3.7. Численное решение нелинейных уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений встречается в различных областях научно-технических исследований. Проблема формулируется следующим образом. Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения
f(x) = 0.
Будем предполагать, что имеется интервал изменения х [a; b], на котором необходимо исследовать функцию f(x) и найти значение х0, при котором f(x0) равно или весьма мало отличается от нуля.
Данная задача в системе Mathcad может быть решена следующим образом. Вначале необходимо построить график функции f(x) на заданном интервале и убедиться в существовании корня или нескольких корней. Затем применить программы поиска корней. Если существует один корень и график f(x) пересекает ось ох, то можно применить встроенную функцию root.
Пример . Найти корень нелинейного уравнения 10х + 2х – 100 = 0 на интервале [1.0; 2.0].
Текст документа MathCAD
Варианты заданий. Построить график и найти корень заданного нелинейного уравнения с погрешностями 10-2, 10-10. Оценить влияние заданной погрешности на невязку. Данные взять из таблицы 3.8.
Таблица 3.8
|
№ п/п |
Уравнение f(x) = 0 |
Отрезок [a; b] |
|
1 |
|
[1.0;
|
|
2 |
|
[2.0; 3.0] |
|
3 |
|
[8.0; 9.0] |
|
4 |
|
[0.5; 1.0] |
|
5 |
|
[0.0; 1.0] |
|
6 |
|
[3.0; 3.2] |
|
7 |
|
[0.0; 1.0] |
|
8 |
|
[0.0; 0.2] |
|
9 |
|
[0.8; 1.0] |
|
10 |
|
[0.0; 1.0] |
|
11 |
|
[1.0; 1.5] |
|
12 |
|
[1.0; 2.0] |
|
13 |
|
[0.1; 1.0] |
|
14 |
|
[0.0; 1.0] |
|
15 |
|
[3.0; 4.0] |
|
16 |
|
[1.0; 1.2] |
|
17 |
|
[1.0; 2.0] |
|
18 |
|
[0.0; 1.0] |
|
19 |
|
[-0.2; -0.1] |
|
20 |
|
[0.1; 0.9] |
|
21 |
|
[1.0; 1.4] |
|
22 |
|
[3.0; 4.0] |
|
23 |
|
[0.0; 1.5] |
|
24 |
|
[0.0; 1.0] |
|
25 |
|
[0.1; 1.0] |
|
26 |
|
[0.4; 0.6] |
|
27 |
|
[3.0; 4.0] |
|
28 |
|
[4.0; 5.0] |
|
29 |
|
[2.0; 3.0] |
|
30 |
|
[0.0; 0.48] |
]
3.8. Численное решение оптимизационных задач
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют определить наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов, минимальный урон природной среде и т. п. В процессе решения задачи оптимизации необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров (их называют проектными). Выбор оптимального решения проводится с помощью некоторой функции, называемой целевой. Целевую функцию можно записать в виде
,
(3.10)
где х1, х2, … , хп – проектные параметры.
Можно выделить 2 типа задач оптимизации – безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума функции (3.10) от п действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве G n-мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации – это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве G.
Для поиска экстремумов в MathCad имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.
Minimize (f, xi, ... ,хм) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;
Maximize (f, xi,... ,хм) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума; f(xi,...,хм,...)-функция; xi, ...,хм- аргументы, по которым производится минимизация(максимизация). Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения
Пример . Найти минимальное значение функции одной переменной
f(x) = 24 – 2x /3 + x2/ 30 на отрезке [5; 20].
Текст документа MathCAD
Варианты заданий. Найти координату и минимальное значение функции f(x) на [a; b]. Данные взять из таблицы 3.9.
Таблица 3.9
|
№ п/п |
Функция f(x) |
Отрезок [a; b] |
|
1 |
|
[1.2; 4] |
|
2 |
|
[0; /2] |
|
3 |
|
[-2; 2] |
|
4 |
|
[-2; 2] |
|
5 |
|
[1; 3] |
|
6 |
|
[; 3/2] |
|
7 |
|
[0; 1] |
|
8 |
|
[0; 2] |
|
9 |
|
[-0.5; 1.5] |
|
10 |
|
[0,1; 1.0] |
|
11 |
|
[1.0; 2,5] |
|
12 |
|
[-1.0; 0] |
|
13 |
|
[-0.5; 0.5] |
|
14 |
|
[0.5; 1.5] |
|
15 |
|
[1.6; 2.2] |
|
16 |
|
[1; 2] |
|
17 |
|
[0.8; 1.2] |
|
18 |
|
[0; /3] |
|
19 |
|
[0.5; 1.2] |
|
20 |
|
[-1.5; -0.5] |
|
21 |
|
[-2.0; -1.0] |
|
22 |
|
[-3.0; -1.0] |
|
23 |
|
[0.1; 1.0] |
|
24 |
|
[-0,05; -0.2] |
|
25 |
|
[-0.5; 0.5] |
|
26 |
|
[; 3/2] |
|
27 |
|
[1.0; 2.0] |
|
28 |
|
[0.1; 0.5] |
|
29 |
|
[; 2] |
|
30 |
|
[2.0; 3.0] |
Поиск минимума функций нескольких переменных
Данная задача значительно сложнее первой. Для минимизации функций нескольких переменных Mathcad использует различные методы (сопряженных градиентов, Ньютона и пр.), выбор которых обычно реализуется автоматически самой системой Mathcad.
Пример. Найти координаты и значение минимума функции двух переменных f(x, y) = 100( y – x2 )2 + (1–x2)2, если начальная точка поиска имеет координаты М0 (2; 2). Анализ функции показывает, что min f = 0, x = 1 ,y=1.
Текст документа MathCAD
Варианты заданий. Найти и вывести на печать координаты и минимальное значение функции двух переменных при погрешностях 10-2, 10-5, 10-20. Поиск начать с точки М0 (х0, у0). Данные взять из таблицы 3.10.
Таблица 3.10
|
№ п/п |
Функция f(x, у) |
Координаты начальной точки М0 (х0, у0). |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
|
(1; 1) |
|
2 |
|
(2; 2) |
|
3 |
|
(2; 2) |
|
4 |
|
(2; 2) |
|
5 |
|
(2; 2) |
|
6 |
|
(2; 2) |
|
7 |
|
(2; 2) |
|
8 |
|
(2; 2) |
|
9 |
|
(2; 2) |
|
10 |
|
(2; 2) |
|
11 |
|
(0.5; 0.5) |
|
12 |
|
(0.5; 3.5) |
|
13 |
|
(0; 0) |
|
14 |
|
(0.1; -1.0) |
|
15 |
|
(4; 1) |
|
16 |
|
(0.5; 2.5) |
|
17 |
|
(1.5; 0.5) |
|
18 |
|
(0.5; 0.5) |
|
19 |
|
(0.3; 0.3) |
|
20 |
|
(0.25; 0.25) |
|
21 |
|
(0.5; 1.5) |
|
22 |
|
(0.5; 0.5) |
|
23 |
|
(-1.5; 0.5) |
|
24 |
|
(1.0; 1.0) |
|
25 |
|
(2.0; 1.5) |
|
26 |
|
(0.2; 0.3) |
|
27 |
|
(/4; /4) |
|
28 |
|
(/4; /4) |
|
29 |
|
(2.5; 2.5) |
|
30 |
|
(1.0; -1.0) |
Содержание
1. Содержание и объем курсовой работы……………………………………….
2.Основные приемы работы в системе MathCAD……………………………….