Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Если конденсатор подключить к катушке, он начнет разряжаться, и в контуре возникнет электрический ток. При этом сила тока увеличивается постепенно от нуля до некоторого максимального значения, поскольку в катушке возникает ЭДС электромагнитной индукции, препятствующая увеличению силы тока в контуре. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но при этом будет возникать все увеличивающаяся энергия магнитного поля, обусловленного током через катушку. Энергия магнитного поля определяется

индуктивностью катушки L и силой тока в цепи I: Wм = LI2 / 2.

В тот момент, когда конденсатор полностью разряжается, его заряд, а значит, и энергия электрического поля обращаются в нуль, в то время как сила тока в цепи, а значит, и энергия магнитного поля достигают максимального значения (рис. 24.1, б):

Wм m = LIm2 ⁄ 2 .

Несмотря на то что конденсатор полностью разряжен, в контуре продолжает существовать ток того же направления, так как возникающая в катушке самоиндукция препятствует теперь уже уменьшению силы тока в цепи. Сила тока уменьшается от максимально значения до нуля, а конденсатор заряжается. Знаки зарядов обкладок при этом противоположны знакам зарядов в исходном состоянии (рис. 24.1, в). Энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора. Далее вновь повторяется процесс разрядки конденсатора, но ток в контуре уже имеет противоположное направление. Так возникают электрические колебания в контуре.

Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная энергия системы, состоящая из энергий электрического и магнитного полей остается постоянной:

Определим закон изменения заряда конденсатора во времени. Для этого составим дифференциальное уравнение колебаний в колебательном контуре, схема которого приведена на рис. 24.2. Запишем

331

закон Ома для участка цепи 1—L—2, приняв, что направление тока соответствует зарядке конденсатора:

где R — сопротивление контура; Es — ЭДС самоиндукции.

Разность потенциалов ϕ1 – ϕ2 на участке цепи 1—L—2 равна напряжению на конденсаторе, взятому со знаком «–»: ϕ1 – ϕ2 = –UC = = – q / C. Электродвижущая сила самоиндукции Es определяется зако-

dI

ном Фарадея: Es = – L -d----t . Учтем, что сила тока при зарядке конден-

сатора равна первой производной заряда конденсатора по времени I = dq/dt.

Разделим все слагаемые последнего уравнения на индуктивность катушки L:

где ω0 — частота собственных гармонических колебаний, получим:

Уравнение (24.3) называется дифференциальным уравнением собственных незатухающих колебаний заряда в колебательном контуре. Решением уравнения (24.3) является гармоническая функция

где qm — амплитудное значение заряда конденсатора; α — начальная фаза колебаний заряда.

332

Период собственных колебаний колебательного контура определяется по формуле Томсона

С учетом (24.4) выведем закон изменения силы тока в контуре. Для этого найдем производную заряда по времени:

Из сопоставления уравнений (24.4) и (24.6) видно, что колебания силы тока в контуре опережают колебания заряда по фазе на π/2, а по времени — на четверть периода. Графики изменения заряда конденсатора и силы тока в колебательном контуре при α = 0 представлены на рис. 24.3.

Чтобы получить зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени, воспользуемся формулой:

где Um = qm / C — амплитуда напряжения на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе изменяется со временем в одной фазе с зарядом конденсатора.

Отношение амплитудного значения напряжения на конденсаторе к амплитудному значению силы тока в цепи называют волновым

333

сопротивлением контура (по аналогии с сопротивлением R в законе Ома для однородного участка цепи):

Энергия электрического поля в конденсаторе и энергия магнитного поля в соленоиде во времени при нулевой начальной фазе колебаний изменяются согласно следующим зависимостям:

Графики колебаний заряда, энергии магнитного и электрического полей представлены на рис. 24.4. Анализ приведенных зависимостей показывает, что колебания энергии магнитного и электрического полей происходят с частотой, равной удвоенной частоте собственных колебаний, а сумма этих энергий, равная полной энергии контура, с течением времени остается величиной постоянной. Значение полной энергии на рис. 24.4. показано штриховой линией.

24.2.Свободные затухающие колебания

В§ 24.1 был рассмотрен процесс свободных гармонических (незатухающих) колебаний в контуре при отсутствии активного сопротивления. Проанализируем теперь колебательный процесс, происходящий в контуре при наличии резистора с сопротивлением R (рис. 24.5).

Будем считать, что направление тока в контуре соответствует зарядке конденсатора. Запишем для участка цепи 1—L—2 закон Ома:

IR = ϕ1 – ϕ2 + Es,

где I = dq/dt;

После подстановки и преобразований получим:

334

С учетом этих обозначений соотношение (24.9) принимает стандартный вид дифференциального уравнения затухающих колебаний:

где ϕ — начальная фаза; ω — частота затухающих колебаний, причем

График затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора приведен на рис. 24.6.

Поскольку амплитуда колебаний заряда qme– βt уменьшается с

течением времени, затухающие колебания не являются гармоническими. Однако для них удобно ввести понятие условного периода колебаний:

T = 2π ⁄ ω = 2πω20 – β2 .

Анализ формулы (24.13) показывает, что при условии ω20 ≤ β2

колебания в системе не возникают. Значение максимального сопротивления контура, при котором еще возможно возникновение колеба-

335

ний, называется критическим сопротивлением Rкр. Его значение определяется из условия ω0 = β:

Заметим, что период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний:

Рассмотрим характеристики затухающих колебаний и сформулируем их физический смысл. Первая из них, непосредственно входящая в закон изменения колеблющейся величины, называется коэффициентом затухания β. Найдем отношение амплитуд колебаний в моменты времени t = t0 и t = t0 + τ :

Время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз,

называется постоянной времени. Поскольку eβτ = e, то β = 1/τ. Таким образом, коэффициент затухания равен величине, обратной времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится также понятие логарифмического декремента затухания колебаний δ:

Если за время τ = NT система совершит N колебаний и их амплитуда уменьшится в е раз, то

δ = βT = T / τ = 1 / Ne.

Таким образом, логарифмический декремент затухания — величина, обратная числу колебаний Ne , в течение которых амплитуда

колебаний уменьшается в e раз.

Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q — величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту:

Чтобы пояснить физический смысл добротности, рассмотрим относительное изменение энергии контура за один период. Амплитуда

силы тока и напряжения на конденсаторе убывают по закону e–βt. Энергия, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату ампли-

336

туды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденса-

торе). Следовательно, энергия убывает по закону e–2βt. Относительное уменьшение энергии за период:

При незначительном затухании (при условии δ << 1) e–2δ ≈ 1 – 2δ, в результате

W / W = 1 – (1 – 2δ ) = 2δ.

Заменив в этом выражении логарифмический декремент δ через добротность контура Q в соответствии с формулой (24.17) и решив полученное уравнение относительно Q, получим:

Таким образом, добротность колебательного контура пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре, к ее убыли за один период.

Для малого затухания колебаний в цепи β << ω0 период T ≈

≈ 2πLC . Поэтому логарифмический декремент:

Итак, добротность контура равна отношению волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению.

24.3. Вынужденные электрические колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура источник переменной ЭДС (рис. 24.7), изменяющейся во времени по гармоническому закону с частотой ω:

E = Em cos ωt.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно получить, записав закон Ома для участка цепи 1—L—2 в виде:

IR = ϕ1 – ϕ2 + Es + E,

337

Напомним, что в уравнении (24.23) первое слагаемое представляет собой первую производную по времени от силы тока в контуре, второе слагаемое — произведение 2β на силу тока, третье слагаемое — про-

изведение ω02 на заряд конденсатора.

Используем метод векторных диаграмм. Будем изображать амплитуды гармонических функций, стоящих в левой части уравнения

(24.23) векторами, модули которых равны qmω2 , qm2βω и qmω02 .

Направления этих векторов на векторной диаграмме (рис. 24.8) определяются сдвигом фаз между соответствующими слагаемыми уравнения (24.23). Направим вектор, изображающий амплитуду напряжения на резисторе qm2βω , горизонтально вправо и относительно него

отложим два других вектора с учетом их фаз. Вектор, изображающий амплитуду напряжения на конденсаторе qmω02 , отстает от напряжения

на резисторе по фазе на π/2 — направим его вертикально вниз. Вектор, изображающий амплитуду падения напряжения на индуктивной

катушке qmω2 , опережает напряжение на резисторе по фазе на π/2 —

направим его вертикально вверх. Результатом сложения этих трех векторов будет вектор, модуль которого равен Em/L .

Из векторной диаграммы на рис. 24.8 находим, что

ψ 2βω tg = -------------------- .

ω2 – ω2 0

Используя теорему Пифагора, находим амплитуду вынужденных колебаний заряда:

339

Разделив заряд qm на электрическую емкость конденсатора C, получим амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе:

Дифференцируя выражение (24.25) по переменной ω и приравнивая полученную производную к нулю, определяем резонансную частоту внешнего воздействия ω = ωр, при которой амплитуда колеба-

ний заряда или напряжения на конденсаторе достигает максимума:

ωp = ω20 – 2β2 .

График зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты вынуждающей ЭДС при различных коэффициентах затухания контура β приведен на рис. 24.9.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия называется резонансом.

При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия (ω → ×) амплитуда колебаний стремится к нулю.

При частоте вынуждающей ЭДС, близкой к частоте собственных гармонических колебаний ω ≈ ω0, из (24.25) можно получить:

что совпадает с формулой для добротности (24.19). Таким образом,

добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе больше амплитуды вынуждающей ЭДС.

Рис. 24. 9

340