Добавил:

abuser671 ИТАЭ 1 поток Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

задачи штурма-лиувилля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.10.2020

Размер:

479.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

11.2. I–II

kXkk2 = Z0

sin2

(2k2−l

1)x dx =

1 − cos

l−

dx =

(2k

1)x

−

x=l

sin

(2k − 1)x

− (2k 1)

3x=0

}

11.3. I–III

kXkk2 = Z

sin2

− cos

λk x dx =

λk x

dx =

x=l

−

3x=0! =

sin

λk

= 2 ·

2pλk

2 sin(p

l) cos(p

cos2(p

= hpλk

= −h tg(pλk l)i =

· l +

2h tg(p

· l +

λk

! =

= cos2

λk

β =

tg(

λk l) = −

l +

1 + tg2 β

1 +

λk

l +

'l (h2 + λk) + h

h2 + λk

2 (h2 + λk)

11.4. II–I

kXkk2 = Z0

cos2

2−l

dx =

1 + cos (2k l− 1)x dx =

(2k

1)x

−

x=l

sin

(2k − 1)x

(2k

3x=0

}

11.5. II–II

kXkk2 = Z0

cos2

dx =

2 Z0

1 + cos

2 lkx dx =

2 kx

x=l

sin

2 k

3x=0

}

-11-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

11.6. II–III

kXkk2 = Z

cos2

λk x

dx =

1 + cos

λk x

dx =

x=l

sin

2pλk l

l +

sin

λk x

x=0!

l +

! .

λk

откуда,пользуясь тождествами

cos

sin 2 = 2 sin cos ,получаем:

1+tg2

hp2

' &

sin

2pλk l

sin

pλk l

cos

pλk l

l +

λk

tg(p

= l +

tg(

λk l) =

sin

pλk l

−

cos

pλk l

= l +

= cos2 =

1 + tg2

λk

− 1+tg

(

λk l)

λk+h2

= h tg

λk l =

= l +

−

λk

2 h

) + h

l (λk + h

= l +

)

λk

h (λk + h

+ h

В итоге для коэффициентов n An получаем равенство:

kXkk

l (λk + h2) + h

λk + h2

11.7. III–I

kXkk2 = Zl

2 dx = = arccos

> =

h sin

λk

λk cos

λk

h2 + λk

+ λ

h2 + λk

sin2

λk x +

dx =

1 − cos

λk x + 2

dx =

x=l

2 + λ

3x=0! =

−

sin

λk x + 2

λk

sin(2pλ

−

· l −

2pλk

l) sin 2

sin 2

h2 + λ

l) cos 2 + cos(23 pλ

Преобразуем выражения

sin(2

λk

l) cos 2

cos(2

λk

l) sin 2

λk

sin(2

λk l) cos 2

= h

l)i =

2 sin(

λk l) cos(

λk l)

λk

−h tg(

λk

−2h tg

λk

cos(2 ) =

= −

l) cos(2 ) = cos

β =

> = −

cos (

λk

cos(2 ) =

1 + tg2 β

1 +

λk

= cos 2 = cos2

sin2 =

h2 − λk

−

− h2 + λk ·

h2 + λk >

h2 + λk

-12-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

cos(2p

l) sin 2

1 − tg2 β

λk

cos 2β = 2 cos2 β

1 =

2pλk

−

1 + tg2

−

1 + tg2 β >

1 − tg2

h2 − λk

λk

sin 2

λk

sin 2

tg(

l) =

1 + tg2

&pλk l'

2pλk

− h >

h2 + λk

2pλk

sin 2

2 sin cos

− λk

h2 + λk >

h2 + λk

2pλk

h2 + λk

Таким образом,

+ λ

sin 2

h2 + λ

l (h2 + λ

) + h

kXkk2

· l −

−2p

l +

h2 + λk

λk

11.8. III–II

kXkk2 = Zl

2 dx = = arccos

> =

h sin

λk

x +

λk cos

λk

h2 + λk

h2 + λ

= h2

sin2

1 − cos

+ λk

λk x +

dx =

λk

x + 2 dx =

' 0

x=l

+ λ

· x

−

3x=0! =

sin

λk x + 2

2pλk

h2 + λ

sin(2p

l) cos 2 + cos(23

l) sin 2

sin 2

· l −

−

λk

Преобразуем выражения

sin(2

λk l) cos 2

cos(2

λk l) sin 2

λk

sin(2 λk l) cos 2

2 sin(

λk

l) cos(

λk l)

= h

λk

= h ctg(

λk

l)i =

cos(2 ) =

λk

2h ctg

λk

sin

(

λk l) cos(2 ) = sin

β =

> =

cos(2 ) =

1 + ctg2 β

1 +

λk

cos 2 = cos2

−

sin2 =

h2 − λk

h2 + λk

h2 + λk >

h2 + λk

cos(2p

l) sin 2

1 − ctg2 β

λk

cos 2β = 1

2 sin2

β = 1

2pλk

−

1 + ctg2 β

−

1 + ctg2 β

1 − ctg2

l) =

h2 − λk

λk

sin 2

λk

ctg(

−

1 + ctg2

&pλk

· 2pλk

− h2 + λk

· 2pλk

sin 2

2 sin cos

− λk

− h2 + λk

2pλk

h2 + λk >

h2 + λk

Таким образом,

+ λ

sin 2

h2 + λ

l (h2 + λ

) + h

kXkk2 =

· l

−

−2p

· l +

h2 + λk

λk

-13-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

11.9. III–III

= arccos

> =

kXkk2 = Z

H sin

λk x +

λk cos

λk x

dx =

H2 + λk

= H2 + λk

sin2

+ λ

1 − cos

λk x +

dx =

2 λk x + 2

dx =

x=l

+ λ

3x=0!

−

sin

λk x + 2

λk

sin(2pλ

−

+ λ

l) cos 2 + cos(23 pλ

l) sin 2

sin 2

Преобразуем выражения

sin(2

λk l) cos 2

cos(2 λk l) sin 2

λk

sin(2 λk l) cos 2

λk

ctg(pλk l) =

> =

p−λk

H + h

λk

2 sin(p

l) cos(p

H + h

λk

H + h

· cos2(pλk l) · cos(2 ) =

cos(2 ) =

λk − Hh

λk −2

2 tg

λk

2 '

ctg

= cos β =

> =

1 + tg2 β

1 + ctg2 β

H + h

(λk − Hh)2

cos(2 ) =

λk

−

λk (H + h)2

1 +

(λk−Hh)2

λk(H+h)2

cos 2 = cos2

−

sin2 =

H2 − λk

(H + h) (λk − Hh)

H2 − λk

H2 + λk >

λk (H + h)2 + (λk − Hh)2

H2 + λk

cos(2p

l) sin 2

1 − ctg2 β

λk

cos 2β = 1

2 sin2

β = 1

2pλk

−

− 1 + ctg2

− 1 + ctg2 β

1 − ctg2

λk

sin 2

λk

− Hh

ctg(

l) =

−

1 + ctg2 &pλk l'

2pλk

pλk(H + h)

H + h)

(λ

Hh)

sin 2

λk (

−

= −

λk (H + h)

+ (λk − Hh)

sin 2

2 sin cos

λk (H + h)2 − (λk − Hh)2

H2 + λk >

−

2pλk

λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 ·

H2 + λk

-14-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

Поэтому

sin(2

λk l) cos 2 + cos(2

λk l) sin 2 − sin 2 =

λk

(H + h) (λk − Hh)

H2 − λk

λk (H + h)2 − (λk − Hh)2

−

− H2 + λk

λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 ·

H2 + λk

λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 ·

H2 + λk

(H + h) (λk − Hh) (H2 − λk) − H λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 − H λk (H + h)2 + (λk − Hh)2

= (H +

k −

−

k −

λk (H& + h) + (λk − Hh) (H

+ λ

)

' k

h) (λ Hh) (H2

λ ) 2Hλ (H + h)2

(H + h)2 + (λk

Hh)2

(H2

+ λk)

−

=(H

2+λk)(h2+λk)

}

(H + h) −λk + λkH(H + h) − H h − 2Hλk (H + h)

(H2 + λk)2 (h2 + λk)

−(H + h) λk2 + λkH(H + h) + H3h

−(H + h) (λk + Hh) (λk + H2)

(H2 + λk)2 (h2 + λk)

Наиболее простой вид это выражение принимает при H = h.В этом случае(он встречается в

№653, 658, 693)

sin(2 λk l) cos 2 + cos(2

λk l) sin 2 − sin 2

2pλk

− h2 + λk

Итак,в общем случае(при

H 6= h)

kXkk2 =

А в случае H = h

l (H2 + λk)2 (h2 + λk) + (H + h) (λk + Hh) (λk + H2) . 2 (H2 + λk) (h2 + λk)

kXkk2 = l (h2 + λk) + 2h. 2

-15-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

12.Таблица собственных чисел и функций задач Штурма– Лиувилля с различными краевыми условиями

Кр.усл.

I – I

I – II

I – III

II– I

II– II

II – III

III– I

III – II

III – III

Собственные числа и функции

2n2

Xn(x) = sin &

' ,

n 2 N

λn = l2

λn =

(22l−

Xn(x) = sin

2−l

n 2 N

(2n 1)x

λn > 0

− решения уравнения p

= −h tg(p

l),

Xn(x) = sin

, n

pλn x

λk =

2p−

Xk(x) = cos

(22p−

x ,

k 2 N

(2k

λ0 = 0,

X0(x) 1;

λn = & ln '

Xn(x) = cos &

' ,

n 2 N

λn > 0

− решения уравнения p

tg(p

l) = h,

λn

pλn x

Xn(x) = cos

λn > 0

− решения уравнения

λ = −h tg(

λ l),

Xn(x) = h sin

+ pλ

cos

pλn x

λn > 0

− решения уравнения

= h ctg(p

l),

Xn(x) = h sin

+ pλ

cos

pλn x

λn > 0

−

решения уравнения

ctg(pλ l) = H+h

− pλ

pλ

2 N

pλ

+ pλ cos

pλ

x ,

< X (x) = H sin

-16-

УМФ–Задачи Штурма-Лиувилля– I

13.Таблица норм собственных функций задач Штурма– Лиувилля с различными краевыми условиями

Кр.усл.

I – I

I – II

I – III

II– I

II– II

II – III

III– I

III – II

III – III

kXkk2

kXkk2 = 2l

kXkk2 = l(h2+λk)+h

2(h2+λk)

kXkk2 = 2l

kXkk2 = 1 · l(λk+h2)+h

2 λk+h2

kXkk

l(h2

+λk)+h

kXkk

l(h2

+λk)+h

l H2+λk

h2+λk)+(H+h)(λk+Hh)(λk+H2)

(

) (

2(H2+λk)(h2+λk)

8 kXkk =

в случае H = h

+2h

kXkk2 = l(h

2k)

-17-

<<< < Предыдущая 12 / 22