mat_logika

§ 1. Высказывания и операции над ними

1.7. Установите истинно или ложно высказывание: 1) 2 {x| 2x3 − 3x2 + 1 = 0; x R};

2) −3 {x| x3−1 < −2; x R};

x2+2

3)3 {32nn−+12 ; n N};

4){1} N;

5){1} P (N); где P (N) – множество всех подмножеств множества N;

6);

7){ };

8){−1; 1; 2} {x| x3 + x2 − x − 1 = 0; x Z};

9){x| x3 + x2 − x − 1 = 0; x Z} {−1; 1; 2};

10)N;

11){ } { };

12){ } { ; { }}:

1.8.Среди следующих высказываний укажите элементарные и составные. В составных высказываниях выделите грамматические связки:

1)число 27 не делится на 3;

2)число 15 делится на 5 и на 3;

3)если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;

4)число 7 является делителем числа 42;

5)число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9;

6)если число 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6.

1.9.Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:

1)45 кратно 3 и 42 кратно 3;

2)45 кратно 3 и 12 не кратно 3;

√√

3) 25 = 5 или 25 = −5;

4)2 ≤ 5;

5)если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;

6)число 212 – трехзначное и кратно 3 или 4;

7)произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю;

8)если производная функция в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции.

1.10.Пусть p и q обозначают высказывания: p – «Я учусь в университете», q – «Я люблю математику». Прочтите следующие сложные высказывания:

13

Глава 1. Математическая логика

1.11.Сформулируйте отрицания следующих высказываний, укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

1)Волга впадает в Каспийское море;

2)число 28 не делится на число 7;

3)6 > 3;

4)4 ≤ 5:

1.12.Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие – нет (объясните почему):

1)« ABC прямоугольный», « ABC тупоугольный»;

2)«натуральное число n четно», «натуральное число n нечетно»;

3)«функция f нечетна», «функция f четна»;

4)«все простые числа нечетны», «все простые числа четны»;

5)«все простые числа нечетны», «существует простое четное число»;

6)«существуют иррациональные числа», «все числа рациональные».

1.13.Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения (a и b – действительные

числа):

1.14. Пусть x; x′; y; y′ означают соответственно «7 – простое число», «7 – составное число», «8 – простое число», «8 – составное число». Определите значения истинности следующих высказываний:

1) x; x′; y; y′;

2) x y; x y′; x′ y; x′ y′;

3)x y; x y′; x′ y; x′ y′:

1.15.Пусть через a обозначено высказывание «9 делится на 3», а через b – высказывание «8 делится на 3». Определите значения истинности следующих высказываний:

1.16.Определите значения истинности следующих высказываний:

1)Тамбов расположен на Цне и 2 + 3 = 5;

2)7 – простое число и 9 – простое число;

3) 2 2 = 4 и 2 2 ≤ 5 и 2 2 ≥ 4;

4)7 – простое число или 9 – простое число;

5)число 2 четное или это число простое;

6)если 15 делится на 3, то 15 делится на 6;

7)если 2 2 = 5; то 2 < 3;

8)если 2 2 = 5; то 2 > 3;

14

§ 1. Высказывания и операции над ними

9)59175 делится на 9 тогда и только тогда, когда 27 делится на 9;

10)19 делится на 6 тогда и только тогда, когда 19 делится на 3.

1.17.Пусть x = 0; y = 1; z = 1: Определите логические значения

следующих предложениях, из которых первые два истины, а последние

ность x ↔ y ложна. Что можно сказать о значении импликации y → x? 2) Известно, что эквивалентность x ↔ y истинна. Что можно сказать о значениях x ↔ y; x ↔ y; x → y и y → x?

3) Известно, что эквивалентность x ↔ y ложна. Что можно сказать о значениях x ↔ y; x ↔ y; x → y и y → x?

4)Известно, что x = 1: Что можно сказать о значениях импликаций x y → z и x → (y z)?

5)Известно, что x → y имеет значение 1: Что можно сказать о значениях z → (x → y); (x → y) → y и (x → y) → z?

6)Известно, что импликация x → y истинна. Что можно сказать о логическом значении высказывания (x y) → (x y)?

1.22. Существуют ли три таких высказывания a; b; c; чтобы одновременно высказывание a b было истинным, а высказывания a c и (a b) c – ложными?

1.23. Последовательность высказываний (an) определяется следующим рекуррентным соотношением: an = an−1 (an−2 an−3) при n > 3: Высказывания a1; a2; a3 заданы, причем a1 и a3 истинны, а a2 лож-

15

Глава 1. Математическая логика

но. Истинно или ложно высказывание an? Как выражается an через a1; a2; a3?

1.24. Исключающей дизъюнкцией двух высказываний a и b назы-

вается новое высказывание, обозначаемое a b (читают «либо a; либо b»), которое истинно, когда одно и только одно из данных высказываний истинно, и ложно в остальных случаях. Составьте таблицу истинности исключающей дизъюнкции и выразите ее через основные операции над высказываниями.

1.25.Штрихом Шеффера двух высказываний a и b называется новое высказывание, обозначаемое a|b (читают «a не совместно с b»), которое ложно только тогда, когда оба данные высказывания истинны. Составьте таблицу истинности штриха Шеффера и выразите его через основные операции над высказываниями. Докажите, что все остальные операции над высказываниями можно выразить через штрих Шеффера.

1.26.Штрихом Лукасевича двух высказываний a и b называется

новое высказывание a ↓ b (читают «ни a; ни b»), которое истинно в том и только в том случае, когда оба данные высказывания ложны. Составьте таблицу истинности штриха Лукасевича и выразите его через основные операции над высказываниями. Докажите, что все основные операции над высказываниями можно выразить через штрих Лукасевича.

§ 2. Формулы алгебры высказываний

При помощи логических операций из элементарных высказываний можно строить новые составные высказывания. Порядок выполнения операций указывают скобки, кроме того принято считать, что операция конъюнкции выполняется раньше всех других операций, операция дизъюнкции раньше импликации и эквиваленции, а операция импликация выполняется раньше эквиваленции. Если над высказыванием стоит операция отрицания, то скобки можно опускать.

Пример 1. Пусть заданы высказывания x; y; z: Построим, например, следующие составные высказывания:

(x → y) ↔ (x z) z; (x → y) → z y x; (x ↔ z) z y ↔ y:

Сложные высказывания, полученные из элементарных высказываний при помощи логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, – называются формулами алгебры высказываний или формулами алгебры логики. Используют следующие обозначения: A; B; C; ::: : Логические значения формулы алгебры логики

16

§ 2. Формулы алгебры высказываний

полностью определяются логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний.

Пример 2. Дана формула алгебры логики A = A(x; y; z) = x y z: Пусть x = y = 1; z = 0: Найдем значение A(1; 1; 0) = 1:

Отметим, что формулу алгебры высказываний можно задать с помощью таблицы истинности, то есть восстановить эту формулу по известной таблице истинности.

Пример 3. Формулу A(x; y; z) = x y z можно задать при помощи таблицы истинности.

При заполнении таблицы истинности следует учитывать количество элементарных высказываний, входящих в эту формулу. Если формула A содержит n элементарных высказываний, то таблица истинности будет содержать 2n строк.

Например, при n = 2 формула A содержит 2 элементарных высказывания, и ее таблица истинности имеет 22 = 4 строки; если n = 3; то формула A содержит 3 элементарных высказывания, и ее таблица истинности состоит из 23 = 8 строк; при n = 4 формула A содержит 4 элементарных высказывания, и ее таблица истинности имеет 24 = 16 строк.

Упражнения

2.1.Составьте таблицы истинности для формул:

1)x1 x2;

2)(x y) → (x y x → y);

3)(x1 x2) x3;

4)x y → (y x → z);

17

Глава 1. Математическая логика

фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация a → b:

2.3. Из трех данных высказываний x; y; z постройте формулу алгебры высказываний F (x; y; z); которая истинна, когда истинно какоелибо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

§ 3. Равносильные преобразования формул алгебры логики

Формулы алгебры высказываний A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на всех одинаковых наборах элементарных высказываний, входящих в эти формулы. Равносильные формулы A и B обозначают A ≡ B и читают «A равносильно B».

Примеры.

1.x ≡ x:

2.x x ≡ x:

3.x x ≡ x:

Формула A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение «истина» на всех наборах входящих в нее элементарных высказываний.

Пример 1. Формула x x является тавтологией. Убедимся в этом, составив таблицу истинности.

Формула A называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение «ложь» на всех наборах входящих в нее элементарных высказываний.

Пример 2. Формула x x является противоречием. Убедимся в этом, составив таблицу истинности.

18

§ 3. Равносильные преобразования формул алгебры логики

Формула A называется выполнимой, если она принимает значение «истина» хотя бы на одном наборе входящих в нее элементарных высказываний и при этом не является тавтологией.

Пример 3. F (x; y) = x y → x y – выполнимая формула. Проверим данное утверждение, составив таблицу истинности.

Из последнего столбца таблицы истинности видим, что данная формула принимает значение «истина» при x = 1; y = 0 и «ложь» при всех остальных наборах значений x; y: Следовательно, эта формула выполнима.

Понятие «равносильность формул» задает отношение эквивалентности на множестве всех формул алгебры высказываний. Таким образом, отношение равносильности формул алгебры логики обладает следующими свойствами:

1)A ≡ A (рефлексивность);

2)если A ≡ B; то B ≡ A (симметричность);

3)если A ≡ B и B ≡ C; то A ≡ C (транзитивность).

Существует связь между понятием «равносильность формул» и операцией эквиваленции, а именно справедливо следующее утверждение:

A ≡ B тогда и только тогда, когда имеет место эквиваленция A ↔ B:

Среди всех равносильных между собой формул выделяют основные равносильности, которые условно можно разделить на три группы.

I.Основные равносильности.

1)x x ≡ x – закон идемпотенции;

2)x x ≡ x – закон идемпотенции;

3)x 1 ≡ x;

4)x 1 ≡ 1;

5)x 0 ≡ 0;

6)x 0 ≡ x;

7)x ≡ x – закон снятия двойного отрицания;

8)x x ≡ 0 – закон противоречия;

9)x x ≡ 1 – закон исключения третьего;

10)x (x y) ≡ x – закон поглощения;

11)x (x y) ≡ x – закон поглощения.

19

Глава 1. Математическая логика

II.Основные равносильности, связывающие логические операции.

1)x ↔ y ≡ (x → y) (y → x);

2)x → y ≡ x y;

3)x y ≡ x y – закон де Моргана;

4)x y ≡ x y – закон де Моргана.

III.Основные равносильности, выражающие законы логических операций.

1)x y ≡ y x – закон коммутативности конъюнкции;

2)x y ≡ y x – закон коммутативности дизъюнкции;

3)(x y) z ≡ x (y z) – закон ассоциативности конъюнкции;

4)(x y) z ≡ x (y z) – закон ассоциативности дизъюнкции;

5)x (y z) ≡ (x y) (x z) – закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции;

6)x (y z) ≡ (x y) (x z) – закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции.

Доказательство каждой из перечисленных равносильностей во всех группах производится по одной и той же схеме: при помощи составления таблиц истинности для каждой из формул в обеих частях равносильностей.

Пример 4. Докажем закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции, то есть равносильность x (y z) ≡ (x y) (x z): Имеет место следующая таблица истинности.

Сравнивая строки в пятом и восьмом столбцах таблицы истинности, видим, что на каждом наборе переменных высказываний x; y; z формулы x (y z) и (x y) (x z) принимают одинаковые логические значения. Следовательно, данные формулы равносильны, то есть закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции доказан.

Способ доказательства равносильности формул при помощи составления таблиц истинности хорошо работает при небольшом числе переменных высказываний. Если число переменных высказываний и логических операций велико, то таблица истинности содержит большое число

20

§ 3. Равносильные преобразования формул алгебры логики

строк, поэтому при доказательстве равносильности таких формул используют другой способ, основанный на равносильных преобразованиях самих формул.

Используя основные равносильности, можно часть формулы или всю формулу целиком заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования называются равносильными преобразованиями формул и используются для доказательства равносильности и упрощения формул, а также для приведения формулы к заданному виду.

Будем полагать, что формула A проще чем формула B; если в ней меньше элементарных высказываний и логических операций, связывающих эти высказывания. При упрощении формул обычно операции импликации и эквиваленции заменяют операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Отрицание, отнесенное ко всей формуле, переносят, по возможности, на каждое переменное высказывание.

Пример 5. Доказать равносильность x ↔ y ≡ (x y) (x y): Осуществим равносильные преобразования формулы x ↔ y; используя

обозначение x y = a; получим x ↔ y ≡ (x → y) (y → x) ≡ (x y)

( ) ( )

(y x) ≡ a (y x) ≡ (a y) (a x) ≡ (x y) y (x y) x ≡

(x y) (y y) (x x) (y x) ≡ (x y) 0 0 (x y) ≡ (x y) (x y):

( )

мулы F (x; y; z) = (x → y) → (y → z) → (x y → z) ≡ x y y z

(x y z) ≡ (x y) (y z) (x y z) ≡ (x y) (y z) (x y) z ≡

II способ. Составим таблицу истинности для того, чтобы определить

( )

вид формулы F (x; y; z) = (x → y) → (y → z) → (x y → z) :

21

Глава 1. Математическая логика

Исследуя результаты последнего столбца, заключаем, что на всех наборах переменных формула принимает значение «истина», поэтому она является тавтологией.

Упражнения

3.1.Докажите равносильность x → y ≡ x y:

3.2.Упростите формулу A ≡ (x y → x y) y:

3.3.Докажите, что формула A ≡ x → (y → x) – тавтология.

3.4.Проверьте, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными:

3.5.1) Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.

2)Постройте с помощью отрицания и импликации формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для дизъюнкции, и вторую формулу с таблицей, совпадающей с таблицей для конъюнкции.

3.6.Установите, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:

1)x y → x y;

2)(x → y) → (y → x);

22