Глава 2. Марковская модель СМО

Функционирование СМО мы будем рассматривать как случайный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Следовательно, в любой момент времени [0; +∞) система находится в одном состоянии из задан-

ного конечного или счетного набора.

Например, в цехе имеется десять однотипных станков. Станки обслуживает один мастер по ремонту. Таким образом, соответствующая система может находиться в одном из 11 состояний:0 – все станки исправны, 1 – один в ремонте и девять в рабо- чем состоянии, 2 – один в ремонте, один в очереди на ремонт и восемь работают, . . . , 10 – один в ремонте и девять в очереди. Очевидно, момент отказа станка и время, необходимое для устранения неисправности, – случайные величины. В процессе функционирования система иногда переходит из одного состояния в другое. Более того, теоретически в любой момент времени система может находиться в любом из перечисленных выше состояний. Поэтому имеет смысл говорить только о вероятностях соответствующих состояний: 0( ), 1( ), 2( ) . . . 10( ).

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени условные вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от состояния системы в момент и

не зависят от того, когда и каким образом она пришла в это состояние. Иначе говоря, будущее зависит от прошлого только через настоящее. Марковский процесс называют также процессом

26

без последействия. Мы будем считать процесс функционирования СМО марковским. Хотя марковская модель СМО не является единственно возможной, она достаточно адекватно отражает широкий класс реальных систем.

Пусть система в любой момент времени может находиться в одном из возможных состояний , где = 1, 2, . . . . В частности, не исключается случай = ∞. То есть множество исходов не более чем счетно. Иногда нам будет удобней говорить не «со- стояние », а «i-е состояние». Нумерацию состояний мы часто будем начинать не с единицы, а с нуля. Сделаем допущение, что вероятность перехода системы за время из − в − состояние задается равенством

То есть на небольшом интервале времени вероятность перехода системы из i-го в j-е состояние пропорциональна длине интервала. Равенства (18), очевидно, делают процесс марковским. Величину , где ̸= , назовем интенсивностью перехода из i-го в j-е состояние. В общем случае могут зависеть от времени, но здесь мы ограничимся случаем постоянных интенсивностей.

Равенства (18) аналогичны равенству, доказанному в первой главе для простейшего потока 1( ) = · + ( ) . Более того, сам поток однородных событий можно интерпретировать как случайный процесс накопления событий. Пусть ( ) – число собы-

27

тий, произошедших до момента . Каждая реализация такого

случайного процесса представляет собой ступенчатую функцию (рис. 3), значение которой увеличивается на единицу с появлением очередного события.

Рис. 3. Простейший поток как случайный процесс

Можно также связать описанный случайный процесс с системой, имеющей множество состояний , где = 0, 1, 2, . . . , . В данном случае i – количество событий. Тогда интенсивности переходов:

, если = + 1, где , = 0, 1 . . . ∞;

=

0, иначе.

Здесь под мы, как и в первой главе, подразумеваем интенсив-

ность входящего потока событий. В данном случае на множестве состояний 0, 1, 2, . . . допустимы только переходы слева направо в порядке возрастания номеров.

СМО с дискретным множеством состояний мы часто будем схематически представлять в виде направленного графа, вершинами которого являются состояния, а дугами – допустимые переходы из одного состояния в другое.

28

§ 2.1. Уравнения Колмогорова

Пусть состояния СМО занумерованы натуральными числами =

= 1, 2, . . . . Заметим, что вероятность (18) перехода

( ) = ( ( + )/ ( )) – условная вероятность, иначе говоря,

вероятность того, что система в момент времени + оказалась

всостоянии при условии, что в момент система находилась

всостоянии . Разумеется, = 1, 2, . . . .

Если здесь настоящее, то, таким образом, вероятности всех воз-

можных состояний в будущем зависят только от состояния в настоящем. Обозначим также

( ) = ( ( + )/ ( ))

– вероятность того, что система за время не изменит текущее состояние. Поскольку находящаяся в состоянии система за время либо перейдет в какое-либо иное состояние, либо останется в ,

29

Подставим в последнюю формулу значения из (18), получим:

Устремив к нулю, получим линейное дифференциальное урав-

нение, соответствующее k-му состоянию системы:

Уравнения (19) для всех состояний СМО образуют систему уравнений Колмогорова, описывающую работу произвольной СМО с постоянными интенсивностями переходов:

Начальные условия обычно имеют вид 1(0) = 1 , 2(0) = 3(0) = = · · · = (0), поскольку в начале работы СМО находится в неко-

30