Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

º

образуют необыкновенный луч. Колебания вектора E в необыкновенном луче в зависимости от направления распространения в кристалле составляют различный угол с оптической осью. Поэтому в различных направлениях этот луч будет распространяться с различной скоростью. В частности, для положительного кристалла (рис. 28.2) (в котором скорость необыкновенного луча меньше скорости обыкновенного ve < vo , и показатель преломления необыкновенного луча больше показателя преломления обыкновенного луча: ne > no ), ско-

рость необыкновенного луча будет наибольшей для направления 1 и наименьшей для направления 3 (ve ≠ const, ne ≠ const). Колебания

светового вектора в необыкновенном луче изображены на рис. 28.2 двусторонними стрелками. Волновой поверхностью для необыкновенного луча является эллипсоид вращения В (рис. 28.2). Для положительного кристалла эллипсоид вращения В вписан в сферу А. Для отрицательного кристалла, в котором ve > vo (ne < no ), наоборот,

сфера вписывается в эллипсоид.

Таким образом, из-за различия скоростей, а следовательно, и показателей преломления (no = c / vo , ne = c / ve ) у обыкновенного и

необыкновенного лучей при их распространении внутри кристалла, оба эти луча оказываются пространственно разделенными. Возникает явление двойного лучепреломления. И только вдоль оптической оси они распространяются с одинаковой скоростью, не разделяясь,

º

так как колебания вектора E в том и другом луче перпендикулярны оптической оси кристалла. Следует подчеркнуть, что именно «необыкновенные» свойства необыкновенного луча приводят к явлению двойного лучепреломления. Именно на этом луче сказываются анизотропные свойства кристалла.

Ход обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле можно изобразить с помощью принципа Гюйгенса. Пусть на положительный кристалл с оптической осью AA′, лежащей в плоскости рисунка, падает плоская волна (рис. 28.3). Фронт волны АВ сначала возбуждает в кристалле в точке А вторичные волны, и в кристалле начинают распространяться два луча — е и о с волновыми поверхностями соответственно в виде эллипсоида и сферы. К тому времени, когда фронт волны достигнет поверхности кристалла в точке С, волновые поверхности лучей, распространяющихся из точки А, примут вид, изображенный на рис. 28.3. Около всех точек, промежуточных между А и С, возникнут также волновые поверхности, но меньших размеров. Согласно принципу Гюйгенса огибающая всех вторичных волн показывает новое направление распространения волны. Огибающими вторичных волн в примере являются две плоскости, перпендикуляр-

421

C

A

E D

о

Рис. 28. 3

ные плоскости рисунка со следами на нем ЕС и DС. Эти плоскости являются касательными к волновым поверхностям соответственно необыкновенной и обыкновенной волн и являются фронтами этих преломленных волн. Линия, проведенная через точки А и Е, показывает направление распространения необыкновенного луча, а линия, проведенная через точки А и D — ход обыкновенного луча. Луч АE в настоящем примере не нормален к волновому фронту.

Для случая, когда оптическая ось AA′ параллельна преломляющей грани кристалла и перпендикулярна плоскости падения, картина построения хода обыкновенного и необыкновенного лучей представлена на рис. 28.4. Волновыми поверхностями необыкновенного и обыкновенного лучей являются соответственно эллипсоид и сфера. Следы пересечения этих фигур с плоскостью рисунка дают две окружности: меньшего диаметра для положительного кристалла — след эллипсоида, большего — сферы. По аналогии с предшествующим примером касательные ЕС и DС к двум окружностям дают точки Е и D, через которые проводятся два луча: необыкновенный — е и обыкновенный — о.

Для получения из естественного света плоскополяризованного света можно воспользоваться либо поляризацией при отражении под углом Брюстера, либо двойным лучепреломлением в кристалле. Плоскополяризованный свет при отражении под углом Брюстера мало интенсивен. При двойном лучепреломлении при небольшой толщине кристалла расхождение плоскополяризованных лучей мало′ . Поэтому для получения плоскополяризованного света пользуются

422

i

A C

E

D

о

е

Рис. 28. 4

более сложными системами кристаллов, в частности призмой Николя.

У. Николь изобрел призму в 1828 г. Она вырезается из кристалла исландского шпата и в поперечном сечении имеет форму ромба (рис. 28.5). По плоскостям ВD призма разрезается и склеивается канадским бальзамом, показатель преломления которого (nк.б =

=1,550) имеет промежуточное значение между показателями преломления для необыкновенного (nе = 1,515) и обыкновенного (nо =

=1,658) лучей (nе < nк.б < no). Благодаря такому значению показателя

преломления канадского бальзама и специальной ромбоидальной конструкции призмы, обыкновенный луч испытывает полное внутреннее отражение на поверхности канадского бальзама и поглощается в оправе призмы. Необыкновенный луч свободно проходит через слой канадского бальзама и после преломления на грани СD выходит из призмы.

Рис. 28. 5

423

Для получения поляризатора с большой площадью поверхности применяют поляризующие пленки — поляроиды. Они представляют собой пленку целлулоида, на которую нанесено большое число микроскопических одинаково ориентированных кристалликов сильно дихроичного вещества герапатита (сернокислого йод-хинина). Такая пленка с толщиной слоя кристаллов герапатита 0,3 мм полностью поглощает один из лучей.

Пример 28.1. На поляризатор падает естественный свет интенсивностью I0. Какова интенсивность света, вышедшего из поляризатора?

Предположим, что амплитуда светового вектора в плоской элект-

º

ромагнитной волне, падающей на поляризатор, равна Е0 и вектор E0

составляет угол β с плоскостью поляризатора. Тогда через поляризатор проходит только составляющая E||, определяемая соотношением:

Возведем левую и правую части соотношения в квадрат и получим:

В естественном свете, падающем на поляризатор, все значения β

º

от 0 до 2π равновероятны, так как вектор E0 колеблется во всевоз-

можных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению скорости волны. Поэтому равенство (28.2) нужно усреднить по β. Среднее от постоянной равно самой постоянной. Следовательно,

E||2 = E||2 , а E02 = E02 и

E||2 = E02 cos2β .

Для определения cos2β используем теорему о среднем значении функции интегрального исчисления, которая гласит: среднее значение функции на некотором отрезке равно интегралу от этой функции по этому отрезку, деленному на длину отрезка:

424

Применительно к cos2β имеем:

В ы в о д : интенсивность плоскополяризованного света, вышедшего из поляризатора, равна половине интенсивности естественного света, падающего на поляризатор.

Пример 28.2. Два поляризатора расположены так, что угол между плоскостями этих поляризаторов ϕ = 60° (рис. 28.6). Во сколько раз уменьшается интенсивность света при прохождении через оба поляризатора Р1 и Р2? При прохождении каждого из поляризаторов

потери на отражение и поглощение света η = 5 %.

Если бы не было потерь на отражение и преломление, то при прохождении светом первого поляризатора Р1 интенсивность света

составила бы

Рис. 28. 6

425

С учетом названных потерь:

Пример 28.3. На пути частично поляризованного пучка света с интенсивностью I1 поместили николь — N (рис. 28.7). При его пово-

роте на угол α = 60° вокруг луча из положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света I2 уменьшилась в n = 3 раза. Найдите степень поляризации

падающего света.

Интенсивность частично поляризованного естественного света I1,

падающего на поляризатор, равна сумме двух интенсивностей — интенсивности естественного света I0 и интенсивности плоскополя-

ризованного света I1′ :

I1 = I0 + I1′ .

Поэтому в положении наибольшего пропускания через поляризатор пройдет свет с интенсивностью

а в положении наименьшего пропускания —

Nсвет с интенсивностью

426

где Iпромеж — промежуточное значение интенсивности света, про-

шедшего через поляризатор, повернутый на угол α из положения наибольшего пропускания света. Причем

Второе слагаемое в уравнении (28.9) с помощью теоремы Малюса определяет интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через поляризатор, повернутый на угол α.

Из соотношений (28.6), (28.8) и (28.9) следует, что

По определению степень поляризации света (27.25)

Решая совместно уравнения (28.6), (28.7) и (28.10), получаем для падающего света

28.2. Интерференция плоскополяризованного света.

При падении естественного света на анизотропный кристалл изза явления двойного лучепреломления световой луч разделяется на два луча — обыкновенный о и необыкновенный е. В общем случае эти лучи приобретают оптическую разность хода и соответствующую ей разность фаз δ, но интерферировать не могут, так как содержат колебания, принадлежащие разным цугам волн, испускаемых отдельными атомами.

Иначе обстоит дело при падении плоскополяризованного света на анизотропный кристалл. Луч также делится на два, но уже когерент-

427

ных луча — о и е. Плоскости колебаний у них взаимно перпендикулярны. Они могут интерферировать, но при условии, что плоскости колебаний у них совпадают.

Итак, для наблюдения интерференции плоскополяризованного света нужно провести следующий опыт (рис. 28.8, а):

1)на пути луча естественного света поставить первый поляризатор Р и с его помощью получить плоскополяризованный свет;

2)далее на пути уже плоскополяризованного света с напряжен-

º

ностью E поставить кристаллическую пластинку для деления одного луча на два — о и е.

Из-за разной скорости распространения в кристалле лучи о и е приобретают разность фаз δ ;

3) наконец, после кристаллической пластинки на пути лучей о и е нужно поставить второй поляризатор P ′ для сведения колебаний этих лучей в одну плоскость — плоскость второго поляризатора (рис. 28.8, б). Результат интерференции зависит от длины волны света, падающего на первый поляризатор, и проявляется в виде ослабления или усиления интенсивности света с напряженностью

ºE ′ .

Рассмотрим прохождение плоскополяризованного света через кристаллическую пластинку. На выходе из пластинки два когерентных световых колебания (лучи о и е) характеризуются соответ-

º º

ственно напряженностями E o и E e . Колебания осуществляются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях согласно уравнениям

Кристалическая

Опластинка

Рис. 28. 8

428

При условии, что амплитуды колебаний равны А1 = А2 и разность

фаз δ = ± π / 2, tg ϕ = ± tg ωt, или ϕ = ± ωt. Направление распространения света — от «нас», в плоскость чертежа (рис. 28.9).

Это означает, что плоскость колебаний результирующего вектора

º

E поворачивается вокруг направления луча с угловой скоростью,

º

равной частоте колебания ω. Имея ввиду этот поворот вектора E , принято говорить об эллиптической поляризации световой волны или поляризации по кругу, а если поворот отсутствует, говорят о плоскополяризованном свете. Сложим два колебания с напряженно-

º º

стями E o и E e . Для упрощенного анализа и более наглядного представления окончательных формул обозначим: Ее = х; Ео = у; А1 = = а; А2 = b. С учетом приведенных обозначений перепишем уравнения (28.11) и (28.12) в виде

Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения (28.15):

Из уравнения (28.14) имеем cos (ωt + δ) = y/b или cos ωt cos δ –

– sin ωt sin δ = y/b.

429

С учетом уравнений (28.15) и (28.16) получим

Если разность фаз δ = ± π / 2, то уравнение (28.18) преобразуется в уравнение эллипса

º

и свет будет эллиптически поляризован (конец вектора E описывает эллипс).

При а = b уравнение (28.19) станет уравнением окружности, и,

º

следовательно, свет будет поляризован по кругу (конец вектора E описывает окружность). Если δ = 0 и δ = δ = ± π, уравнение (28.18) преобразуется в уравнение прямой линии:

Следовательно, результирующее колебание совершается в фиксированном направлении — волна называется плоскополяризованной.

Напомним еще раз, что х = Ее; у = Ео; а = А1; b = А2.

Таким образом, после кристаллической пластинки свет будет в общем случае эллиптически поляризован, но в частных случаях, как описано выше, будет либо плоскополяризован, либо поляризован по кругу.

Вновь вернемся к опыту по наблюдению интерференции поляризованного света (см. рис. 28.8, а).

Предположим, что плоскости поляризаторов Р и P ′ совпадают («параллельны»), а угол ϕ между плоскостью поляризатора Р и опти-

430