Добавил:

abuser671 ИТАЭ 1 поток Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

задачи штурма-лиувилля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.10.2020

Размер:

479.54 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

1. Iрода слева– Iрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиямиI-го рода:

X00(x) + λX(x) = 0, (1.1) X(0) = X(l) = 0.

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

X(x) = c1 sin(p

x) + c2 cos(p

при λ > 0;

при λ < 0;

X(x) = c1e

−λ

x + c2e−

−λ

X(x) = c1x + c2

при λ = 0;

• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0,что

c2 = 0,

) X(x) = c1 sin(p

x).

Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем,что

l = n откуда имеем

бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:

2n2

n 2 N.

λn =

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = sin

n 2 N.

• При λ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0,что c2 = −c1,

) X(x) = 2c1 sh

−λ

Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем,что c1 = 0,т.е.задача Штурма–

Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.

• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0,что

c2 = 0, ) X(x) = c1x.Поэтому из

второго краевого условия X(l) = 0 получаем,что c1 = 0,т.е.задача Штурма–Лиувилля

не имеет собственного числа,равного нулю.

Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

2n2

n 2 N

(1.2)

λn =

, Xn(x) = sin

задачи( 1.1).

2. IIрода слева– IIрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиямиII-го рода:	(2.1)
X000(0) = X0(l) = 0.	(2.1)
X (x) + λX(x) = 0,

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

X(x) = c1 sin(	λ x) + c2 cos(			λ x)	при λ > 0;
p		p			при λ < 0;
X(x) = c1e	−λ	x + c2e−	−λ	x	при λ < 0;
X(x) = c1x + c2				при λ = 0;

-1-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

• При λ > 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0,что c1 = 0,

) X(x) = c2 cos(p

x) )

X0(x) = −c2

λ sin( λ x).Поэтому из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем,что

l = k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:

λn =

2 ,

n 2 N.

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

n 2 N.

Xn(x) =

cos

(множитель 2l

появляется,чтобы система этих функций превратилась из ортогональной

в ортонормированную)

• При λ < 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = c2,

) X(x) = 2c1 ch p

x )

−λ

X0(l) = 0 получаем,

X0(x) = 2c1

−λ sh( −λ x).Поэтому из второго краевого условия

что c1 = 0,т.е.задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.

• При λ = 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0,что c1

= 0,

) X(x) = c2.Вто-

рое краевое условие X0(l) = 0 выполнено,поэтому задача Штурма–Лиувилля(

??)–(??)

имеет собственное число,равное нулю: λ0 = 0.Ему соответствует собственная функиця

X0(x) 1l .

Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

λ0 = 0,

X0(x) 1; λn =

Xn(x) = cos

n 2 N

(2.2)

задачи( 2.1).

3. Iрода слева– IIрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условиемI-го рода на левом конце отрезка


иII-го рода–на правом:			X00(x) + λX(x) = 0,
			X00(x) + λX(x) = 0,
			X(0) = X0(l) = 0.
Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид
X(x) = c1 sin(p				x) + c2 cos(p					x)	при λ > 0;
X(x) = c1 sin(p			λ	x) + c2 cos(p				λ	x)	при λ > 0;
	p				p					при λ < 0;
	X(x) = c1e	−λ			x + c2e−	−λ	x			при λ < 0;

X(x) = c1x + c2 при λ = 0;

[0, l]

(3.1)

• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0,что

c2 = 0, ) X(x) = c1 sin(p

x) )

X0(x) = c1pλ cos(p

x).Поэтому из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем,что

l = k − 2 откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:

λn =

(2 2l−

n 2 N.

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = cos

(2n2−l

1)x

n 2 N.

-2-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

• При λ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c1 = −c2, ) X(x) = 2c1 sh p										x )
									−λ	x )
p		p						X0(l) = 0 получаем,
X0(x) = 2c1	−λ ch( −λ x).Поэтому из второго краевого условия							X0(l) = 0 получаем,
что c1 = 0,т.е.задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.
• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0,что c2 = 0,							)	X(x) = c1x.Второе
краевое условие X0(l) = 0 означает тогда,что c1 = 0,поэтому задача Штурма–Лиувилля
(3.1)не имеет собственного числа,равного нулю.
Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений
		n	1)	2	(2n	1)x
λn =		(2 2l−		, Xn(x) = sin	2−l	,	n	2 N	(3.2)

задачи( 3.1).

4. IIрода слева– Iрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условиемII-го рода на левом конце отрезка


иI-го рода–на правом:			X00(x) + λX(x) = 0,
			X00(x) + λX(x) = 0,
			X(0) = X0(l) = 0.
Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид
	X(x) = c1 sin(p			x) + c2 cos(p					x)	при λ > 0;
	X(x) = c1 sin(p		λ	x) + c2 cos(p				λ	x)	при λ > 0;
	p				p					при λ < 0;
	X(x) = c1e	−λ			x + c2e−	−λ	x			при λ < 0;

X(x) = c1x + c2 при λ = 0;

[0, l]

(4.1)

• При λ > 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0,что

)

X(x) = c2 cos(p

x).

c1 = 0,

Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем,что

p = −

21 + k

откуда

имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:

λk =

(22p−

k 2 N.

(4.2)

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xk(x) = cos

2p−

x ,

k 2 N.

(4.3)

• При λ < 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0,что

) X(x) = 2c1 ch

c1 = c2,

−λ x.

Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем,что c1 = 0,т.е.задача Штурма–

Лиувилля не имеет нетривиальных решений при λ < 0.

• При λ = 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0,что

c1 = 0,

) X(x) = c2.Поэтому из

второго краевого условия X(p) = 0 получаем,что

c2 = 0,т.е.задача Штурма–Лиувилля

не имеет нетривиальных решений при λ = 0.

Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

(2k

λk =

(22p−

, Xk(x) = cos

2p−

x , k 2 N

(4.4)

задачи( 4.1).

-3-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

5. Iрода слева– IIIрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условиемI-го рода на левом конце отрезка иIII-го рода–на правом:

X00(x) + λX(x) = 0,

X(0) = X0(l) + hX(l) = 0,

h > 0.

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

X(x) = c1 sin(p

x) + c2 cos(p

при λ > 0;

x при λ < 0;

X(x) = c1e

−λ

x + c2e−

−λ

X(x) = c1x + c2

при λ = 0;

• При λ > 0 из краевого условия X(0) = 0 следует,что

c2 = 0, ) X(x) = c1 sin(

) X0

λ x)

(x) = c1 λ cos(

λ x).

[0, l]

(5.1)

Поэтому из второго краевого условия X0(l) + hX(l) = 0 получаем,что		p		p
			λ cos( λ l) +
h sin(pλ l) = 0,откуда(очевидно,косинус не может быть равен нулю,т.к.тогда синус
равнялся бы (±1),и равенство не было бы выполнено)
p	p
λ = −h tg(	λ l)

Это уравнение,как легко увидеть из графика,имеет бесконечно много решений λn, n 2 N.Сами эти решения явным образом выписать нельзя,но любое может быть найдено со сколь угодно большой точностью численно.Мы их искать не будем,удовлетворившись знанием,что они есть,и их можно найти.

Таким образом,существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма– Лиувилля:

p		p
λn > 0 − решения уравнения	λ = −h tg( λ l), n 2 N.

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:


Xn(x) = sin p					x ,	n 2 N.
			λn
• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.
• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0,что c2 = 0, ) X(x) = c1x									)
X0(x) = c1),и второе краевое условие X0(l) + hX(l) = 0 даёт требование c1 + c1l = 0,
откуда c1 = 0,и у данной задачи нет нетривиальных решений при λ = 0.
Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений
λn > 0 − решения уравнения p		= −h tg(p				Xn(x) = sin p		x , n 2 N	(5.2)
	λ			λ	l),		λn

задачи( 5.1).

-4-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

6. IIрода слева– IIIрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условиемII-го рода на левом конце отрезка [0, l] иIII-го рода–на правом:

X000(0) = X0(l) + hX(l) = 0,

h > 0.

(6.1)

X (x) + λX(x) = 0,

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

X(x) = c1 sin(p

x) + c2 cos(p

при λ > 0;

при λ < 0;

X(x) = c1e

−λ

x + c2e−

−λ

X(x) = c1x + c2

при λ = 0;

• При λ > 0 имеем

X0(x) = c1

cos(

λ x) − c2

λ sin(

λ x)

И из краевого условия X0(0) = 0 следует,что c1 = 0,

)

X(x) = c2 cos(p

)

X0(x) = −c2p

sin(pλ x).Поэтому из второго краевого условия X0(l) + hX(l) = 0 по-

лучаем,что − λ sin(

λ l) + h cos( λ l) = 0,откуда(очевидно,косинус не может быть

равен нулю,т.к.тогда синус равнялся бы

(±1),и равенство не было бы выполнено)

λtg( λ l) = h

Таким образом,существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма– Лиувилля:

p p

λn > 0 − решения уравнения λn tg( λn l) = h, n 2 N.

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:


Xn(x) = cos p						x ,	n 2 N.
					λn
• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.
• При λ = 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0,что c1 = 0, ) X(x) = c2										) X0(x) =
0),и второе краевое условие X0(l) + hX(l) = 0 даёт требование c2 = 0,т.е.данная задача
Штурма–Лиувилля при λ = 0 также не имеет нетривиальных решений.
Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений
λn > 0 − решения уравнения p		tg(p		l) = h,			Xn(x) = cos p		x ,	n 2 N (6.2)
	λn		λn					λn

задачи( 6.1).

-5-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

7. IIIрода слева– Iрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условиемIII-го рода на левом конце отрезка

[0, l] иI-го рода–на правом:
X000(0) − hX(0) = X(l) = 0, h > 0.	(7.1)
X (x) + λX(x) = 0,

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

при λ > 0;

X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)

при λ < 0;

X(x) = c1e

−λ

x + c2e−

−λ

X(x) = c1x + c2

при λ = 0;

• При λ > 0 имеем

X0(x) = c1

cos(

λ x) − c2

λ sin(

λ x)

И из краевого условия X0(0) + hX(0) = 0 следует,что

λ c1 − h c2 = 0 )

λ = h

С другой стороны,из второго краевого условия

X(l) = 0 получаем,что

c1 sin(

λ l) + c2 cos( λ l) = 0

)

− tg( λ l).

Из двух последних равенств,наконец,получаем:

λ = −h tg( λ l),

λc1 − hc2 = 0.

Уравнение pλ = −h tg(pλ l),как легко увидеть из графика,имеет бесконечно много решений λn, n 2 N.Сами эти решения явным образом выписать нельзя,но любое может быть найдено со сколь угодно большой точностью численно.Мы их искать не будем, удовлетворившись знанием,что они есть,и их можно найти.

Таким образом,существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:

−

решения уравнения

n 2 N.

λn > 0

λ = −h tg( λ l),

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = h sin p

x + p

· cos p

x ,

n 2 N.

λn

• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

• При λ = 0 имеем из краевого условия X0(0) − hX(0)

0,что

c1 − hc2 = 0, )

X(x) = c2(hx + 1),и второе краевое условие

X(l) = 0 даёт требование c2(hl + 1) = 0.

Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи),и у данной задачи нетриви-

альных решений,соответствующих

λ = 0 нет.

Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

− решения уравнения

= −h tg(p

l),

λn

> 0

(7.2)

задачи( 7.1).

+ pλ

cos

Xn(x) = h sin

pλn x

pλn x ,

-6-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

8. IIIрода слева– IIрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условиемIII-го рода на левом конце отрезка

[0, l] иII-го рода–на правом:
X000(0) − hX(0) = X0	(l) = 0, h > 0.	(8.1)
X (x) + λX(x) = 0,

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

при λ > 0;

X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)

при λ < 0;

X(x) = c1e

−λ

x + c2e−

−λ

X(x) = c1x + c2

при λ = 0;

• При λ > 0 имеем

X0(x) = c1

cos(

λ x) − c2

λ sin( λ x)

И из краевого условия X0(0) + hX(0) = 0 следует,что

λ c1 − h c2 = 0 )

λ = h

С другой стороны,из второго краевого условия

X0(l) = 0 получаем,что

c1 cos(

λ l) − c2 sin( λ l) = 0

)

= ctg( λ l).

Из двух последних равенств,наконец,получаем:

= h ctg(p

l),

c1 = hc2.

Уравнение pλ = h ctg(pλ l),как легко увидеть из графика,имеет бесконечно много решений λn, n 2 N.Сами эти решения явным образом выписать нельзя,но любое может быть найдено со сколь угодно большой точностью численно.Мы их искать не будем, удовлетворившись знанием,что они есть,и их можно найти.

Таким образом,существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:

λn > 0 −

решения уравнения

n 2 N.

λ = h ctg(

λ l),

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = h sin p

x + p

· cos p

x ,

n 2 N.

λn

• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

• При λ = 0 имеем из краевого условия X0(0) − hX(0)

0,что

c1 − hc2 = 0, )

X(x) = c2(hx + 1),и второе краевое условие

X(l) = 0 даёт требование c2(hl + 1) = 0.

Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи),и у данной задачи нетриви-

альных решений,соответствующих

λ = 0 нет.

Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

− решения уравнения

= h ctg(p

l),

λn > 0

(8.2)

задачи( 9.1).

pλn x

+ pλ

Xn(x) = h sin

cos

pλn x ,

-7-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

9. IIIрода слева– IIIрода справа.

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиямиIII-го рода:

X00(x) + λX(x) = 0,

X0(0) − HX(0) = X0(l) + hX(l) = 0, H, h > 0.

Общее решение уравнения X00(x) + λX(x) = 0 имеет вид

при λ > 0;

X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)

при λ < 0;

X(x) = c1e

−λ

x + c2e−

−λ

X(x) = c1x + c2

при λ = 0;

• При λ > 0 имеем

(x) = c1 λ cos(

λ x) − c2

λ sin(

λ x)

И из краевого условия X0(0) − HX(0) = 0 следует,что

λ c1 − H c2 = 0 )

λ = H

С другой стороны,из второго краевого условия X0(l) + hX(l) = 0 получаем,что

c1 cos(p

l) − c2 sin(p

l) + h c1 sin(p

l) + c2 cos(p

l) = 0

)

cos(p

l) + h sin(p

l) + c2

−p

sin(p

x) + h cos(p

x) = 0

)

cos(p

l) + h sin(p

)

sin(p

x) − h cos(p

Из двух последних равенств получаем:

ctg(p

l) + 1

откуда

− ctg(

λ l)

ctg(pλ l) ·

− 1 =

−

! .

Итак,

ctg(pλ l) =

−

! ·

(H + h)

и,наконец,

! .

ctg(pλ l) =

−

H + h

Другим способом уравнение для нахождения λ можно получить из

cos(p

l) + h sin(p

− tg + pλ l ,

sin(p

x) − h cos(p

где

= arcsin

λ + h

-8-

(9.1)

(9.2)

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

Тогда,вспомнив,что	p		= H c2	,получим:
		λ
			c1

p p

λ = −H tg + λ l ,

	p
= arcsin		λ	.	(9.3)
= arcsin	λ + h2		.	(9.3)
	λ + h2

Каждое из уравнений( 9.2) и (9.3),как легко увидеть из графика,имеет бесконечно много положительных решений λn, n 2 N.

Таким образом,существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма– Лиувилля:

! , n 2 N.

ctg(pλ l) =

λn > 0 − решения уравнения

−

H + h

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = H sin p

x + p

· cos p

x ,

n 2 N.

λn

• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

• При λ = 0 имеем из краевого условия X0(0) − HX(0) = 0,что

c1 − Hc2 = 0,

)

X(x) =

c2(Hx + 1),и второе

краевое

условие

X0(l) + hX(l) =

0 даёт требование

c2(H + hHl + h) = 0.Отсюда

c2 = c1 = 0 (поскольку H, h, l > 0 по условию задачи),

и у данной задачи нетривиальных решений,соответствующих

λ = 0 нет.

Итак,мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

λn > 0 − решения уравнения

−

ctg(

λ l) =

H+h

( Xn(x) = H sin

x + p

x , n

(9.4)

λn

cos

λn

задачи( 9.1).

2 N

10.Разложение функций в ряд Фурье по собственным функциям задач Штурма–Лиувилля

Теорема 10.1 (В.А.Стеклов).

Усл.	{Xk}k1=1 –ортогональная система собственных функций задачи Штурма–
	Лиувилля.
Утв.	8f(x) 2 C2[a, b],удовлетворяющей краевым условиям, 9{ck}k1=1 :
	1
	X
	f =	ckXk(x),
	k=1
	причём последний ряд сходится к f(x)	абсолютно и равномерно на [a, b],а для ck
	верно представление

			b
	(f, Xk)			f(x)Xk(x)dx
	(f, Xk)		a
ck =		=	R
ck =	kXkk2	=		b	X2 (x)dx
				R

-9-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

Доказательство. Выведем формулу для вычисления ck.

В силу общих свойств рядов Фурье,их(как сходящиеся равномерно на любом отрезке,где нет точек разрыва f(x))можно интегрировать почленно.Поэтому,в силу ортогональности системы {Xk} в L2[0, l]:

		l	0,	при	k 6= n;
(Xk, Xn)		Xk(x)Xn(x)dx =	0,	при	k 6= n;	(10.1)
	L2[0, l] Z0		kXnk2,	при	k = n.
Преположим,что ряд	1	ckXk(x) действительно сходится на [0, l] к функции f(x),то есть
Преположим,что ряд
верно равенство:	=1	1
верно равенство:	kP	1
		f = X ckXk(x),	x 2 [0, l].

k=1

Домножим это равенство на Xn в смысле скалярного произведения в L2[0, l],то есть

•домножим его на Xn и

•проинтегрируем по [0, l].

Всилу( 10.1),получим

(f, Xn) = ck (Xk, Xn) = cn (Xn, Xn) = cnkXnk2.

k=1

Отсюда сразу получается доказываемая формула

(f, Xk) ck = kXkk2 .

В силу данной теоремы,нам достаточно один раз вычислить kXkk2 для каждой задачи Штурма-Лиувилля,чтобы знать вид коэффициентов разложения ck.

11.Коэффициенты разложения функций в ряд Фурье по собственным функциям задач Штурма–Лиувилля

11.1. I–I

kXkk2 = Z0

sin2

dx =

1 − cos

dx =

2 kx

x=l

sin

− 2 k

3x=0

}

-10-

1 / 21 2 > Следующая >>>