mat_logika

Глава 1. Математическая логика

3.10.Пусть F – тождественно ложная формула. Докажите, что x y → F ≡ x → y:

3.11.Найдите x; если x a x a ≡ b:

3.12.Выразите все основные операции:

1)через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание;

2)через конъюнкцию и отрицание;

3)через дизъюнкцию и отрицание;

4)через импликацию и отрицание.

3.13.1) Выразите отрицание импликации через основные операции так, чтобы отрицания стояли только над аргументами.

2)Выразите операцию дизъюнкции через импликацию.

3.14.Докажите, что операция отрицания не может быть выражена через основные (бинарные) операции над высказываниями.

3.15.Можно ли для каждой формулы найти равносильную, не содержащую знака отрицания?

3.16.Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода – пойти на реку искупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? В ответе отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях.

§4. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

Пусть задано непустое множество M; между любыми элементами a; b и c которого установлено отношение равенства «=», а также заданы три операции: сложения «+», умножения « » и отрицания « », – удовлетворяющие следующим аксиомам:

1)a + b = b + a и a b = b a – аксиома коммутативности;

2)a + (b + c) = (a + b) + c и a (b c) = (a b) c – аксиома ассоциативности;

3)a + (b c) = (a + b) (a + c) и a (b + c) = (a b) + (a c) –

24

§ 4. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

аксиома дистрибутивности;

4)a + a = a и a a = a – аксиома идемпотентности;

5)a + (b a) = a и a (b + a) = a – аксиома поглощения;

6)a = a – аксиома снятия двойного отрицания;

7)a + b = a b и a b = a + b – аксиома де Моргана.

Множество M с заданными на нем операциями, удовлетворяющими всем аксиомам этих операций, называется алгеброй Буля или Булевой алгеброй.

Пусть задана некоторая Булева алгебра, то есть конкретное множество M с определенными на нем операциями и конкретным отношением равенства элементов этого множества. Данное множество будем называть моделью или интерпретацией Булевой алгебры. В качестве примера рассмотрим две модели Булевой алгебры.

Пример 1. Рассмотрим множество всех высказываний алгебры логики. Отношение равенства элементов данного множества – это отношение эквивалентности высказываний, операция сложения – дизъюнкция, операция умножения – конъюнкция, а отрицание естественное. Выполнимость аксиом алгебры Буля следует из основных равносильностей алгебры высказываний, поэтому алгебра высказываний или алгебра логики

– это модель алгебры Буля.

Пример 2. Пусть задано множество всех множеств. Отношение равенства – это равенство множеств, то есть совпадение всех элементов заявленных множеств, операция сложения – объединение множеств, операция умножения – пересечение множеств, отрицание – дополнение множества до универсального. Из свойств операций над множествами следует выполнимость аксиом алгебры Буля, поэтому теория множеств является моделью алгебры Буля.

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция элементарных высказываний и их отрицаний.

Пример 3. Рассмотрим следующие элементарные конъюнкции:

x y; x y z; x y z; x x; x y z t:

Пусть задана некоторая формула алгебры высказываний A:

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы A называется равносильная этой формуле дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Пример 4. Построить ДНФ формулы A = x (x → y):

Для построения дизъюнктивной нормальной формы формулы A используют равносильные преобразования этой формулы: A = x (x → y) ≡ x (x y) ≡ (x x) (x y) = ДНФ (A):

Заметим, что приведение формулы A к ДНФ можно осуществлять не единственным образом, поэтому у одной и той же формулы может

25

Глава 1. Математическая логика

существовать несколько ДНФ: A = x (x → y) ≡ x (x y) ≡ (x x) (x y) ≡ 0 (x y) ≡ x y = ДНФ (A):

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы

A называется такая ее ДНФ, которая удовлетворяет четырем условиям: 1) все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ, различны; 2) каждая элементарная конъюнкция содержит все переменные, входя-

щие в формулу A;

3)каждая элементарная конъюнкция не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4)каждая элементарная конъюнкция не содержит одну и ту же пере-

менную дважды.

СДНФ любой формулы A существует и единственная. Для каждой формулы алгебры высказываний A ее СДНФ может быть получена из формулы A двумя способами: при использовании равносильных преобразований или путем составления таблицы истинности.

Существуют алгоритмы для каждого из этих двух способов.

I способ. Получение СДНФ при помощи равносильных преобразований.

1 шаг. При помощи равносильных преобразований получают одну из возможных ДНФ формулы A:

2 шаг. Проверяют все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ. Если в какой-то элементарной конъюнкции K отсутствует переменная x; входящая в формулу A; то ее вводят следующим образом: K ≡ K 1 ≡ K (x x) ≡ (K x) (K x): Таким образом, недостающая переменная x введена в элементарную конъюнкцию K:

3 шаг. Если какая-нибудь конъюнкция содержит переменную x и ее отрицание x; то такая элементарная конъюнкция исчезает из ДНФ при помощи равносильностей x x ≡ 0; K 0 ≡ K: Если какая-нибудь элементарная конъюнкция содержит переменную x дважды, то вторую переменную убирают при помощи основной равносильности x x ≡ x:

4 шаг. Если в ДНФ формулы A есть одинаковые элементарные конъюнкции, то одну из них убирают, пользуясь основной равносильностью

K K ≡ K:

В результате произведенных преобразований ДНФ формулы A приводится к совершенному виду, то есть к СДНФ.

Пример 5. Найти СДНФ формулы A = x y (x y):

С помощью элементарных преобразований формулу A приведем к какойнибудь ДНФ: A = x y (x y) ≡ x (y x y) ≡ x (y y x) ≡ x (0 x) ≡ x 0 ≡ x = ДНФ (A): Полученная ДНФ формулы A не является совершенной, так как в исходной формуле A две переменные x и y; а в полученной ДНФ только одна переменная x: Введем недостающую

26

§ 4. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

переменную y: ДНФ (A) = x ≡ x 1 ≡ x (y y) ≡ (x y) (x y) = = СДНФ (A): Итак, получили СДНФ формулы A; так как полученная формула является ДНФ, удовлетворяющей всем условиям совершенства.

II способ. Получение СДНФ с использованием таблицы истинности. 1 шаг. Для формулы A составляют таблицу истинности.

2 шаг. В таблице истинности выбирают те наборы переменных, при которых формула A принимает значение «истина».

3 шаг. Для каждого такого набора значений переменных строят элементарную конъюнкцию по правилу: если переменное высказывание x формулы A принимает значение «истина», то эта переменная входит в элементарную конъюнкцию без отрицания, а если x принимает значение «ложь», то она входит в элементарную конъюнкцию с отрицанием.

4 шаг. Составляют дизъюнкцию всех полученных таким образом элементарных конъюнкций.

В результате произведенных действий получают СДНФ формулы A: Пример 6. Найти СДНФ формулы A = x y (x y):

Составим таблицу истинности для формулы A:

Так как A(1; 1) = A(1; 0) = 1; то СДНФ (A) = (x y) (x y):

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция элементарных высказываний и их отрицаний.

Пример 7. Рассмотрим следующие элементарные дизъюнкции:

x y; x y z; x y z; x x; x y z t:

Пусть задана некоторая формула алгебры высказываний A:

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы A называется равносильная этой формуле конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Любая формула алгебры логики, не являющаяся тавтологией, при помощи преобразований может быть приведена к КНФ, причем не единственным образом, то есть одна и та же формула может иметь различные КНФ.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) формулы

A называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет четырем условиям:

1)все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ, различны;

2)каждая элементарная дизъюнкция содержит все переменные, входя-

27

Глава 1. Математическая логика

щие в формулу A;

3)каждая элементарная дизъюнкция не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4)каждая элементарная дизъюнкция не содержит одну и ту же переменную дважды.

СКНФ любой формулы алгебры логики, не являющейся тавтологией,

существует и единственная. Для каждой формулы A ее СКНФ может быть получена из формулы A двумя способами: при использовании равносильных преобразований или путем составления СДНФ формулы A:

Рассмотрим каждый из этих двух способов.

I способ. Получение СКНФ при помощи равносильных преобразований.

1 шаг. При помощи равносильных преобразований получают одну из возможных КНФ формулы A:

2 шаг. Исследуют все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ. Если какая-то элементарная дизъюнкция D не содержит переменную x; входящую в формулу A; то эту переменную вводят следующим образом:

D≡ D 0 ≡ D (x x) ≡ (D x) (D x): Таким образом, недостающая переменная x введена в элементарную конъюнкцию D:

3 шаг. Если какая-нибудь элементарная дизъюнкция содержит переменную x и ее отрицание x; то такая элементарная дизъюнкция исчезает из КНФ при помощи равносильностей x x ≡ 1; D 1 ≡ D: Если какая-нибудь элементарная дизъюнкция содержит переменную x дважды, то вторую переменную убирают при помощи основной равносильности x x ≡ x:

4 шаг. Если в КНФ формулы A есть одинаковые элементарные дизъюнкции, то одну из них убирают, пользуясь основной равносильностью

DD ≡ D:

В результате применения данного алгоритма получаем СКНФ формулы A; удовлетворяющую всем условиям совершенства.

II способ основан на использовании отрицания СДНФ отрицания формулы A; а именно имеет место формула

СКНФ (A) ≡ СДНФ (A):

Любым из известных способов получают СДНФ отрицания формулы A; затем берут ее отрицание, которое и будет являться искомой СКНФ формулы A:

Пример 8. Найти СКНФ формулы A = x y ↔ x y:

I способ. Найдем СКНФ формулы A при помощи равносильных

§4. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

IIспособ. Воспользуемся формулой СКНФ (A) ≡ СДНФ (A): Для начала составим таблицу истинности для формулы A:

СКНФ (A) ≡ СДНФ (A) ≡ (x y) (x y) ≡ (x y) (x y): Итак, СКНФ (A) = (x y) (x y):

Упражнения

4.1. Приведите к СДНФ каждую из следующих формул при помощи равносильных преобразований:

1)(x y) (y z);

2)(x y) (y z);

3)x (y z);

4)(x y) (z t);

( )

6)(x y) (x z) y (z y) ;

7)x y z;

8)(x y z) (x t) (z t);

9)(x y) (x y) (x z) (x z) (y z) (y z);

10)x (x y) (y z) (z t) ;

11)x y z s t:

4.2.Приведите к СКНФ каждую из следующих формул при помощи равносильных преобразований:

1)(x y) (y z);

2)(x y) z;

3)(x y) (x z);

4)(x y) (z t);

5)(x y z) t;

6)x y z;

7)(x y) (y z) (z t);

8)(x y) (z t);

9)(x y) z;

29

Глава 1. Математическая логика

10)x y z t;

11)(x y) (x y z) z:

4.3.Приведите к СДНФ и СКНФ каждую из следующих формул:

1)x z (x → y);

2)(x ↔ y) (z → t);

( )

3)x (y z) (x z);

( )

тивный одночлен, принимающий значение «истина» только на этом наборе значений переменных:

тивный одночлен, принимающий значение «ложь» только на этом наборе значений переменных:

()

6)((x y) z t; ) ( )

7) x (y z) t t;

8)x ↔ y;

9)(x y) z;

30

§ 5. Функции алгебры логики

()

10)x y x → (y z) ;

()

11)x y z → (x ↔ y) ;

12)(x y) (y z) (z t):

4.7. Докажите равносильность формул x y → (y → x) и x → y x y сравнением их совершенных нормальных форм (конъюнктивных или дизъюнктивных).

4.8. Найдите наиболее простой вид формул, имеющих следующие совершенные нормальные формы:

1)(x y) (x y) (x y);

2)(x y) (x y) (x y);

3)(x y z) (x y z) (x y z);

4)(x y z) (x y z) (x y z):

§ 5. Функции алгебры логики

Любая формула алгебры логики полностью зависит от значений высказываний, входящих в эту формулу, поэтому каждая формула алгебры логики является функцией от входящих в нее элементарных высказываний.

Пример 1. Рассмотрим формулу алгебры высказываний:

A = (x ↔ z) y x (z → x) = A(x; y; z):

Данная формула зависит от переменных x; y и z; то есть является функцией этих переменных.

Функцией алгебры логики от n переменных или функцией Буля называется формула, содержащая n переменных высказываний, принимающих значения 0 или 1; при этом сама формула может принимать только два значения: 0 или 1:

Следовательно, каждая функция алгебры логики, зависящая от n переменных, имеет значения во множестве {0; 1}: Область определения

– множество, состоящее из 2n всевозможных наборов нулей и единиц. То есть на каждом из этих наборов функция может принимать только два значения: 0 или 1:

Функции алгебры логики можно задавать при помощи таблиц истинности, при этом число функций от n переменных равно 22n :

31

Глава 1. Математическая логика

Пример 2. Количество функций алгебры логики от одной переменной равно 4: Убедимся в этом, составив таблицу.

тинной, если f(x1; x2; :::; xn) ≡ 1; f(x1; x2; :::; xn) – тождественно ложная функция, если f(x1; x2; :::; xn) ≡ 0: Такие функции алгебры логики называются постоянными функциями алгебры Буля.

Рассмотрим некоторую функцию алгебры логики F (x1; x2; :::; xn); которая не является противоречием. Составим таблицу истинности для функции F (x1; x2; :::; xn):

Так как каждая функция алгебры логики представляет собой некоторую формулу алгебры высказываний, а каждую формулу единственным образом можно привести к СДНФ, то, используя, например, таблицу истинности и соответствующий алгоритм, приведем функцию F к СДНФ.

F (x1; x2; :::; xn) = F (1; 1; :::; 1) x1 x2 ::: xn F (1; 1; :::; 0) x1 x2

::: xn ::: F (0; 0; :::; 0) x1 x2 ::: xn:

Запись правой части данной формулы пока еще не является СДНФ. Среди коэффициентов F (1; 1; :::; 1); F (1; 1; :::; 0) , :::; F (0; 0; :::; 0) могут быть нулевые коэффициенты, тогда вся элементарная конъюнкция с таким коэффициентом обращается в 0; поэтому такую элементарную конъюнкцию можно исключить из записи функции F (x1; x2; :::; xn): Те значения коэффициентов, которые равны 1; можно не писать, так как

1 x ≡ x:

В результате функция F (x1; x2; :::; xn) принимает вид СДНФ. Представление функции алгебры логики в виде СДНФ имеет приме-

нение в конструировании автоматов, используется в работе компьютерных программ.

Пример 3. Пользуясь таблицей истинности, составить функцию

F (x1; x2; x3):

32