Специально для групп С-12 / Лекция_колебания
.pdf
Гармонические колебания груза на пружине.
Постановка задачи: груз массой m
висит в вертикальном положении на легкой пружине с жесткостью k . Груз смещают вниз на расстояние A0 относительно положения равновесия и отпускают. Получить уравнение колебаний, найти период и частоту колебаний, найти решение уравнения колебаний с учетом начальных условий. Трением пренебречь.
11
l l0 l0
mg k l l0 k l0 , l l0 l0 x
max mx k l l0 mg kx
Дифференциальное уравнение гармонических
колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
m |
|
|
x 2 x 0, |
2 |
|
, |
T 2 |
|
|||
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
m |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение x t A cos 0 t 0 Решение с учетом начальных условий
x t A0 cos 0 t , |
x 0 A0 , |
x 0 0 |
vx t A0 0 sin 0 t |
12 |
|
Кинетическая и потенциальная энергии при гармонических колебаниях на примере горизонтальных колебаний груза на пружине.
Кинетическая энергия
K |
mx2 |
|
|
1 |
m 2 A2 |
sin2 |
|
t |
|
1 |
m 2 A2 |
|
1 cos 2 |
t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Потенциальная энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
П |
kx2 |
|
|
1 |
kA2 cos2 |
|
|
t |
|
|
1 |
|
kA2 |
1 cos 2 |
t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Полная механическая энергия |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
E K П |
|
1 |
kA2 |
|
1 |
m |
2 A2 |
const |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для гармонических колебаний |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
П |
|
1 |
kA2 |
|
1 |
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
13 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий подход к описанию гармонических колебаний механических систем с одной степенью
свободы. |
|
|
|
|
|
|
|||
q |
- |
обобщенная |
координата |
(угол |
поворота, |
||||
смещение). |
|
|
|
|
|
|
|||
q |
- |
обобщенная |
скорость |
(угловая |
скорость, |
||||
скорость смещения). |
|
|
|
|
|
||||
|
Кинетическая и потенциальная энергии |
||||||||
|
|
K |
1 |
q2 , |
П |
1 |
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
Уравнение |
гармонических |
колебаний для |
||||||
обобщенной координаты q |
можно получить из |
||||||||
закона сохранения энергии . Частота колебаний
0 /
14
Математический маятник – тело небольших размеров, подвешенное на легкой нерастяжимой нити длиной l в поле тяжести Земли.
q |
- |
угол отклонения от вертикали |
|
|
||||||
q |
- |
мгновенная угловая скорость |
|
|
||||||
Кинетическая |
и потенциальная энергии (для |
|||||||||
малых углов) |
|
|
|
|
|
|||||
K |
1 |
ml 2 2 , |
П mgl 1 cos |
1 |
mgl 2 |
|||||
|
|
|
||||||||
|
2 |
2 |
||||||||
Энергия системы |
|
|
||||||||
|
|
|
E |
1 |
ml 2 2 |
1 |
mgl 2 const |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
Уравнение колебаний и период колебаний
g / l 0, |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
g / l , T 2 l / g |
||||
|
|
15 |
||||
Ангармонический математический маятник.
Кинетическая и потенциальная энергии |
|
|||||||||||||||
K |
1 |
|
ml 2 2 |
, |
|
|
|
|
|
П mgl 1 cos |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергия системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
1 |
ml 2 2 |
mgl 1 cos const |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение колебаний |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
g / l sin 0 |
|
|
max . |
|||||||||
Период колебаний зависит от амплитуды |
||||||||||||||||
Приближенная |
|
формула |
|
для |
периода |
|||||||||||
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T 2 |
|
|
l |
|
|
1 |
max |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
16 |
|
|
|||
16
Физический маятник – твердое тело, которое
может |
|
качаться |
вокруг |
|
неподвижной |
||||||
горизонтальной оси. |
|
|
|
|
|
||||||
q |
- |
угол отклонения от вертикали |
|||||||||
q |
- |
мгновенная угловая скорость |
|||||||||
Кинетическая энергия |
|
|
|
|
|||||||
|
|
K |
1 |
I |
|
2 , |
I |
|
I |
|
ma2 |
|
|
|
O |
O |
C |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
IO и IC- моменты инерции маятника относительно оси вращения и параллельной ей оси, проходящей через центр масс, a - расстояние между центром масс и точкой подвеса.
17
Потенциальная энергии (для малых углов)
П mga 1 cos 12 mga 2
Энергия системы
E 12 IO 2 12 mga 2
Уравнение колебаний и период колебаний
|
mga |
0, |
0 |
mga |
, T 2 |
IO |
|
IO |
IO |
mga |
|||||
|
|
|
|
18
Приведенная длина физического маятника
l |
|
|
IO |
, T |
2 |
lпр |
T |
2 |
|
IO |
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ma |
мат |
|
g |
физ |
|
|
mag |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Центр качания – математическая точка, в |
||||||||||||
которой |
надо |
|
сосредоточить |
всю |
массу |
||||||||
физического маятника, чтобы период колебаний остался без изменения. Центр качания находится от точки подвеса на расстоянии
lпр IO a IC ma ma
Теорема Гюйгенса: если маятник подвесить за центр качания, то его период не изменится и прежняя точка подвеса станет новым центром
качания. |
19 |
|
Крутильный маятник (тело, подвешенное на проволоке, и способное совершать крутильные
колебания вокруг вертикальной оси). |
|
|
|||||||
q |
- угол |
поворота |
тела, угол |
|
закручивания |
||||
проволоки. |
|
|
|
|
|
|
|
||
q |
|
- угловое ускорение. |
|
|
|
|
|
||
M f - |
момент |
сил, |
возникающий при |
||||||
закручивании проволоки, |
f - модуль кручения. |
||||||||
|
Уравнение колебаний и период колебаний |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I f , |
T |
2 |
I |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
- |
момент инерции |
тела |
|
|
относительно |
|||
вертикальной оси
20