Специально для групп С-12 / Лекция_колебания
.pdf
2. Затухающие колебания. Декремент затухания, добротность.
«Тормозящая сила» - сила вязкого трения
Fтр ,x vx x, |
0 |
Уравнение движения (второй закон Ньютона) для груза на пружине, совершающего движение под действием силы упругости и силы вязкого
трения
max mx kx x, mx x kx 0
21
Дифференциальное уравнение колебаний с затуханием
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 2 x 0 |
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
- |
коэффициент затухания |
||||||
2m |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
k |
- |
собственная частота осциллятора |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
m |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
22
Осциллятор с малым затуханием 0 . Общее решение уравнения затухающих колебаний
|
|
|
x t |
A |
e t cos t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
2 |
- |
«частота» затухающих колебаний |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A t A0 e t
- «амплитуда» затухающих колебаний |
|
|
|||
Для момента времени |
tп : cos tп 0 |
1 |
|||
A tп |
A0 e |
tп |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для момента времени |
|
|
|
|
|
tп : cos tп 0 1 |
|
||||
A tп A0 e |
tп |
|
|
||
|
|
23 |
|||
A tп e
A tп
Амплитуда колебаний уменьшается в e раз через промежуток времени 1 / . Интервал времени - постоянная времени осциллятора.
Логарифмический декремент затухания
|
A tп |
|
|
T |
d ln |
|
|
T |
|
|
|
|||
|
A tп T |
|
|
|
Число колебаний, после которых амплитуда
уменьшается в e раз |
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
||
T |
d |
|
|||
|
|
|
|||
Для малого затухания |
N 1 |
24 |
|||
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
A(t)
A(t nT)
T
A(t) A e |
T |
|
|
m |
|
Энергетические превращения при затухающих колебаниях груза, колеблющегося на пружине.
Полная энергия колебаний уменьшается за счет |
||||||||||||
работы силы трения |
|
|
mx kx x, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
mxx kxx x2 , |
|
||||||||
|
d |
|
mx |
2 |
|
kx |
2 |
|
|
dE |
x2 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
2 |
|
2 |
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t T |
Потеря энергии за период колебаний |
||
dE E t T E t E , E 0 |
|||
|
|||
t |
Работа силы трения за период |
||
|
|||
|
t T |
|
|
|
Aтр |
x2dt |
|
t |
25 |
|
t T |
2 T |
1 t T mx2 |
|
|||
Aтр x2dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
t |
m |
T |
t |
2 |
|
|
При малом затухании средняя за период кинетическая энергия равна средней за период потенциальной энергии, а полная энергия равна их
сумме |
E |
|
m |
|
1 |
|
|
|
|||
|
E |
T |
2 T |
||
|
|
|
«Быстрота» затухания колебаний осциллятора характеризуется его добротностью Q
Q 2 |
E |
|
|
|
|
N |
|
E |
d |
T |
|||||
|
|
|
26 |
||||
|
|
|
|
|
|
4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора.
Резонанс.
Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней силы.
Fвнеш ,x F0 cos t
Уравнение колебаний (из второго закона Ньютона) mx x kx F0 cos t
Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы. Их амплитуда и фаза зависят от частоты вынуждающей силы.
28
|
x t A cos t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
02 2 |
2 4 2 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q 1 |
|
|
/ 0 |
/ 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Резонанс – возрастание амплитуды колебаний |
|||||||||||||||||||||||
при приближении частоты |
|
внешней |
|
силы к |
|||||||||||||||||||
характерной частоте колебательной системы.
29
|
Амплитуда |
|
|
|
|
|
вынужденных |
|
колебаний |
|||||||||||||
максимальна на частоте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
max |
0 |
2Q2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
A |
|
F0 |
Q |
||
max |
m 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 02 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
max |
|
|
|
|
1 |
1 / 4Q2 |
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Сравнение |
|
|
|
максимальной |
|
амплитуды |
|||||||||||||||
колебаний с величиной смещения от положения равновесия в статике
A |
|
|
|
F0 |
|
1 |
|
A 0 Q |
|
max |
m 02 |
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
max |
|
|
|
1 1 / 4Q2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|