последнем равенстве, в соответствии с таблицей опре-

деленных интегралов, равен π4 / 15. Таким образом, окончательно получаем:

В 1879 г. Стефан установил его эмпирически, а Больцман пять лет спустя обосновал его теоретически из термодинамических сообра-

жений. Постоянная σ равна 5,6696 · 10– 8 Вт / (м2æК4 ) и называется

постоянной Стефана — Больцмана. Итак: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры.

В экспериментальных работах по оптике вместо частоты ω обычно фигурирует длина волны λ. Сделаем необходимую замену переменной ω на переменную λ во всех важных формулах этой главы.

467

Прежде всего, введем спектральную плотность энергетической светимости учитывая, что rλ dλ — мощность, излучаемая единицей

поверхности стенки под всеми углами в интервале длин волн от λ до λ + dλ при температуре Т. Учитывая, что ω = 2πс/λ, имеем dω =

= (–2πс / λ2) dλ (знак «–» означает просто убывание длины волны при росте частоты). Теперь подставим ω и dω в rω* dω:

Кривые зависимости rλ*(λ) для двух различных температур пока-

заны на рис. 29.2.

Закон смещения Вина для длин волн установим тем же способом, что и для частот [см. (29.13), (29.14)]:

Так же, как и в (29.13), форма кривой определяется вторым сомножителем с у, это опять кривая с максимумом. Пусть максимум соответствует уm. Но тогда длина волны λm, соответствующая макси-

муму, удовлетворяет соотношению

где b — постоянная Вина (ее не следует путать с введенной выше постоянной Вина b′ для частот). Отыскание экстремума второго сом-

468

rλ*

T2>T1

T1

Рис. 29. 2

ножителя стандартным методом дает уm = 4,965, и последующая подстановка уm в (29.17) дает b = 2,898 · 10– 3 мæК.

Закон Стефана — Больцмана, разумеется, имеет один и тот же вид вне зависимости от того, по какой переменной (ω или λ) производится интегрирование r*. Действительно, согласно (29.16) имеем:

0× 0

Пример 29.3. Оценка температуры поверхности Солнца. Вид спектра излучения Солнца, измеренный на поверхности Земли, близок к кривой Планка (если пренебречь «фраунгоферовыми линиями»), поэтому Солнце можно приближенно считать абсолютно черным телом или, по крайней мере, серым. Максимум спектральной плотности излучения приходится на λm ≈ 550 нм (этой же длине

волны соответствует максимум чувствительности человеческого глаза). Подстановка в закон смещения Вина (29.18) дает Т ≈ 5300 К. Учет поправки на искажение спектра из-за прохождения света через земную атмосферу дает значение Т ≈ 6000 К. Разумеется, в недрах Солнца температура намного выше, но ее можно лишь рассчитать, исходя из конкретной модели процессов внутри Солнца. Согласно этим расчетам температура в центре Солнца достигает 15 млн градусов.

Пример 29.4. Пирометры — это приборы для определения температуры нагретых тел на основании их теплового излучения. Один из самых распространенных пирометров — «пирометр с исчезающей нитью». Прибор устроен так, что на изображение в зрительной трубе

469

исследуемого тела накладывается нить специальной лампы накаливания (нить помещают в фокальной плоскости объектива). В цепь лампы включают реостат, позволяющий регулировать накал нити таким образом, чтобы она исчезала на фоне тела, температура которого измеряется. По силе тока в цепи лампы определяется температура нити, а следовательно, и температура (принято говорить яркостная температура) тела. Основная трудность для точного определения температуры связана с правильным учетом поправок на «нечерноту» исследуемого тела.

Пример 29.5. Реликтовое излучение. Согласно современным представлениям наша Вселенная образовалась примерно 14 (по последним данным — 13,73) млрд лет назад в результате Большого взрыва. Одним из аргументов в пользу этих представлений является открытие так называемого реликтового (от лат. relictus — оставленный), или фонового излучения. В 1964 г. двое американских ученых Арно Пензиас и Роберт Уилсон изучали какие-то досаждавшие им источники радиоволн, создававшие помехи для связи. В своей работе они применили чувствительную антенну и с ее помощью обнаружили, что радиошум совершенно не зависит от времени суток или направления в небе. Последовавшее затем изучение спектра «помех» показало соответствие формы кривой расчетам спектра по формуле Планка для сверхнизких температур. Недавно (Нобелевская премия по физике за 2006 г.) с помощью прецизионного спутникового оборудования температура реликтового излучения была найдена с фантастической точностью: она оказалась равной 2,725 К. Итак, излучение от Большого взрыва, претерпев сильное адиабатическое охлаждение по мере расширения Вселенной, все еще присутствует в нашем мире.

В заключение подведем итог тому, что мы узнали о равновесном тепловом излучении как таковом. Равновесное тепловое излучение одинаково во всех точках и по всем направлениям (говорят: однородно и изотропно), не поляризовано и имеет непрерывный спектр, определяемый формулой Планка (29.10) (или эквивалентной ей формулой (29.17)).

Далее, можно показать (доказательство мы опускаем), что формуле Планка соответствует объемная плотность энергии wω излуче-

ния, приходящегося на частотный интервал от ω до ω + dω, определяемая соотношением wω = 4rω* /c, откуда

470