Квантова механіка_Модуль 4
.pdf105
§ 78. Атом водню в теорії Дірака
Хоч рух електрона в атомі водню відповідає нерелятивістським швидкостям, знаходження релятивістських поправок до рівнів енергії водню представляло вели- кий інтерес, оскільки теорія Шредінгера не могла пояснити появу тонкої структури в спектрі водню. У § 27 було знайдено, що рівні енергії атомів водню залежать тільки від головного квантового числа. Тим часом дослід показує, що головне кван- тове число характеризує рівні енергії лише наближено. Насправді має місце розще- плення збуджених рівнів на близькі підрівні. В результаті у спектрі водню спосте- рігалося розщеплення спектральних ліній, помітне в звичайному спектрометрі і особливо точно зміряне за допомогою сучасних методів радіоспектроскопії. Ви- явилось, що це розщеплення рівнів пов'язане із спін-орбітальною взаємодією і ви- пливає з теорії Дірака.
Рівняння Дірака для стаціонарного руху в кулонівському полі має вигляд
|
|
|
Ze2 |
|
c α ( p + mc2 |
β ) ψ = E + |
|
ψ . |
|
|
||||
|
|
|
r |
|
Рівняння Дірака, як і рівняння Шредінгера, в кулонівському полі допускає то- чний розв'язок. Проте на відміну від рівняння Шредінгера рівняння Дірака не при- водить до окремого збереження повного і спінового моментів. Обчислення показу- ють, що тільки в нерелятивістському наближенні можна говорити про сталі зна- чення орбітального і спінового моментів. У останньому випадку виявляється, що гамільтоніан набуває вигляду:
|
|
p2 |
1 1 ∂U |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ɵ |
|
) , |
(1) |
||
H |
= |
|
+ U + |
|
|
|
|
|
s |
L + o(1/ c |
|||
|
2mc2 |
|
|
||||||||||
|
|
2m |
|
r ∂r |
|
|
|
|
|||||
де перші два доданки співпадають з гамільтоніаном рівняння Шредінгера, а третій доданок є енергію спін-орбітальної взаємодії. Невиписані члени порядка 1/с2 міс- тять релятивістські поправки до кінетичної і потенціальної енергії. Розв'язок рів- няння Дірака приводить до наступного виразу для енергії електрона:
E = mc2 |
|
Z 2me4 |
|
Ze2 |
4 |
mc2 |
n |
|
3 |
|
, |
(1) |
||||
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
c |
|
2n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
j + 0, 5 |
|
4 |
|
|
|||||
де j = l +1/2 - власне значення оператора повного моменту; решта величин ті ж самі, що і у § 27. Рівні енергії залежать тепер не тільки від п, але також і від l. Випадкове виродження по l (§ 27) знімається, і рівні енергії з одним і тим же значенням п, але різними l мають різні значення. Проте це розщеплення рівнів досить мале порівня- но з відстанню між сусідніми рівнями з різними п. Зберігається виродження станів з однаковими значеннями l. Наприклад, при п=2 є наступні три стани: 2S1/2, 2Р1/2 і 2Р3/2. Перші два стани є виродженими, оскільки вони відповідають п=2 і j =1/2.
До порівняно недавнього часу вважалося, що теорія Дірака передає тонку структуру рівнів водню з величезним ступенем точності. Точно співпадали з дослі- дними даними розташування термів, правила відбору і інтенсивності ліній. Лише у 1953 р. Лемб, що застосував радіоспектроскопічні методи вимірювання, виявив, що рівні 2S1/2 і 2Р1/2 мають дещо різні енергії. Це відхилення від формули (2), отрима- ної з теорії Дірака, пов'язане з фундаментальними властивостями матерії - реальні- стю вакууму - і в решті решт не тільки не протирічить теорії Дірака, але є одним з найблискучіших її підтверджень, розвинутих у квантовій електродинаміці, елемен- ти якої розглядатимуться у наступному розділі.
106
Розділ ІХ. Елементи квантової електродинаміки
§79. Об’єднання електродинаміки з квантовою механікою
Створена в 20-х роках ХХ сторіччя квантова механіка розв’язала багато задач мікросвіту. В той же час в цій теорії електромагнітне поле продовжувалось опису- ватись класичними рівняннями Максвела, тобто як класичне неперервне поле, яке задається значеннями векторів E (r , t ), H (r , t ). Квантова механіка дозволяє описати
рух електронів, протонів і інших частинок, але не їх народження або знищення, тобто може бути застосована лише до систем із незмінним числом частинок. В свою чергу, найбільш важлива і цікава в електродинаміці задача про випроміню- вання та поглинання електромагнітних хвиль зарядженими частинками, що на ква- нтовій мові відповідає народженню або знищенню фотонів, по суті, виявляється поза компетенцією квантової механіки і класичної механіки.
Таким чином квантова механіка дає наближений опис мікросистем, вірний лише в тій мірі, в якій можна знехтувати процесами випромінювання і поглинання фотонів. Разом з тим і електродинаміка Максвелла вимагає узагальнення, оскільки ще до створення квантової механіки М. Планк у 1900 році запропонував кванту- вання електромагнітного поля для пояснення випромінювання абсолютно чорного тіла, а у 1905 році Ейнштейн розвинув його ідеї для пояснення явища фотоефекту.
Об’єднання квантової механіки і електродинаміки Максвела привело до ство- рення нової фізичної теорії - квантової електродинаміки, яка являє собою квантову теорію електромагнітної взаємодії електрона і позитрона з ЕМП. В основну кванто- вої електродинаміки покладені рівняння Максвела, що описують класичне елект- ромагнітне поле, і квантовомеханічні рівняння Дірака (75.8), які є узагальненням рівняння Шредінгера на релятивістські явища. І рівняння Максвела, і рівняння Ді- рака задовольняють вимозі спеціальної теорії відносності про інваріантність рів- нянь будь-якої фізичної теорії відносно перетворень Лоренца.
Рівняння Дірака, як і рівняння Максвела, мають польовий характер і відобра- жають разом з останнім хвильову природу матерії. Разом з тим, Дірак, аналізуючи рівняння руху релятивістського електрона, передбачив існування позитрона - час- тинки, відмінної від електрона знаком заряду. Отже, рівняння Дірака описують електрон-позитронне поле, а рівняння Максвелла – електромагнітне поле. Матема- тично ці поля представлені операторами, які підпорядковані певним комутаційним співвідношенням:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, t ), H |
|
, t ), ψ |
|
, t ) |
||||||
E (r |
, t ) → E |
(r |
(r |
, t ) → H |
(r |
(r |
, t ) → ψ |
(r |
||||
Таким чином, ми приходимо до поняття квантових полів, які підпорядкову- ються, як функції координат і часу, системі зв’язаних рівнянь Максвелла і Дірака, та, як оператори, певним комутаційним співвідношенням. Некомутативність опера- торів означає, згідно з принципами квантової механіки, принципову неможливість абсолютно точно виміряти в один і той же час відповідні величини.
Квантова електродинаміка є найточнішою з усіх фізичних теорій наших днів. Її розрахунки знаходяться в надзвичайній згоді з вимірюваннями аж до 9 знаків після коми. Разом з електронами вона чудово описує електромагнітну взаємодію інших заряджених лептонів (µ ± ,τ ± ).На відміну від них електромагнітна взаємодія адронів
обчислюється важче, бо для них важливішою є сильна взаємодія.
Квантова електродинаміка є першим і найбільш вивченим прикладом кванто-
107
вої теорії поля. В її рамках відкриті і сформульовані більшість фундаментальних понять і закономірностей цієї теорії. По її прикладу будуються складні теорії силь- ної і слабкої взаємодії.
Основи квантової електродинаміки закладені в кінці 20-х років ХХ століття Діраком. Свою сучасну форму ця теорія отримала на межі 40-50х років ХХ століття у працях Фейнмана, Томонаги, Дайсона та інших.
§80. Вакуумний стан
Одним із фундаментальних понять квантової теорії поля є поняття вакууму. Розглянемо ЕМП – поле фотонів. Таке поле має запас енергії, яка може змінюва- тись порціями hν . Зменшення енергії поля на hν означає зникнення одного фотона
зчастотою ν , тобто перехід поля в стан з меншим на одиницю числом фотонів.
Врезультаті послідовності таких переходів у кінцевому наслідку утвориться такий стан, в якому число фотонів дорівнюватиме 0, і наступна віддача енергії стає неможливою. Але з точки зору квантової теорії поля ЕМП не перестає при цьому існувати, воно переходить в стан з найменшою можливою енергією. Оскільки в та- кому стані фотонів немає, його природно називають вакуумним станом ЕМП, або фотонним вакуумом. Отже, вакуум ЕМП є найнижчим енергетичним станом цього поля.
ЕМП описується в класичній електродинаміці векторними полями E, H . В ква-
нтовій теорії поля їм відповідають оператори |
|
і |
|
E |
H , які виявляється некомутую- |
чими з оператором числа фотонів. Як відомо, якщо два оператори фізичних вели- чин не комутують між собою, то відповідні їм фізичні величини не можуть одноча- сно мати точно визначених значень. Звідси випливає, що не існує такого стану ЕМП, в якому були б одночасно точно визначені напруженість поля і число фото- нів. Тому визначення вакууму як стану з нульовим числом частинок приводить до висновку про невизначеність напруженостей поля в цьому стані, зокрема про не- можливість цих напруженостей мати точно нульові значення. Саме в неможливості одночасної рівності нулю і числа фотонів, і напруженостей ЕМП лежить фізична причина необхідності розглядати вакуумний стан не як просту відсутність поля, а як один з його можливих станів з певними властивостями, які можуть проявлятися на досліді.
Уявлення про вакуум як про один із станів поля є фізично обґрунтованим. ЕМП у вакуумному стані не може поставляти енергію, але з цього зовсім не ви- пливає, що воно ніяк не може проявити себе. Фізичний вакуум – не пустота, а стан з важливими властивостями, які проявляються у реальних фізичних процесах. Ана- логічно і для інших частинок можна ввести уявлення про вакуум як про найнижчий енергетичний стан полів відповідних частинок. При розгляданні взаємодіючих по- лів вакуумним можна назвати найнижчий енергетичний стан всієї системи цих по- лів.
Якщо полю, що перебуває у вакуумному стані, надати достатню енергію, то ві- дбудеться його збудження, тобто народження частинки – кванта цього поля. Отже, народження частинки можна розглядати як перехід з вакуумного стану, який “не спостерігається”, у реальний стан.
108
§81. Вторинне квантування у системі бозонів
Одним з важливих формальних розрахункових методів, які часто застосову- ються у квантовій теорії систем із змінним числом частинок, є так званий метод вторинного квантування, запропонований у 1927 р. П.А.М.Діраком. Основна його риса – введення операторів, що описують народження і знищення частинок.
У квантовій теорії поля стан системи частинок описується хвильовою функці- єю, або вектором стану. Розглянемо N бозонів, які всі знаходяться в однаковому
стані. Позначимо вектор цього стану ψ N . Квадрат його модуля |
|
ψ N |
|
2 , який визначає |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
ймовірність даного стану, дорівнює 1, якщо в даному стані є дійсно N частинок. Це |
||||||||||||||||
означає, що вектор стану з любим фіксованим N нормований на одиницю: |
|
ψ N |
|
2 = 1. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Введемо оператор знищення частинки a− |
як такий, що переводить стан з N ча- |
|||||||||||||||
стинками в стан з N −1 частинкою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a−ψ N = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Nψ N −1 . |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
Аналогічно оператор народження частинки a+ переводить стан з N |
частинка- |
|||||||||||||||
ми в стан з N + 1 частинками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a+ψ N = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N +1ψ N +1 . |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
Множники |
|
і |
|
в (1) і (2) вводяться для виконання умови нормування. Зок- |
||||||||||||
N |
N + 1 |
|||||||||||||||
рема, якщо ψ 0 – вектор стану без частинок, тобто вакууму, то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a+ψ 0 = ψ1 , |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||
тобто одночастинковий стан отримується в результаті народження із вакууму одні- єї частинки. Але
a−ψ 0 = 0 , |
(5) |
оскільки неможливо знищити частинку в стані, в якому частинок немає. Цю рів- ність можна вважати визначенням вакуумного стану ψ 0 . Вектор вакуумного стану
має у квантовій теорії стану особливе значення, оскільки з нього за допомогою оператора народження a+ можна отримати вектор любого стану. Дійсно:
ψ1 = a+ψ 0 |
; ψ 2 = |
|
1 |
|
a+ψ1 |
= |
|
|
1 |
|
|
a+ a+ψ 0 ,... , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ψ N |
= |
1 |
|
|
a+ψ N −1 |
= ... = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a+ a+ ...a+ψ 0 = |
|
1 |
|
(a+ )N ψ |
0 . |
(6) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ( N − 1)... 2 1 |
N ! |
|
|
|||||||||||||||||
Легко показати, що порядок дії операторів a+ |
і a− є важливим. Так, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a− a+ψ N = a− ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
N +1ψ N +1 ) = N + 1 N +1ψ N = ( N +1)ψ N , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a+ a−ψ N = a+ ( |
|
ψ N −1 ) = |
|
|
|
ψ N = ( N )ψ N , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
N |
N |
N |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( a− a+ − a+ a− )ψ N =ψ N , |
, a |
|
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
|
− a |
a |
|
|
= 1 або a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
− |
|
+ |
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Якщо врахувати, що частинки можуть знаходитись у різних станах, то при ви- користанні операторів народження і знищення необхідно додатково вказувати, до якого стану частинки ці оператори відносяться. Нехай n позначає сукупність кван- тових чисел, що характеризують стан частинки. Позначимо відповідно опера-
тори народження і знищення частинки у n -му стані. Кількість частинок, що пере- бувають у станах, які відповідають різним n , називають числами заповнення цих станів. Задання вектора стану у формі, фіксуючій заповнення всіх можливих станів
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109 |
системи, називається представленням чисел заповнення. |
|||||||||
Розглянемо вираз a− a+ψ |
. Спочатку дія a+ на ψ |
0 |
приводить до народження час- |
||||||
|
|
|
|
n |
m 0 |
|
m |
|
|
тинки у стані m. Якщо |
m = n , то наступна дія an− |
|
знову приводить до ψ 0 , тобто |
||||||
a− a+ψ |
0 |
= ψ |
0 |
. Якщо ж m ≠ n , то a− a+ψ |
= 0 , тому що не можна знищити частинку в ста- |
||||
n n |
|
|
|
n m 0 |
|
|
|
||
ні n , де її немає. Аналогічні розгляди дають наступні комутаційні співвідношення для операторів народження і знищення:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an− am+ |
− am+ an− |
|
1, n = m |
|
|
|
|
|
||||||
|
= δmn |
= |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, n ≠ m |
|
|
|
|
|
|||
|
a |
− a |
− |
− a− a |
− |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
n |
m |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
+ a+ |
− a+ a+ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
m |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З операторів народження і знищення можна побудувати оператор числа части- |
|||||||||||||||
нок. Він дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ − |
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
N |
= an an . |
|
|
|
|
|||
Дійсно, власні значення цього оператора дорівнюють числу частинок у відпо- |
|||||||||||||||
відному стані: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ − |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nψ N = Nψ N . |
(10) |
||||||
|
Nψ N |
= an anψ N = an ( Nψ N +1 )= N |
|
||||||||||||
Через власні значення оператора числа частинок виражаються всі корпускуля- |
|||||||||||||||
рні величини, що характеризують систему. Так, |
імпульс |
p , енергія Е і заряд Q |
|||||||||||||
представляються у вигляді сум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = ∑ pN (p ), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
E = ∑ε (p ) N (p ), |
|
|
|
|
(11) |
||||||
|
|
|
|
Q = ∑eN (p ) = e∑N (p )= eN. |
|
|
|||||||||
Тут N ( p ) |
– число частинок системи з імпульсом |
p , ε (p ) |
- енергія частинки з ім- |
||||||||||||
пульсом |
p , е – заряд частинки, однаковий для всіх частинок, N – загальне число |
||||||||||||||
частинок у системі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§82. Оператори народження і знищення ферміонів
Розглянутий у попередньому параграфі метод вторинного квантування годить- ся для бозонів, але для ферміонів він має бути зміненим, тому що суперечить прин- ципу Паулі, який забороняє знаходитись в одному квантовому стані двом і більше частинкам. Виявляється, цю проблему можна розв’язати, використовуючи замість комутаційних співвідношень (81.8) так звані антикомутаційні співвідношення:
a |
− a |
+ |
+ a+ a |
− |
= δ |
|
|
n |
m |
m |
n |
|
mn |
an− am− |
+ am− an− |
= 0 |
(1) |
|||
|
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
an am |
+ am an |
= 0 |
|
|||
при збереженні всіх інших формул і визначень. Покажемо, що при таких співвід- ношеннях виконується принцип Паулі. Знайдемо вектор стану з двома ферміонами
в n -му стані: ψ |
|
= |
1 |
|
a+ a+ψ |
. Але в силу умов (1) |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
n n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
= − |
1 |
a+ a+ψ |
|
= −ψ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Але рівність ψ 2 |
= −ψ 2 |
виконується тільки при ψ 2 |
= 0 , тобто, ми отримали неймовір- |
|||||||||||||
110
ний стан, відповідаючий принципу Паулі.
Отже, якщо оператори народження і знищення частинок задовольняють анти- комутаційним співвідношенням (1), то метод вторинного квантування описуватиме частинки з напівцілим спіном – ферміони, що підкоряються принципу Паулі. У ви- падку, коли оператори народження і знищення задовольняють співвідношенням (81.8), частинки мають цілий спін і відносяться до бозонів, тому що для них мож- ливі стани з довільним числом частинок в одному і тому ж стані.
§83. Діаграми Фейнмана
Для якісного аналізу і розрахунків явищ у квантовій електродинаміці Р.Фейн- ман запропонував метод діаграм, які у графічній формі задають алгоритм обчис- лення в теорії збурень ймовірності того чи іншого конкретного процесу. На діагра- мах Фейнмана кожній частинці, яка приймає участь у процесі взаємодії, відповідає певна лінія. Щоб відрізнити частинки одна від одної, різним частинкам відповіда- ють різні лінії:
e± , µ ± ,τ ± (лептони) γ (фотони)
n, p... (баріони
π ± ,... (мезони)
ν (нейтрино)
На діаграмах Фейнмана зовнішні лінії, тобто лінії з одним вільним кінцем, від- повідають реальним початковим і кінцевим частинкам, а внутрішня частина лінії – віртуальним частинкам. Під віртуальними розуміють частинки, час існування яких обмежений співвідношенням невизначеностей Гейзенберга:
τ E , E mc2 τ = |
|
. |
(1) |
|
mc2 |
||||
|
|
|
При побудові діаграми Фейнмана використовується певний напрям вісі часу, наприклад знизу – вгору чи зліва – вправо. Взаємодія частинок зображується на ді- аграмі вузлами. З елементарних графів можна побудувати нескінченне число діаг- рам. Наприклад:
е- |
е- |
γ |
- |
γ |
|
γ |
- |
е+ |
- |
+ |
|
|
е |
|
е |
µ |
µ |
||||
|
|
|
- |
|
|
е- |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
γ |
- γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
е |
- |
е |
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
е |
γ |
γ |
е- |
е+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
1. e−e− →e−e− |
2. γe− →γe− |
3. e− e+ → γγ |
4. γγ → e−e+ |
5. e−e+ → µ − µ + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут діаграма 1 описує пружне електрон-електронне розсіяння, яке має обмін- ний характер за рахунок обміну віртуальним фотоном γ. Діаграма 2 зображує ефект Комптона – розсіяння фотона вільним електроном. Електрон у проміжному стані є віртуальним.
Чудовою властивістю діаграм Фейнмана є те, що їх лінії описують одночасно
111
поширення і частинок (е–), і античастинок (е+). ються як частинки, що рухаються проти вісі розв’язках рівнянь Клейна-Гордона-Фока або
При цьому античастинки зображу- часу. Це враховує той факт, що у Дірака є складові розв’язку типу
i(kr + Et )
ψ (−) e , які відповідають античастинкам. Наприклад, діаграма 3 зображує елек-
трон-позитронну анігіляцію в два фотона, а діаграма 4 дає зворотний процес - на- родження електрон-позитронної пари при зіткненні двох фотонів. Діаграма 5 зо- бражує процес народження пари µ − µ + при зіткненні електрона і позитрона.
При побудуванні діаграм Фейнмана виконується правило: кожна вершина (вузол) повинні містити одну вхідну, одну вихідну і одну фотонну лінію.
Діаграми Фейнмана не лише наочно представляють процеси з участю елеме- нтарних частинок, але й дають алгоритм обчислення їх ймовірностей. Для цього гамільтоніан системи «електрони-позитрони-фотони» (густина енергії) представ- ляють у вигляді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
H |
= H0 + H вз , |
|
|
|
|
де |
|
– гамільтоніан вільних електронів, |
позитронів і фотонів, |
|
– гамільтоніан |
||||
H 0 |
H вз |
||||||||
взаємодії. Вигляд |
|
не має значення у процесах взаємодії, а вигляд |
|
можна |
|||||
H 0 |
H вз |
||||||||
вгадати по найпростішій діаграмі, яка відповідає знищенню початкового електрона, народженню або знищенню кінцевого фотона, народженню кінцевого електрона
(див. мал. 2).
|
В квантовій теорії поля знищення електрона описується операто- |
е- |
ром ψ , який є 4-компонентним спінором і задовольняє рівнянню Ді- |
|
рака (див. §75). Народження і знищення фотона описується його |
- |
γ |
польовим оператором |
|
який відповідає 4-потенціалу ЕМП; |
наро- |
|||||||
е |
Мал.2 |
Ai , |
||||||||||
|
|
дження електрона описується польовим оператором |
+ |
ермітово |
||||||||
|
|
ψ , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у вигляді |
|
|
|
||
спряженим до ψ . Це дозволяє представити |
H вз |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
i |
|
|
(2) |
|
|
|
|
H вз |
= e (ψ |
iψ )A . |
|
|
||||
Тут i – деякі матриці, зв’язані з матрицею Дірака. Якщо ввести позначення |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ɵji |
= 2ec (ψ + iψ ), |
|
|
(3) |
||||
то (2) запишеться у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ɵ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
H вз |
= |
|
ji |
A . |
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2c |
|
|
|
|
|
Якщо тепер ототожнити ɵji з чотиривимірним електронним струмом, то (4) співпаде
з виразом для густини енергії ЕМП.
Відмітимо, що для 4-струму виконується перше правило Кірхгофа, згідно з яким алгебраїчна сума зарядів, що вносяться у будь-яку вершину діаграми Фейн- мана і що виносяться з неї, дорівнює нулю. Це є наслідком закону збереження еле- ктричних зарядів і рівнозначне тому, що фотон є електронейтральною частинкою. Тому говорять, що електромагнітний струм є нейтральним.
Знаючи гамільтоніан взаємодії для системи «електрони-позитрони-фотони», можна записати динамічні рівняння квантової електродинаміки. Але вони виявля- ються настільки складними, що не допускають точного розв’язку. Проте теорія міс-
112
тить природний малий параметр, що задає інтенсивність електромагнітної взаємодії
– сталу тонкої структури α = e2 = 1 . Оскільки цей параметр малий, то в гамільто-
c 137
ніані (1) доданок можна трактувати як мале збурення. Це дозволяє скориста-
H вз
тись теорією збурень і будувати розв’язки динамічних рівнянь, тобто амплітуди ре- альних процесів, у вигляді рядів по зростаючим степеням α . Така процедура при- водить до певних аналітичних виразів, які наглядно і представляються діаграмами Фейнмана. Зокрема, елементарні графіки на мал. 2 виникають у першому порядку теорії збурень. Кожен вузол такої діаграми, згідно (2), містить множник е , або без-
розмірний параметр 
α . Фейнманівська діаграма n -го порядку теорії збурень міс- тять n вузлів, а отже, n множників 
α . Оскільки ймовірність процесу визначається квадратом модуля амплітуди, вона міститиме множник α n .
§84. Поляризація вакууму
Всі діаграми, зображені у §83, відповідають для кожного із зображуваних ними процесів мінімальному числу віртуальних частинок, або найнижчому порядку теорії збурень по електромагнітній взаємодії. У вищих порядках теорії збурень з’являються так звані петльові діаграми, в яких імпульси віртуальних частинок, що утворюють петлі, не фіксовані і по ним проводять інтегрування. Проілюструємо це на прикладі ефекту пружного розсіяння двох електронів (Мал. 1). На малюнку пет-
ля утворена електронно–позитронною парою, наро-
е |
- |
|
|
е |
- |
дженою віртуальним фотоном і потім проанігільова- |
|
|
|
|
ною у віртуальний фотон. Таке утворення віртуальних |
||
|
|
е- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пар при поширенні фотона у вакуумі називається по- |
|
|
|
|
|
|
ляризацією вакууму. |
|
γ |
е+ |
γ |
|
|
Явище поляризації вакууму приводить у кванто- |
е- |
|
|
|
вій електродинаміці до екранування електричного за- |
||
Мал. 1. |
е- |
|
ряду електрона вакуумними позитронами. Електрон, |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
поляризуючи вакуум, ніби притягує до себе віртуальні |
позитрони і відштовхує віртуальні електрони. В результаті, якщо дивитися на елек- трон з великої відстані, його заряд виявляється заекранованим. Якщо ж проникнути глибоко в середину хмарини віртуальних частинок навколо електрона, то екрану- вання зменшиться і заряд зросте. Отже, заряд електрона виявляється функцією від- стані. При врахуванні лише однієї петльової діаграми, як на приведеній діаграмі, ця залежність заряду від відстані має вигляд:
|
e (r ) = e0 |
|
|
α |
|
2 |
|
|||
|
1 + |
|
ln |
|
|
. |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3π |
mrc |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула (1) має місце при r λ = |
h |
(λ |
|
- комптонівська довжина |
||||||
|
С |
|||||||||
C |
|
mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хвилі). Тут e0 – заряд, який ми спостерігаємо здалеку. При r → 0 ви-
раз (1) логарифмічно розходиться.
Оскільки електрон постійно випромінює і поглинає віртуальні фотони, то його енергія, а отже і маса, відрізняються від енергії і маси так званого «голого» електрона: частинки, яка не оточена хма- риною віртуальних частинок. Найбільший вклад у зміну маси елект- рона дають діаграми виду, зображеного на мал. 2. Ця діаграма міс-
(1)
е-
γ
е- Мал.2
113
тить віртуальний фотон, який у одній з вершин “випромінюється”, а в іншій – “пог- линається” електроном. Якщо вважати, що імпульс віртуальних фотонів не пере- вищує певного граничного імпульсу q, то для електромагнітної маси електрона у другому наближенні теорії збурень можна отримати такий вираз:
2 |
|
|
3α |
|
|
|
1 |
|
q2 |
|
|
|
|
m = m0 + δ m( 2) , δ m( |
) |
= |
|
|
m0 |
|
|
+ ln |
|
|
|
. |
(2) |
4π |
|
|
2 |
c |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
|
|
|
|||
Зміна маси електрона, обумовлена його взаємодією із вакуумом, називається |
|||||||||||||
перенормуванням маси електрона. Якщо m0 |
– маса «голого» електрона, тобто гіпо- |
||||||||||||
тетичного електрона, який не взаємодіє з вакуумом, то маса реального електрона що спостерігається, буде m = m0 + δ m , де δ m – електромагнітна маса електрона. Але
з (2) випливає, що m → ∞ при q → ∞ (r → 0) .
Таким чином, у фізиці ми працюємо не з величиною e0 і m0 «голих» части-
нок, а з e і m , які називаються перенормованими значеннями заряду і маси елект- рона і які фактично відіграють роль дійсних фізичних констант заряду маси реаль- них електронів: e = e0 + δ e; m = m0 + δ m . При цьому δ e, δ m розходяться при великих
імпульсах віртуальних частинок. Для того, щоб уникнути у зарядах і масах реаль- них частинок нескінченних значень, обумовлених взаємодією частинок із вакуу- мом, відповідні нескінченні значення включають у заряд і масу «голої» частинки з тим, щоб ці нескінченності скоротилися. В такий спосіб вдається уникнути в кван- товій механіці розбіжностей, а відповідну процедуру називають перенормуванням.
§85. Деякі ефекти квантової електродинаміки
1. Аномальний магнітний момент електрона. Згідно з теорією Дірака части-
нка зі спіном 1 повинна мати магнітний момент, який дорівнює магнетону Бора
2 |
|
|
|
|
|
|
µБ |
= |
e0 |
|
. |
(1) |
|
2m0c |
||||||
|
|
|
|
|||
Цей магнітний момент називається нормальним і відноситься до «голої» частинки, для конкретності, електрона. Але її взаємодія з вакуумом міняє магнітний момент частинки. По перше, тому що заряд і масу «голої» частинки слід замінити на фізич-
|
|
|
не значення цих величин (e0 → e, m0 → m). По друге, необхід- |
||||||||
е- |
|
но врахувати інші квантово-електродинамічні ефекти у взає- |
|||||||||
|
|
|
модії зарядженої частинки із зовнішнім магнітним полем. Ма- |
||||||||
|
- γ |
|
гнітний момент – це величина, обумовлена взаємодією части- |
||||||||
е |
Мал.1 |
нки із зовнішнім |
магнітним полем. Найпростіша |
діаграма |
|||||||
|
Фейнмана, що дає поправку до магнетона Бора µБ у другому |
||||||||||
|
|
||||||||||
порядку теорії збурень, представлена на мал. 1, а значення поправки дорівнює |
|||||||||||
|
|
|
µ |
|
= |
|
α |
µ |
|
. |
(2) |
|
|
|
2 |
|
|
Б |
|||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ця та інші поправки до магнетона Бора були вперше досліджені Ю.Швінгером і називається аномальним магнітним моментом. Аномальний магніт- ний момент електрона обчислений і виміряний з високою точністю, про що можна судити по наступним даним:
|
|
α |
|
α2 |
|
α3 |
|
=1, 00115965223(28) µБ ; експ |
=1, 00115965241(20) Б . (3) |
||
µтеор |
= µБ 1+ |
|
− 0,32848 |
|
|
+1,184175 |
|
|
|
||
2π |
π |
2 |
π |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
114 |
2. Лембівський зсув рівнів. В атомі водню є два стани: 2s1 |
, |
2 p1 |
енергія яких, |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
згідно з квантовою механікою, повинна співпадати (див. §27). В той же час, карти- ни руху електрона у цих станах різні. Так, електрон в S -стані проводить основну частину свого часу біля ядра, а електрон у p -стані – далі від ядра. Тому S -електрон
в середньому знаходиться у більш сильному полі, ніж p -електрон. Це приводить до того, що добавки до енергії за рахунок взаємодії з вакуумом у p - і S -електронів відрізняється, тобто рівні 2s і 2 p зміщені. Це зміщення рівнів називається радіа- ційним зміщенням або Лембівським зсувом, тому що воно було вперше виявлено експериментально у 1947 році У.Лембом і Р.Різерфордом.
Головний внесок у лембівський зсув дають діаграми, зобра-
-жені на мал. 2. На них ромбом позначено протон, в кулонівському
еполі якого рухається електрон. Випускання та поглинання елект-
|
|
роном віртуальних фотонів (діаграма а), |
||
е- |
γ |
мазування” електричного заряду елект- |
||
Мал.2а |
рона, яке веде до зменшення кулонів- |
|||
|
|
ської взаємодії електрона в стані 2s1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Поляризація вакууму на діаграмі б) веде до посилення кулонівського притягання, що, знову ж таки, викликає деяке зниження рівня 2s1 . Внески діаграм а) і б) приво-
2
дять до радіаційного зміщення рівнів водню на величи- ну (в одиницях частоти) ν a = 1000МГц, ν б = −27МГц.
призводять наче до “роз-
е-
γ
е- Мал. 2-б
Виміряна на досліді величина лембівського зсуву узгоджується з теоретич- ним значенням ν = ν a + ν б = 9973МГц , знайденим теоретично Х.Бьоте.
3. Розсіяння світла на світлі
В класичній електродинаміці справедливий принцип суперпозиції, який до- зволяє розглядати електромагнітні хвилі як не взаємодіючі. Це уявлення перехо- дить з класичної теорії у квантову, де воно приймає форму твердження про відсут- ність взаємодії між фотонами. Але в квантовій електродинаміці ситуація змінюєть- ся, якщо врахувати ефекти, обумовлені електрон-позитронним вакуумом. Такий ефект розсіяння світла на світлі ілюструє діаграма Фейнмана, зображена на мал. 3. На ній один з початкових фотонів у т. 1 зникає, народивши віртуальну електрон-
позитронну пару; другий фотон поглинається однією з
γ |
|
|
γ |
|
частинок цієї пари (на діаграмі – позитроном) у т. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
е- |
|
|
|
Потім з’являються кінцеві фотони: один з них |
4 |
|
3 |
|
|
народжується у т. 4 віртуальним електроном, а другий |
|
е- |
е+ |
|
|
виникає в результаті анігіляції пари в т. 3. |
1 |
е+ |
2 |
|
|
Ця діаграма, а також подібні більш складні, по- |
|
|
|
γ |
казує, що завдяки електрон-позитронним парам пови- |
|
|
|
|
|
||
γ |
|
|
|
нна з’явитись взаємодія між фотонами, тобто принцип |
|
Мал. 3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
суперпозиції електромагнітних хвиль повинен пору- |
|
|
|
|
|
|
шуватись. Це повинно проявлятись у таких процесах, як розсіяння світла на світлі. Експериментально спостерігався більш ймовірний процес розсіяння фотонів на зо-