Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Г л а в а 12

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

В § 8.2 было введено понятие равновесного состояния термодинамической системы. Одно из условий такого состояния — отсутствие в системе потоков вещества и энергии. Однако беспорядочное тепловое движение молекул газа и столкновения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Например, если в системе существует неоднородное распределение плотности или температуры, то происходит самопроизвольное выравнивание этих неоднородностей. Следовательно, при нарушении равновесного состояния системы она возвращается в это состояние. Поведение системы при этом можно описать, рассмотрев потоки массы, импульса, энергии и т.п. Подобные явления, происходящие при нарушении равновесного состояния систем, называются явлениями переноса. Рассмотрим некоторые из них.

12.1. Столкновения молекул

Наличие сил взаимодействия (отталкивания и притяжения) между молекулами приводит к появлению потенциальной энергии их взаимодействия. График зависимости потенциальной энергии от расстояния между молекулами приведен на рис. 12.1. Существование вещества в том или ином агрегатном состоянии при определенной температуре Т можно объяснить, сравнив глубину «потенциальной ямы» |U0 | и среднюю энергию хаотичного движения молекул, кото-

рая пропорциональна kT.

При выполнении неравенства |U0 | >> kT, т.е. при низких темпера-

турах вещества, молекулы располагаются близко одна от другой в строгом порядке. В этом случае тепловое движение молекул — это просто малые колебания молекул относительно положения равновесия. Вещество находится в твердом агрегатном состоянии. При |U0 | ≈ kT молекулы вещества непрерывно перемещаются по всему

его объему, однако расстояния между ними не превышают r0. Вещество находится в жидком агрегатном состоянии. При |U0 | << kT

в веществе наблюдается интенсивное хаотичное тепловое движение молекул. Молекулы удалены на значительные расстояния. Вещество находится в газообразном состоянии, а его молекулы непрерывно

151

хаотично движутся и постоянно сталкиваются. Однако следует иметь в виду, что непосредственного «контакта» молекул при столкновениях не происходит. Объясняется это существенным увеличением сил отталкивания молекул при их сближении. Поэтому столкновением молекул будем называть такое их взаимодействие, при котором изменяются направления их движения. Процесс столкновения молекул тоже можно рассмотреть с помощью потенциальной кривой.

На график Uп ( r ) (рис. 12.2) нанесены значения полной энергии

системы двух молекул U. Поскольку силы взаимодействия молекул потенциальны, то, согласно закону сохранения механической энергии, U = const. Рассмотрим сближение молекулы 2 из положения r = = × с молекулой 1, неподвижно находящейся в положении r = 0.

Поскольку Uп ( ×) = 0, то кинетическая энергия молекулы 2 на

большом удалении молекул одной от другой равна полной энергии: Uк ( ×) = U. По мере сближения молекул кинетическая энергия моле-

кулы 2 растет, а Uп(r) падает. При расстоянии между молекулами r = r0 энергия Uк достигает максимального значения. За счет запаса этой энергии молекула 2 «пролетает» положение r = r0 и попадает в зону

преобладания действия сил отталкивания молекул. Следовательно, при дальнейшем сближении молекул (r < r0) кинетическая энергия

молекулы 2 падает, а потенциальная энергия Uп ( r ) растет.

Вточке r = r1 полная энергия системы равна потенциальной: U1 =

=Uп ( r1). В этом положении Uк(r1) = 0. Именно это положение и соот-

ветствует наибольшему сближению молекул. Поскольку при увеличении температуры системы значение U возрастает (U2 > U1), то расстоя-

ние наибольшего сближения молекул становится меньше (r2 < r1). Как оценить расстояние наибольшего сближения молекул?

152

Рассчитаем число столкновений молекул за единицу времени. Пусть одна молекула в сосуде движется со скоростью v , а остальные неподвижны. Тогда исследуемая молекула за 1 с испытает соударения со всеми частицами, находящимися в цилиндре длиной v æ1 с и основанием Sэф (рис. 12.3). Число таких молекул, а значит, и число столкновений будет равно:

N = n v Sэф .

Поскольку все столкновения произошли за 1 с, то промежутки времени между столкновениями равны

Назовем средней длиной свободного пробега молекулы расстояние, которое она пролетает между двумя последовательными соударениями:

Однако мы полагали, что все молекулы системы неподвижны, а движется только одна. Необходимо учесть движение всех молекул, т.е. рассматривая ту же задачу в системе отсчета, связанной с движущейся молекулой, нужно заменить скорость v на относительную скорость движения молекул. Поскольку все направления относительного движения молекул равновероятны, то угол между направлениями скоростей молекул лежит в диапазоне 0 — π, а средний угол равен π / 2. Тогда модуль относительной скорости движения молекул

в соответствии с (1.18) определится как 2 v . С учетом этого замечания и формулы (12.1) можно записать выражение (12.2) в виде

153

l

L

Рис. 12. 4

Как известно, в идеальном газе справедливо уравнение состояния в виде соотношения (8.11). Тогда (12.3) перепишем следующим образом:

Оценим среднюю длину свободного пробега молекулы азота при температуре T = 300 К и давлении p = 105 Па. Принимая во внимание,

давления газа р при постоянной температуре изображен на рис. 12.4. При его построении учтено, что если давление газа снижается ниже давления предельно достижимого вакуума рпр, то значение l соот-

ветствует характерному размеру сосуда L, т.е. молекулы будут пролетать весь сосуд без соударения однa с другой.

В соответствии с (12.4) средняя длина свободного пробега l не должна зависеть от температуры газа Т. Однако экспериментально подтверждено, что она слабо растет с увеличением температуры. Происходит это из-за того, что с ростом температуры уменьшается значение R. На рис. 12.2 показано, что расстояние наибольшего сближения молекул уменьшается с увеличением запаса полной энергии системы молекул, т.е. с увеличением температуры: r2 < r1.

12.2. Диффузия

Рассмотрим неравновесное состояние системы молекул, вызванное нарушением равномерного распределения концентрации молекул по объему системы. При этом система может состоять как из молекул одного вещества (одинаковые молекулы), так и из молекул разных веществ (смесь разных молекул). Опыт показывает, что в однофазной системе молекул при постоянной температуре и отсутствии внешних

154

справа налево N2 = n2 v S . Поскольку эти потоки частиц идут в

разных направлениях, то общий поток в положительном направлении оси ОХ будет определяться их разностью.

Необходимо учесть, что движение молекул вдоль выбранного направления можно рассматривать прямолинейным, если за время t скорость молекул не меняет своего направления. Это возможно, если молекулы пересекают сечение S без столкновений. Следовательно,

155

мы должны учитывать движение только тех молекул, которые удалены от x0 на расстояние, не превышающее l . Пусть при таком

В положительном направлении выбранной оси ОХ движется только 1/6 часть всех молекул системы, поэтому окончательно

Первые три сомножителя полученного выражения определяют коэффициент диффузии:

Это формула закона диффузии, который был выведен А. Фиком в 1855 г.: плотность диффузионного потока частиц пропорциональна градиенту концентрации частиц. Знак « – » в (12.8) имеет физический смысл: при диффузии поток частиц направлен в сторону убыва-

Если умножить обе части (12.9) на массу одной молекулы m0, то определим выражение для потока массы:

где ρ = m0n — плотность вещества.

156

Проанализируем выражение коэффициента диффузии (12.7). С учетом (12.4) получим:

Из этого соотношения видно, что при увеличении давления диффузия должна ослабляться, так как D уменьшается. Другими словами, через «плотную толпу» частиц пробираться сложнее. Также диффузия ослабляется и при увеличении эффективного размера частиц R (через «толпу толстяков» тоже сложнее пробираться).

Единица измерения коэффициента диффузии в СИ [ D ] = м 2æс– 1. Оценим время диффузии τD ≈ L2 ⁄ D , где L — характерное расстоя-

ние, на которое продвинулись молекулы в результате диффузии. Сопоставим время диффузии с временем пролета молекулами расстояния L: t = L ⁄ v .

Тогда получим

Если задать L = l , т.е. рассмотреть диффузию на расстоянии, равном средней длине свободного пробега молекул, то с учетом (12.7) выражение (12.11) позволяет получить τD ⁄ t = 3 , т.е. диффу-

зия на расстояние l происходит в 3 раза медленнее, чем свободное движение молекул. Оценим отношение (12.11) при L = 1 см. В соответствии с (9.15) средняя скорость движения молекул идеального

Поскольку в нашем примере l = 2æ10– 7 м (см. § 12.1), то коэффициент диффузии, согласно (12.7), составит:

157

Таким образом, диффузия на расстояние 1 см происходит в 200 000 раз медленнее, чем перемещение молекул при хаотичном движении в результате соударений.

Эти примеры показывают, что необходимо существенно различать хаотичное перемещение молекул по объему системы в результате теплового движения и направленное перемещение молекул в сторону уменьшения концентрации частиц в результате диффузии.

12.3. Теплопроводность

Опыт показывает, что неравномерное распределение температуры в пространстве системы приводит к ее выравниванию и установлению состояния теплового равновесия (это является следствием второго начала термодинамики). Молекулярный перенос теплоты в сплошной среде, обусловленный наличием градиента температуры, называется теплопроводностью. Рассматривая этот процесс, можно ввести понятие плотности теплового потока, аналогично плотности потока частиц (12.5):

т.е. плотностью теплового потока назовем количество теплоты, проходящее через единичную поверхность за единицу времени.

Плотность потока частиц, согласно (12.8), выразим так:

Сравнение формул (12.5) и (12.12) показывает, что по аналогии с (12.13) можно записать

Поскольку при теплопроводности не изменяется объем системы, то dQ = mcV dT, где cV — удельная теплоемкость системы при постоян-

ном объеме, а т — ее масса. Тогда из последнего выражения получим, что

Первые сомножители в полученном равенстве — постоянные величины, зависящие от свойств и состояния системы. Введем понятие

коэффициента теплопроводности:

158

Тогда

Полученное выражение — закон теплопроводности Ж.-Б. Фурье (1822 г.): плотность теплового потока при теплопроводности пропорциональна градиенту температуры в системе. При этом перенос теплоты осуществляется в направлении снижения температуры. Из (12.15) следует физический смысл коэффициента теплопроводности: он численно равен плотности теплового потока при единичном градиенте температуры. В системе единиц СИ единицей измерения λ служит Вт / (мæК ).

Рассмотрим зависимость λ от давления для идеального газа. При низких давлениях, когда средняя длина свободного пробега l сопоставима с характерным размером сосуда L (см. рис. 12.4), из (12.14) следует, что

где m0 — масса молекулы. Поскольку первые четыре сомножителя —

постоянные величины, то это выражение показывает, что при низких давлениях газа коэффициент теплопроводности пропорционален концентрации молекул, а значит давлению газа.

При средних и высоких давлениях газа, когда l << L, из (12.14) получим:

Таким образом, при средних и высоких давлениях газа его теплопроводность не зависит от давления.

Сравнение выражений (12.7) и (12.14) позволяет установить связь

отсюда следует, что скорость теплопроводности соответствует скорости диффузии молекул.

12.4. Вязкость жидкостей и газов

Свойство жидкостей и газов, характеризующее сопротивление действию внешних сил, вызывающих их течение, называется вязкостью (внутренним трением) Рассмотрим ламинарное течение жидкости (газа), т.е. такое, при котором жидкость (газ) перемещается

159

скими. Таким образом, в ньютоновских жидкостях возникает сопротивление перемещению слоев одного относительно другого.

При перемещении всей жидкости в каком-то направлении каждая молекула жидкости участвует в двух движениях: хаотичном тепловом, средняя скорость которого v , и направленном упорядоченном, скорость которого u. Следует отметить, что v >> u (см. пример расчета v в § 12.2). Следовательно, в силу теплового движения молекул будет происходить их перемещение из слоя в слой, при этом молекулы будут обмениваться своими импульсами. Таким образом, можно рассматривать вязкость как перенос импульса.

Для количественного описания переноса импульса из одного слоя молекул в другой рассмотрим два соседних слоя толщиной d z каждый (рис. 12.6). Скорости направленного движения молекул в этих слоях различны, их модули равны соответственно u1 и u2 . Через пло-

щадку dS, разделяющую слои, в обе стороны идет поток частиц, вызванный их тепловым движением со скоростью v . Плотность

число частиц, переносимое через эту площадку за время d t, состав-

= dN mu1, а «приносится» из слоя II импульс d p′′ = dN mu2 . Следовательно, общий баланс изменения импульса в слое составит

Плотность потока импульса определим следующим образом:

Эта формула описывает плотность потока импульса молекул, переносимого из слоя со скоростью u2 в слой со скоростью u1 , если

эти скорости не изменяются в результате столкновений молекул при

160