Содержание

Содержание……………………………………………………………………… Глава 1 Математическая постановка задач .........……………………………...	2 3
Глава 2 Определение опорного плана транспортной задачи………………….	7
2.1Метод Северо-Западного угла………………………………………………..	8
2.2Метод минимального элемента……………………………………………….	11
2.3Метод аппроксимации Фогеля………………………………………………..	12
Глава 3 Определение оптимального плана транспортной задачи……………..	15
3.1 Метод потенциалов……………………………………………………………	15
3.2Метод дифференциальных рент……………………………………………… Глава 4 Практическая часть………………………………………………………	21 27
Список используемой литературы……………………………………………	29

Глава 1.

Математическая постановка задач.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого груза однородного груза из m пунктов отправления в n пунктов назначения . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим черезтарифы перевозки единицы груза изi-го пункта отправления в j-ый назначения, через -запасы груза вi-ом отправления, через -потребности в грузе вj-ом пункте назначения, а через –количество единиц груза, перевозимого изi-го пункта отправления в j-ый пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции:

при условиях:

Поскольку переменные удовлетворяют системам линейных уравненийии условию неотрицательности,обеспечиваются доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения ,вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключается обратные перевозки.

Определение 1 Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений и,определяемой матрицей, называется планом транспортной задачи.

Определение 2 План ,при котором функцияпринимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы 1.

Таблица 1

Пункты отправления	Пункты назначения						Запасы
		. . .		. . .
		. . .		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .		. . .
Потребности		. . .		. . .

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно:

а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна:

Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления , т.е.

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

Теорема 1 Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения т.е. чтобы выполнялось равенство

В случае превышения запаса над потребностью, т.е.

вводиться фиктивный (n+1)-ый пункт назначения с потребностью

и соответствующие тарифы считается равными нулю . Полученная задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство.

Аналогично, при

вводиться фиктивный (m+1)-ый пункт отправления с запасом груза

и тарифы полагаются равными нулю: . Этим задача сводиться к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи. В дальнейшем буду рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство.

Число переменных в транспортной задаче сm пунктами отправления и n пунктами назначения равно nm ,а число уравнений в системах иравноm+n .Так как предполагается, что выполняется , то число линейно независимых уравнений равноm+n-1 .Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более m+n-1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности m+n-1 ,то план является вырожденным, а если меньше то вырожденным.

Для определения опорного плана существует несколько методов. Три из них – метод северо-западного угла, метод минимального элемента и метод аппроксимации Фогеля.

Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом.

Для определения оптимального плана транспортной задачи можно использовать низложенные выше методы. Однако ввиду исключительной практической важности этой задачи и специфики ее ограничений (каждая неизвестная входит лишь в два уравнения систем ии коэффициенты при неизвестных равны единице) для определения оптимального плана транспортной задачи разработаны специальные методы. Метод потенциалов и метод дифференциальных рент.

Рассмотрим пример (1):

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции использует три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120,50,190,110 единиц. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160,140,170 единиц. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок задается матрицей:

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.