
задачи штурма-лиувилля
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УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I
11.2. I–II
kXkk2 = Z0 |
sin2 |
(2k2−l |
1)x dx = |
2 |
Z0 |
l |
1 − cos |
l− |
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dx = |
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l |
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l |
− |
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x=l |
C |
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l |
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0x |
3 |
l |
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sin |
(2k − 1)x |
3 |
1 |
= |
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. |
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B |
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C |
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|||||
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2 |
@ |
3 |
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− (2k 1) |
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l |
3 |
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2 |
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11.3. I–III
kXkk2 = Z |
l |
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1 |
Z |
l |
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k |
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3 |
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1 + tg2 β |
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2 |
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1 + |
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λk |
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>1 |
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'l (h2 + λk) + h |
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= |
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2 |
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h2 + λk |
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2 (h2 + λk) |
11.4. II–I
kXkk2 = Z0 |
cos2 |
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2−l |
dx = |
2 |
Z0 |
l |
1 + cos (2k l− 1)x dx = |
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l |
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(2k |
1)x |
1 |
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B |
3 |
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l |
− |
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x=l |
C |
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l |
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= |
0x |
3 |
l |
+ |
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sin |
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(2k − 1)x |
3 |
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= |
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. |
||||||||
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C |
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@ |
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(2k |
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l |
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A |
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3x=0 |
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{z |
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11.5. II–II
kXkk2 = Z0 |
cos2 |
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l |
dx = |
2 Z0 |
l |
1 + cos |
2 lkx dx = |
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||||
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kx |
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l |
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2 kx |
3 |
x=l |
C |
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l |
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|||
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= |
0x |
3 |
l |
+ |
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sin |
3 |
1 |
= |
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. |
||||||||||
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B |
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=0 |
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C |
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2 |
@ |
3 |
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2 k |
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l |
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A |
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2 |
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0 |
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3x=0 |
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||||||||||||
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{z |
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} |
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-11-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I
11.6. II–III
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0 |
l |
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p |
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0 |
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p |
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kXkk2 = Z |
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cos2 |
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Z |
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λk x |
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dx = |
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1 + cos |
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2 |
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λk x |
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dx = |
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3 |
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В итоге для коэффициентов n An получаем равенство: |
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kXkk |
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l (λk + h2) + h |
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= |
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2 |
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λk + h2 |
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11.7. III–I |
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kXkk2 = Zl |
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2 dx = = arccos |
p |
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h |
> = |
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h sin |
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x |
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λk |
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x |
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h2 + λk |
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0 |
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p |
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p |
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p |
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0 |
l |
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p |
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+ λ |
k |
Z |
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h2 + λk |
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sin2 |
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λk x + |
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dx = |
h |
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1 − cos |
2 |
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λk x + 2 |
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dx = |
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p |
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3 |
x=l |
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2 + λ |
k |
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l |
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3x=0! = |
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x |
3 |
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− |
2p |
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sin |
2 |
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λk x + 2 |
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0 |
λk |
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3 |
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= |
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2 |
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k |
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sin(2pλ |
k |
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k |
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− |
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. |
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· l − |
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2pλk |
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l) sin 2 |
sin 2 |
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h2 + λ |
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3 |
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l) cos 2 + cos(23 pλ |
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p |
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Преобразуем выражения |
sin(2 |
λk |
l) cos 2 |
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и |
cos(2 |
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λk |
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l) sin 2 |
: |
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2p |
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2p |
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λk |
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λk |
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p |
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2 |
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p |
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p |
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1 |
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1 |
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& |
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1' |
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sin(2 |
λk l) cos 2 |
= h |
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l)i = |
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2 sin( |
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λk l) cos( |
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λk l) |
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2p |
λk |
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λk |
= |
−h tg( |
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λk |
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−2h tg |
p |
λk |
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l |
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cos(2 ) = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= − |
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p |
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l) cos(2 ) = cos |
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β = |
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> = − |
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· |
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cos ( |
λk |
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cos(2 ) = |
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h |
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1 + tg2 β |
h |
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1 + |
λk |
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h2 |
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= cos 2 = cos2 |
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sin2 = |
h2 − λk |
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= |
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h |
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h2 − λk |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− |
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− h2 + λk · |
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h2 + λk > |
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h2 + λk |
-12-

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УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I |
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cos(2p |
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l) sin 2 |
= |
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1 − tg2 β |
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λk |
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cos 2β = 2 cos2 β |
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1 = |
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2 |
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1 = |
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= |
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2pλk |
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− |
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1 + tg2 |
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β |
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− |
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1 + tg2 β > |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 − tg2 |
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p |
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l |
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p |
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= |
h2 − λk |
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λk |
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sin 2 |
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λk |
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sin 2 |
= |
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= |
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= |
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tg( |
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λ |
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l) = |
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1 + tg2 |
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&pλk l' |
· |
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2pλk |
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p |
k |
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− h > |
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h2 + λk |
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· |
2pλk |
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h |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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& |
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' |
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= |
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sin 2 |
= |
2 sin cos |
= |
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h |
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= |
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h |
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− λk |
. |
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h2 + λk > |
h2 + λk |
· |
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2pλk |
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2pλk |
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h2 + λk |
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Таким образом, |
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h2 |
+ λ |
k |
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sin 2 |
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h2 + λ |
k |
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h |
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l (h2 + λ |
) + h |
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kXkk2 |
= |
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· l − |
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|
−2p |
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= |
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· |
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l + |
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= |
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k |
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. |
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2 |
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2 |
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h2 + λk |
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2 |
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λk |
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11.8. III–II |
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||||||||
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kXkk2 = Zl |
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2 dx = = arccos |
p |
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h |
> = |
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h sin |
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λk |
x + |
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λk cos |
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λk |
x |
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h2 + λk |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
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p |
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p |
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p |
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Z |
l |
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h2 + λ |
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Z |
l |
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|||||||||||||
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= h2 |
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sin2 |
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k |
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1 − cos |
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+ λk |
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λk x + |
dx = |
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2 |
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λk |
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x + 2 dx = |
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2 |
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& |
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' 0 |
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p |
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0 |
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p |
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x=l |
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h2 |
+ λ |
k |
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· x |
3 |
l |
− |
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1 |
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3x=0! = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
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sin |
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2 |
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λk x + 2 |
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2 |
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0 |
2pλk |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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p |
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3 |
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||||||||||||
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h2 + λ |
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3 |
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sin(2p |
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l) cos 2 + cos(23 |
p |
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l) sin 2 |
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sin 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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k |
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λ |
k |
λ |
k |
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3 |
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3 |
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|||||||||||
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= |
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· l − |
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2p |
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|
− |
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. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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λk |
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|
pp
Преобразуем выражения |
|
sin(2 |
|
λk l) cos 2 |
и |
|
cos(2 |
λk l) sin 2 |
: |
|
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2p |
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2p |
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λk |
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λk |
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p |
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p |
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p |
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|||
sin(2 λk l) cos 2 |
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2 sin( |
|
λk |
l) cos( |
|
λk l) |
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2p |
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= h |
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p |
λk |
= h ctg( |
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λk |
|
l)i = |
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p |
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cos(2 ) = |
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λk |
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2h ctg |
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λk |
l |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 |
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|
|
p |
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
& |
|
|
|
1 |
|
' |
1 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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= |
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sin |
( |
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λk l) cos(2 ) = sin |
β = |
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> = |
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· |
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cos(2 ) = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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h |
|
1 + ctg2 β |
h |
|
|
1 + |
λk |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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h2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
cos 2 = cos2 |
|
− |
|
sin2 = |
h2 − λk |
|
= |
|
|
h |
|
|
|
· |
h2 − λk |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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h2 + λk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
h2 + λk > |
|
|
h2 + λk |
||||||||||||||||||||||||||
cos(2p |
|
l) sin 2 |
= |
|
|
|
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1 − ctg2 β |
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||||||||||||||||||||||||||||||
λk |
|
cos 2β = 1 |
|
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2 sin2 |
|
β = 1 |
|
|
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|
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|
2 |
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= |
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= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2pλk |
|
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|
− |
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|
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− |
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1 + ctg2 β |
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|
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− |
1 + ctg2 β |
> |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 − ctg2 |
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p |
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l |
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l) = |
p |
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h2 − λk |
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λk |
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sin 2 |
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|
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sin 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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λk |
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= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
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= |
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ctg( |
|
|
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λ |
|
|
= |
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 + ctg2 |
&pλk |
l' |
· 2pλk |
|
|
|
|
|
|
p |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
> |
|
|
|
|
− h2 + λk |
· 2pλk |
|
h |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
= |
|
|
sin 2 |
= |
|
2 sin cos |
= |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
= |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
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|
− λk |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− h2 + λk |
· |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2pλk |
|
|
|
|
|
|
2pλk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 + λk > |
h2 + λk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
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|
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|
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||||||||||||
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|
h2 |
+ λ |
k |
|
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sin 2 |
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h2 + λ |
k |
|
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h |
|
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|
|
|
l (h2 + λ |
) + h |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kXkk2 = |
|
|
|
· l |
− |
−2p |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
· l + |
|
= |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
h2 + λk |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
λk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-13-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I
11.9. III–III
0 |
l |
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
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|
|
= arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
> = |
|
|
||||||||||||||||||||
kXkk2 = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
H |
|
|
|||||||||||
|
H sin |
|
|
|
λk x + |
λk cos |
|
|
|
|
λk x |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 + λk |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
& |
|
|
' |
|
0 |
l |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
l |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= H2 + λk |
|
Z |
|
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
2 |
+ λ |
k |
Z |
|
|
1 − cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
λk x + |
dx = |
|
|
|
2 λk x + 2 |
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
3 |
x=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H2 |
+ λ |
k |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x=0! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
· |
x |
3 |
|
− |
|
2p |
|
sin |
2 |
|
λk x + 2 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
λk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
sin(2pλ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
− |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 |
+ λ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
l) cos 2 + cos(23 pλ |
|
|
l) sin 2 |
|
sin 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pp
Преобразуем выражения |
sin(2 |
λk l) cos 2 |
|
|
и |
|
cos(2 λk l) sin 2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(2 λk l) cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk |
|
|
|
Hh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ctg(pλk l) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2p |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
p−λk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H + h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin(p |
|
l) cos(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H + h |
|
|
|
λk |
λk |
l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H + h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· cos2(pλk l) · cos(2 ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λk − Hh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk −2 |
Hh |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
|
λk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos β = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg2 β |
1 + ctg2 β |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
H + h |
|
|
|
|
(λk − Hh)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(2 ) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
· |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk |
|
− |
Hh |
|
λk (H + h)2 |
1 + |
(λk−Hh)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk(H+h)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
cos 2 = cos2 |
− |
sin2 = |
H2 − λk |
|
= |
|
|
|
|
(H + h) (λk − Hh) |
· |
H2 − λk |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 + λk > |
|
|
|
|
λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 |
H2 + λk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos(2p |
|
l) sin 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − ctg2 β |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
λk |
cos 2β = 1 |
|
|
|
|
2 sin2 |
|
β = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2pλk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 + ctg2 |
β |
|
− 1 + ctg2 β |
> |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − ctg2 |
λk |
l |
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk |
− Hh |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ctg( |
|
|
|
|
λ |
|
|
|
l) = |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 + ctg2 &pλk l' |
· |
|
|
2pλk |
|
|
|
|
|
|
|
p |
k |
|
|
|
|
|
pλk(H + h) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H + h) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(λ |
k |
|
|
|
Hh) |
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk ( |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
· |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λk (H + h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (λk − Hh) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
sin 2 |
= |
2 sin cos |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 |
|
H |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 + λk > |
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pλk |
|
|
|
|
2pλk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 · |
H2 + λk |
-14-

|
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|
|
УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I |
|
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|||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
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p |
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p |
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sin(2 |
λk l) cos 2 + cos(2 |
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λk l) sin 2 − sin 2 = |
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2p |
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λk |
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= |
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(H + h) (λk − Hh) |
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H2 − λk |
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λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 |
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H |
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H |
= |
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− |
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− H2 + λk |
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λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 · |
|
H2 + λk |
λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 · |
H2 + λk |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
(H + h) (λk − Hh) (H2 − λk) − H λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 − H λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 |
|
= |
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= (H + |
& |
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k − |
2 |
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− |
k − |
2 |
' |
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k |
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= |
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λk (H& + h) + (λk − Hh) (H |
2 |
+ λ |
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) |
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' |
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' k |
& |
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h) (λ Hh) (H2 |
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λ ) 2Hλ (H + h)2 |
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λ |
k |
(H + h)2 + (λk |
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Hh)2 |
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(H2 |
+ λk) |
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& |
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− |
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' |
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=(H |
2+λk)(h2+λk) |
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2 |
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{z |
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3 |
} |
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= |
(H + h) −λk + λkH(H + h) − H h − 2Hλk (H + h) |
= |
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(H2 + λk)2 (h2 + λk) |
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= |
−(H + h) λk2 + λkH(H + h) + H3h |
= |
−(H + h) (λk + Hh) (λk + H2) |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(H2 + λk)2 (h2 + λk) |
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(H2 + λk)2 (h2 + λk) |
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|||||||||||||||||||||
Наиболее простой вид это выражение принимает при H = h.В этом случае(он встречается в |
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№653, 658, 693) |
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p |
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p |
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||||
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sin(2 λk l) cos 2 + cos(2 |
λk l) sin 2 − sin 2 |
= |
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2h |
. |
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2pλk |
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− h2 + λk |
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Итак,в общем случае(при |
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H 6= h) |
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kXkk2 =
А в случае H = h
l (H2 + λk)2 (h2 + λk) + (H + h) (λk + Hh) (λk + H2) . 2 (H2 + λk) (h2 + λk)
kXkk2 = l (h2 + λk) + 2h. 2
-15-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I
12.Таблица собственных чисел и функций задач Штурма– Лиувилля с различными краевыми условиями
Кр.усл.
I – I
I – II
I – III
II– I
II– II
II – III
III– I
III – II
III – III
Собственные числа и функции
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2n2 |
, |
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Xn(x) = sin & |
nx |
' , |
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n 2 N |
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λn = l2 |
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l |
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λn = |
(22l− |
1) |
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2 |
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Xn(x) = sin |
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2−l |
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, |
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n 2 N |
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, |
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n |
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(2n 1)x |
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λn > 0 |
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− решения уравнения p |
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= −h tg(p |
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l), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
λ |
λ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Xn(x) = sin |
|
& |
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' |
, n |
2 |
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N |
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pλn x |
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λk = |
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2p− |
1) |
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2 |
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Xk(x) = cos |
(22p− |
1) |
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x , |
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k 2 N |
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, |
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(2k |
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k |
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λ0 = 0, |
X0(x) 1; |
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λn = & ln ' |
2 |
, |
Xn(x) = cos & |
|
nx |
' , |
|
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n 2 N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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l |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λn > 0 |
− решения уравнения p |
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tg(p |
|
|
l) = h, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λn |
λn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
& |
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' |
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2 |
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|||||||
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pλn x |
n |
|
N |
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||||||||||||||||||||||||
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Xn(x) = cos |
|
, |
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λn > 0 |
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− решения уравнения |
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p |
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p |
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λ = −h tg( |
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λ l), |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Xn(x) = h sin |
& |
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' |
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|
& |
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|
' |
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|||||||||||
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+ pλ |
|
· |
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cos |
|
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|
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|
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|
, |
|
|
n |
2 |
N |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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pλn x |
|
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pλn x |
|
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λn > 0 |
|
− решения уравнения |
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p |
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= h ctg(p |
|
l), |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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λ |
λ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Xn(x) = h sin |
& |
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|
' |
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|
& |
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|
' |
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|||||||||||||||
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|
+ pλ |
· |
cos |
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|
, |
|
|
n |
2 |
|
N |
|
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pλn x |
|
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|
pλn x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
> |
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8 |
λn > 0 |
− |
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решения уравнения |
ctg(pλ l) = H+h |
H |
− pλ |
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H |
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pλ |
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h |
||||||||||
> |
n |
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& |
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|
n |
' |
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· |
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|
& |
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|
n |
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|
' |
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2 N |
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: |
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pλ |
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x |
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+ pλ cos |
pλ |
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x , |
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n |
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< X (x) = H sin |
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-16-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I
13.Таблица норм собственных функций задач Штурма– Лиувилля с различными краевыми условиями
Кр.усл.
I – I
I – II
I – III
II– I
II– II
II – III
III– I
III – II
III – III
kXkk2
kXkk2 = 2l
kXkk2 = 2l
kXkk2 = l(h2+λk)+h
2(h2+λk)
kXkk2 = 2l
kXkk2 = 2l
kXkk2 = 1 · l(λk+h2)+h
2 λk+h2
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kXkk |
2 |
= |
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l(h2 |
+λk)+h |
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2 |
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|||
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kXkk |
2 |
= |
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l(h2 |
+λk)+h |
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||
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2 |
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|||
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||||||||
> |
2 |
l H2+λk |
2 |
h2+λk)+(H+h)(λk+Hh)(λk+H2) |
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> |
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< |
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( |
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) ( |
2(H2+λk)(h2+λk) |
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||||||
8 kXkk = |
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||||||||||
> |
в случае H = h |
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2 |
+ |
λ |
+2h |
|||||
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kXkk2 = l(h |
2k) |
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||||||||
> |
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: |
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-17-