Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Обобщая три последних соотношения, запишем

Полученные уравнения по своему виду соответствуют волновому уравнению (26.7). А поэтому из уравнений Максвелла следует: электромагнитное поле, т.е. совокупность переменных электрического и магнитного полей, распространяется в пространстве в виде волны со скоростью

εε0μμ0

Распространяющееся в пространстве электромагнитное поле называется электромагнитной волной. Такая волна переносит из одной точки пространства в другие колебания напряженностей электрического и магнитного полей.

26.4. Поперечность электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, бегущую вдоль оси OX. Следовательно, в плоскости фронта волны (она параллельна плоскости ZOY) значения напряженностей полей не зависят от координат y и z. Это означает, что часть уравнений системы (26.8) и часть слагаемых в них исчезнут. Среди производных по координатам должны остаться только те компоненты системы, которые описывают изменение напряженностей полей вдоль оси OX. В оставшихся уравнениях остаются только производные по координате x, т.е. ∂ / ∂x:

361

Выберем из (26.12a) третье и пятое уравнения. Продифференцируем их еще раз по x и по t:

Подставим эти уравнения одно в другое:

Сравнив эти соотношения с выражением (26.6), можно записать:

На основании последних уравнений сделаем вывод: уравнения плоской электромагнитной волны, бегущей вдоль оси OX, имеют вид:

Мы получили результат: если волна распространяется вдоль оси OX, то напряженности электрического и магнитного полей в ней направлены по осям OY и OZ соответственно. Если при выводе системы уравнений плоской волны из системы (26.12) воспользоваться вторым и шестым уравнениями, то получим

Ez(x, t) = E0 cos (ωt – kx + αэ );

Hy(x, t) = H0 cos (ωt – kx + αм ).

362

В любом случае колебания векторов напряженностей электрического и магнитного полей в электромагнитной волне происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. перпендикулярной скорости волны. Следовательно, электромагнитная волна является поперечной.

Неиспользованными пока остались первое, четвертое, седьмое и восьмое уравнения системы (26.12). Проанализируем выводы, которые можно получить с их помощью.

Из первого и восьмого уравнений получаем: ∂Hx / ∂t = 0, ∂Hx / ∂x = 0.

Это означает, что если существует компонента напряженности магнитного поля, направленная по оси OX, то она не изменяется во времени и по координате х:

Hx = const (x, t).

Из четвертого и седьмого уравнений получаем: ∂Ex / ∂t = 0, ∂Ex / ∂x = 0.

Это означает, что если существует компонента напряженности электрического поля, направленная по оси OX, то она не изменяется во времени и по координате х:

Ex = const (x, t).

Итак, уравнения Максвелла допускают суперпозицию плоской электромагнитной волны и стационарных электрических и магнитных полей. Если такие поля отсутствуют, т.е. Hx = Ex = 0, то взаим-

º º º

ное расположение векторов H , E и v в некоторый момент времени изображено на рис. 26.3. Видно, что выполняется следующее соотношение:

Y

Ey

0

v X

ZHz

Рис. 26. 3

363

26.5. Скорость электромагнитной волны

Проанализируем выражение (26.11), которое мы получили для скорости электромагнитной волны:

Поскольку ε и μ — безразмерные величины, то размерность скорости волны определится так:

означает, что [ε0 μ0] = Кл2æм – 2æА– 2. Если учесть, что Кл = A æc, то после преобразований получим

[v ] = м / с.

Таким образом, выражение (26.11) действительно соответствует скорости. Более того, если вычислить значение скорости электромагнитной волны в вакууме (ε = 1, μ = 1), то

Полученное выражение строго совпадает с экспериментально измеренной скоростью распространения света в вакууме. Следовательно, скорость света в вакууме определяется как

Таким образом, уравнения Максвелла предсказали электромагнитную природу света.

Влюбой среде, отличной от вакуума по своим электрическим

имагнитным свойствам, т.е. если ε ≠ 1 или μ ≠ 1 , электромагнитная волна распространяется со скоростью, меньшей чем в вакууме в п раз:

где величина п — показатель преломления среды.

364

26.6. Соотношение магнитной и электрической компонент в электромагнитной волне

Уравнения Максвелла показывают взаимозависимость электрического и магнитного полей, которые возбуждают друг друга в электромагнитной волне. Возникает вопрос: как связаны между собой амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей? Кроме того, получив соотношения (26.13), мы доказали, что электрическое и магнитное поля в волне изменяются с одинаковыми частотами, а также с одинаковыми «пространственными периодами» λ. Необходимо рассмотреть связь: каково отличие фаз электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны? Объединим выражения (26.13) и пятое уравнение системы (26.12) в одну систему:

Подставим первое и второе уравнения в третье:

H0k sin (ωt – kx + αм ) = εε0E0ω sin (ωt – kx + αэ ) . (26.17) Соотношение (26.17) будет выполняться только, если αм = αэ

(откуда следует, что фазы колебаний электрической и магнитной компонент волны совпадают) и H0k = εε0E0ω.

Воспользуемся выражениями (26.5) и (26.11):

X

Hz Z

Рис. 26. 4

365

Последнее равенство можно переписать в виде:

º

Графически изобразить наблюдаемые колебания векторов E и

º

H можно, если зафиксировать их направления и модули в различных точках пространства в некоторый момент времени, как показано на рис. 26.4.

26.7. Энергия электромагнитного поля

Электромагнитная волна переносит энергию. Для описания процесса переноса энергии вводится векторная величина, называемая

плотностью потока энергии. Она численно равна энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии.

Плотность энергии электромагнитного поля w слагается из плотности энергии электрического и плотности энергии магнитного полей:

º º

С учетом того, что в данной точке пространства векторы E и H изменяются в одной фазе, соотношение между амплитудными значениями определяется равенством (26.18), что справедливо и для мгновенных значений:

Поэтому формулу (26.19) можно переписать:

w = 2wэ = εε0E 2 .

Воспользовавшись соотношением (26.20), выражению для плотности энергии электромагнитной волны можно придать вид:

Подставляя в последнее выражение формулу для объемной плот-

366

E

S

v t S

Рис. 26. 5

Разделив левую и правую части соотношения (26.22) на S t, получим выражение для плотности потока энергии, которую обозначим символом S:

S = EH.

º º

Учитывая, что векторы E и H образуют правовинтовую сис-

º

тему, вектор плотности потока энергии S представим в виде векторного произведения

º

Вектор S называется вектором Пойнтинга.

26.8. Излучение диполя

Источниками электромагнитных волн могут быть изменяющиеся во времени заряды или изменяющиеся во времени токи. Рассмотрим излучение электромагнитных волн электрическим диполем, в котором два точечных заряда + q и — q колеблются в противофазе по гармоническому закону относительно некоторой точки O (рис. 26.6, а).

367

Дипольный электрический момент такой системы изменяется во времени по закону

единичный вектор, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному заряду.

Такой же электрический момент имеет система, образованная неподвижным положительным зарядом + q и колеблющимся около него с амплитудой l отрицательным зарядом – q (рис. 26.6, б). Рассмотрение такой излучающей системы важно потому, что к ней можно свести излучение электромагнитных волн электроном атома.

В непосредственной близости от диполя картина электромагнитного поля имеет очень сложный характер. Она сильно упрощается в так называемой волновой зоне диполя, которая начинается на расстояниях r, значительно превышающих длину волны (r >> λ). В этой зоне фронт волны будет сферическим (рис. 26.7).

º º

Векторы E и H в каждой точке взаимно перпендикулярны и перпендикулярны к лучу, т. е. радиусу-вектору, проведенному в данную точку из диполя. В сферической волне амплитуда колебаний убывает с расстоянием от излучателя. Таким образом, амплитуды колебаний Em и Hm в некоторой точке пространства зависят от рас-

стояния r до излучателя и угла θ между направлением радиуса-век- тора и осью диполя. Эта зависимость для вакуума имеет вид:

Из этой формулы вытекает, что значение плотности потока энергии S изменяется вдоль луча (при θ = const) обратно пропорционально квадрату расстояния от излучателя. Кроме того, значение S зависит от угла θ. Сильнее всего диполь излучает в направлениях, перпендикулярных к его оси (θ = π / 2). В направлениях, совпадающих с осью (θ = 0 и π), электрический диполь не излучает. Зависимость плотности потока энергии волны S от угла θ в плоскости, проходящей через ось диполя (диаграмма направленности излучения диполя), приведена на рис. 26.8.

368

S S

В плоскости, перпендикулярной оси диполя, интенсивность волны одинакова во всех направлениях и диаграмма направленности излучения имеет вид окружности (рис. 26.9).

Энергия, излучаемая по всем направлениям за единицу времени, называется мощностью излучения P. Мощность излучения элементарного диполя равна:

Если диполь образован системой из неподвижного и колеблющегося зарядов, то с учетом выражения (26.24) вторая производная электрического момента диполя по времени

d2p / dt2 = –qlω2 cos ωt = –qa,

где a — ускорение колеблющегося заряда. В этом случае формулу для мощности излучения можно записать следующим образом:

Эта формула сохраняет свое значение и при произвольном движении заряда. Всякий заряд, движущийся с ускорением, возбуждает электромагнитные волны, причем мощность излучения определяется формулой (26.26).

369

Р а з д е л IV

ОПТИКА. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Г л а в а 27

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

27.1. Сложение колебаний

Если необходимо определить сумму нескольких гармонических колебаний, происходящих с одинаковой циклической частотой ω, причем каждое последующее слагаемое суммы имеет фазовый сдвиг ϕ0 относительно предыдущего:

N

S = ∑ A cos [ωt + (i – 1)ϕ0 ] ,

i = 1

то удобно воспользоваться методом векторных диаграмм. Суть этого метода проста и заключается в следующем: проекция суммарного вектора на произвольную ось равна сумме проекций на эту ось всех векторов-слагаемых. Колеблющуюся величину можно представить вектором, длина которого равна амплитуде колебания, а угол между вектором и выбранной осью X — фазе колебания (рис. 27.1). В этом случае результирующее колебание найдем, сложив сначала векторы, представляющие колебания-слагаемые, определив амплитуду — модуль суммарного колебания и фазу — угол между вектором суммарного колебания и выбранной осью X.

Покажем на рисунке векторную диаграмму сложения трех колеблющихся величин:

S = A cos ωt + A cos (ωt + ϕ0 ) + A cos (ωt + 2ϕ0 ) .

º º º

Изобразим на рисунке равные по модулю векторы A 1 , A 2 , A 3 , представляющие слагаемые суммы (рис. 27.2).

370