Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

ческой осью OO ′ кристаллической пластинки равен ϕ = π / 4. Тогда

º

на выходе из пластинки два взаимно перпендикулярных вектора E o

где Е — амплитуда плоскополяризованной волны, вышедшей из первого поляризатора. Через второй поляризатор P ′ пройдут составляю-

следующему выражению амплитуды E|| результирующей волны, прошедшей поляризатор P ′ для случая «параллельных» поляризаторов:

431

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому

При поляризаторах Р и P ′, расположенных так, что их плоскости пропускания Р и P′ взаимно перпендикулярны, («скрещенных» поля-

ность фаз, равная π. И амплитуда результирующей волны E , прошедшей второй поляризатор, определится из соотношения

Таким образом, интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего второй поляризатор, зависит от разности фаз колебаний в обыкновенном и необыкновенном лучах. Из формул (28.22) и

432

где λ — длина световой волны в вакууме, причем = (no – ne ) d, где, в свою очередь, no и ne — соответственно показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, а d — толщина пластинки.

(здесь m = 0, 1, 2, …), называется пластинкой в четверть волны. При прохождении через такую пластинку лучи о и е приобретают разность фаз δ = π / 2 .

называется пластинкой в полволны и т.д.

Напоминаем, что для отрицательного кристалла no > ne , а для положительного — наоборот: ne > no .

Пример 28.4. Кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, поместили между двумя скрещенными поляризаторами. Угол между плоскостями пропускания поляризаторов и оптической осью пластинки ϕ = 45°. Толщина пластинки d = 0,50 мм. При каких длинах волн в интервале λ ′÷ λ ′′ = 0,50 ÷ 0,60 мкм интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота второго поляризатора (см. рис. 28.8)? Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей в этом интервале длин волн ne – no = 0,0090.

По условию задачи интенсивность света, прошедшего через систему поляризатор — пластинка — поляризатор, не зависит от угла поворота второго поляризатора. Поэтому при любых углах поворота

где m = 0, 1, 2, … Разность фаз δ и оптическая разность хода свя-

433

При значениях m1 = 15, m2 = 16, m3 = 17 соответственно λ = = 0,58 мкм, λ = 0,54 мкм, λ = 0,51 мкм, что отвечает условию задачи.

Пример 28.5. Белый естественный свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка толщиной d = 1,5 мм, вырезанная параллельно оптической оси (см. рис. 28.8). Ось пластинки составляет угол ϕ = 45° с плоскостями пропускания поляризаторов. Прошедший через эту систему свет разложили в спектр. Сколько темных полос будет наблюдаться в интервале длин 0,55 — 0,66 мкм? Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей в этом интервале длин волн равна 0,0090.

то интенсивность света I , прошедшего через второй поляризатор, максимальна при значениях m = 0, 1, 2, … Но δ = 2πΔ / λ , где = (ne – no ) d. Поэтому

По этой формуле нетрудно подсчитать, что значениям m1 = 20, m2 = 21, m3 = 22, m4 = 23, и m5 = 25 соответствуют длины волн, лежа-

щие в диапазоне от 0,55 до 0,66 мкм и отвечающие максимумам интерференционной картины: λ1 = 0,66 мкм, λ2 = 0,63 мкм, λ3 = 0,60 мкм,

λ4 = 0,57 мкм и λ5 = 0,55 мкм. Таким образом, в интерференционной

картине в указанном интервале длин волн между пятью максимумами присутствуют четыре минимума (четыре темные полосы (k = 4)). Напомним, что наблюдение интерференционной картины стало возможным после разложения света вышедшего из второго поляризатора, в спектр.

Пример 28.6. Кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, помещена между двумя скрещенными поляризаторами так, что ее оптическая ось составляет угол 45° с плоскостями пропускания поляризаторов (см. рис. 28.8). При какой минимальной толщине пластинки свет с λ1 = 643 нм будет проходить

через эту систему с максимальной интенсивностью, а свет с λ2 = 564 нм

434

будет сильно ослаблен? Разность показателей преломления ne – no = = 0,0090.

Интенсивность света, вышедшего из системы пластинка — скре-

сивность I минимальна, если δ = 2mπ, где m = 0, 1, 2, …, и макси-

мальна, если δ = (2m + 1)π, где m = 0, 1, 2, … Так как δ = 2πΔ / λ , где = (ne – no ) d, то при сильном ослаблении света с длиной волны λ2:

Если свет с длиной волны λ1 при прохождении второго поляризатора остается максимально интенсивным, то

Результаты расчета значений d по формулам (28.27) и (28.28) для различных значений m приведены в табл. 28.1, 28.2.

Анализ данных табл. 28.1 и 28.2 показывает, что свет с длиной волны λ2 испытывает сильное ослабление, а свет с длиной волны λ1

максимально интенсивен при толщине пластинки dmin ≈ 0,250 мм.

435

Пример 28.7. Кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, имеет толщину 0,25 мм и служит пластинкой в четверть волны для монохроматической световой волны (λ = = 0,53 мкм). Для каких еще длин волн в области видимого спектра она будет также пластинкой в четверть волны? Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей в интервале длин волн области видимого спектра ne – no = 0,0090.

Для пластинки в четверть волны справедливо соотношение (см. (28.25)):

(nе – nо ) d = mλ + λ / 4, где m = 0, 1, 2, …, откуда:

Такое значение m1 = 4 соответствует длине волны λ1 = 0,53 мкм, принадлежащей видимому диапазону длин волн 0,40—0,75 мкм.

Для поиска других длин волн этого же диапазона в формулу (28.25), записанную в виде

λ(ne – no)d

=-------------------------- , m + 1 ⁄ 4

подставим соседние с m1 = 4 значения m2 = 3 и m3 = 5. Им отвечают соответственно значения длин волн λ2 = 0,43 мкм и λ3 = 0,69 мкм. Понятно, что для длин волн λ2 и λ3 рассматриваемая пластинка является пластинкой в четверть волны.

28.3. Дисперсия

Явление дисперсии заключается в различии значений показателя преломления вещества для различных длин волн. Например, в классическом опыте по преломлению солнечных лучей в стеклянной призме лучи разных цветов (длин волн) из-за дисперсии стекла преломляются на разные углы.

В подавляющем большинстве экспериментов показатель преломления растет с ростом частоты (или, что то же самое, падает с ростом длины волны). Такое поведение показателя преломления называется нормальной дисперсией. Например, в опыте с призмой мы наблюдаем нормальную дисперсию. В более тонких экспериментах в очень узких интервалах частот, соответствующих так называемым линиям поглощения, можно наблюдать и аномальную дисперсию, т.е. уменьшение показателя преломления с ростом частоты (увеличение с ростом длины волны).

436

Качественно понять причину дисперсии можно на основе простой классической модели, в которой атом вещества рассматривается как обычный пружинный маятник. Маленький шарик массой m и зарядом q закреплен на пружинке жесткостью k (рис. 28.13). Под действием переменного электрического поля световой волны E шарик совершает вынужденные колебания с частотой волны ω. Кроме электрической силы, на шарик действует сила трения Fтр пропорцио-

нальная скорости шарика v, так что Fтр = – βv.

Модель отражает некоторые реальные свойства атома вещества. Дипольный момент атома p в данной модели принимается равным qx, и, таким образом, заряд q и смещение x отражают распределение заряда в атоме. Если дипольный момент атома пропорционален внешнему полю E, то это эквивалентно действию на заряд возвращающей упругой силы: Fупр = – kx. Далее, двигаясь с ускорением, заряд теряет

энергию на излучение, что в модели отражено введением силы трения («радиационное трение»). Феноменологический коэффициент трения β подбирается так, чтобы средние за период потери энергии на излучение реального атома соответствовали рассчитанным из модели. Наконец, если под веществом понимать сильно разреженный газ, то это позволяет не учитывать взаимодействие атома с «соседями», что значительно упрощает рассмотрение.

Перейдем к математическому описанию явления дисперсии. Рассмотрим плоскополяризованную монохроматическую волну, вектор

где ω20 = k ⁄ m , γ = β / m.

Рис. 28. 13

437

Умножая последнее уравнение на n0 q (n0 — концентрация ато-

мов) и учитывая, что поляризация среды (дипольный момент элемента объема) P = n0 p, получаем

Рассмотрим решения данного уравнения в предельных случаях. 1. Возьмем область частот ω, далеких от ω0. Коэффициент γ (он

имеет размерность частоты), определяющий «радиационное трение», очень мал (γ << ω0). Реально γ << |ω — ω0|, и, за исключением узкой

области резонанса, слагаемым с γ вообще можно пренебречь. Уравнение (28.30) примет вид

а его решение, как легко проверить, P = P0 cos ωt . Перегруппировывая сомножители, получаем

будет рассмотрен далее. Из (28.32) имеем (за исключением частот близких к ω0) для показателя преломления

γ << ω20 – ω2 .

438

При извлечении квадратного корня из уравнения (28.33) для получения n(ω) можно ограничиться линейным членом разложения Тейлора, так как значение ε(ω) для разреженных газов очень близко к единице:

γ<< ω20 – ω2 .

2.Вернемся к исходному уравнению (28.30) и рассмотрим случай

Как мы видим, колебания поляризации отстают по фазе от колебаний электрического поля на π/2 (разность фаз между sin ω0t и cos ω0t),

исвязь между P и E не может быть выражена соотношением P(t ) =

=χE(t ). Результат можно (хоть и не слишком убедительно) интерпретировать так: в резонансе поляризация не имеет составляющей,

изменяющейся во времени по закону изменения внешнего поля и, следовательно, при ω = ω0 следует положить χ = 0, ε = 1 и n = 1 (к этому

же «толкают» и соображения «физической непрерывности» при переходе χ(ω) через ω = ω0). Таким образом, вблизи резонансной

частоты мы получаем узкую (Δω ~ γ) область аномальной дисперсии. Следует подчеркнуть, что χ(ω0) = 0 не означает равенства нулю

амплитуды колебаний поляризации. Напротив, из-за малого значения γ в знаменателе (28.34) амплитуда этих колебаний именно в резонансе имеет резкий максимум. В этом определенный дефект излагаемой элементарной теории: соотношение P = χE не в полной мере выражает связь между P и E. Дефект устраняется при введении комплексной восприимчивости (см. ниже).

Графики n(ω) и n(λ) с учетом n(ω0) = 1 приведены на рис. 28.14 для удобства в несколько утрированном виде: область аномальной диспер-

439

сии показана преувеличенно широкой (как если бы γ ~ ω0). На самом

деле область аномальной дисперсии столь узка, что ее наблюдение представляет собой сложную экспериментальную задачу.

28.4. Поглощение света

Рассмотрим мощность N, теряемую световой волной при раскачивании заряда q. По определению мгновенной мощности N = Fv, в

нашем случае = · . Начнем опять с частот, далеких от резонанс-

N qEx

ной (|ω – ω0| << γ). Так как x = P/(n0q), то, используя (28.31), имеем

Таким образом, вдали от резонансной частоты рассеяния мощности световой волны не происходит, и среда является прозрачной.

всего выразить непосредственно из (28.29), с учетом того что при ω = ω0 первые два слагаемых сокращаются:

440