Квантова механіка_Модуль 3

103

тальний момент l може приймати одне з цілих значень 0, 1, 2, 3..., тому повний мо- мент кількості руху нуклона j, відповідно до того, що це фермі-частинка, буде пів- цілим числом.

Якщо фізична система володіє сферичною симетрією, то зберігається не лише повний момент імпульсу системи, але і її парність π. Для нуклона у сферично симе- тричному полі парність стану дорівнює (–1)l, де l - величина орбітального моменту імпульсу, тому замість квантового числа π можна використовувати квантове число l (відмітимо, що в загальному випадку, коли наявна спін-орбітальна взаємодія, збе-

рігається тільки величина, але не напрям моменту l ). Отже, одночастинковий стан нуклона у сферично-симетричному потенціалі можна характеризувати квантовими числами l, j, mj, де j приймає одне з двох значень: j = l ± 1/2. Через сферичну симет- рію, енергія такого стану не залежить від квантового числа mj, тому кожна lj-орбіта (2j + 1)-кратно вироджена по енергії, утворюючи ядерну підоболонку.

Введених квантових чисел недостатньо для повного опису нейтронних і про- тонних одночастинкових станів, оскільки в сферично-симетричній потенціальній ямі може бути декілька або навіть нескінченна кількість (якщо яма має нескінченно високі стінки) станів з однаковими значеннями l, j, mj. Тому вводиться додаткове квантове число, яке називається головним квантовим числом і позначається буквою n. Воно нумерує нуклонні орбіти з однаковими значеннями lj (n = 1, 2, 3...) в поряд- ку збільшення їх енергії. Щоб зрозуміти фізичний сенс введеного числа, розгляне- мо структуру одночастинкової хвильової функції в сферично-симетричному потен- ціалі. З міркувань симетрії випливає, що ця функція має вигляд

де r,θ, ϕ - сферичні координати нуклона і ms = ± 1/2 – спінове магнітне квантове чи- сло нуклона ( ms - проекція спіну на вісь z). Cпін-кутова функція Yljm j (θ ,ϕ, ms ) до-

бре відома. Вона не залежить від виду потенціальної ями і може бути виражена че- рез сферичні функції Ylm (θ ,ϕ ) :

Yljm j (θ ,ϕ, ms ) = ∑Cmml s Ylm (θ ,ϕ )χms m

де χms - спінова функція нуклона і Cmml s - коефіцієнти векторного додавання куто-

вих моментів l і . Основний інтерес складає радіальна функція нуклона Rnlj(r), яка може бути обчислена тільки для конкретного потенціалу. Це, взагалі кажучи, осци- лююча функція, що міняє свій знак. Величина n–1 визначає число змін знаку (число вузлів) радіальній функції. Чим більше осцилює ця функція, тим далі в середньому віддаляється від центру ями нуклон, а оскільки середній ядерний потенціал досить швидко зростає при великих r (порівнянних з радіусом ядра), то з двох станів з од- наковими значеннями lj велику енергію матиме стан з великим числом вузлів у ра- діальній функції. Самим нижнім з таких станів буде стан, що не має радіальних ву- злів, тобто стан з n = 1. Можна також стверджувати, що енергія одночастинкових станів з одним і тим же значенням n повинна мати тенденцію до зростання зі збі- льшенням l. Це виходить вже з того, що зі збільшенням l зростає орбітальна (відце-

нтрова) кінетична енергія нуклона 2l(l +1) / 2mr 2 . Крім того, зі збільшенням орбі-

тального моменту імпульсу зростає ймовірність знаходження частинки далеко від центру потенціальної ями, де потенціал вищий.

104

Отже, в оболонковій моделі одночастинкові стани характеризуються наступ- ними квантовими числами: n, l, j, mj, де n - головне квантове число (воно нумерує одночастинкові орбіти з однаковими lj в порядку зростання їх енергії); l - орбіталь- не квантове число (характеризує орбітальний момент імпульсу нуклона); j – кван- тове число, яке характеризує повний момент імпульсу нуклона, і mj – магнітне ква- нтове число, яке характеризує проекцію останнього моменту на вісь z.

У оболонковій моделі, так само як і в атомній спектроскопії, для позначення станів з різними значеннями моменту l нуклона використовуються букви латинсь- кого алфавіту з наступною відповідністю:

Різні орбіти nlj позначаються буквами і цифрами. Наприклад, 2s1/2 – це стан з n =2, l = 0 і j = 1/2; 3f7/2 це стан з n =3, l = 3 і j = 7/2 і так далі.

§ 71. Пояснення магічних чисел в оболонковій моделі ядра

На кожній одночастинковій орбіті nlj можуть розміститися максимально 2j+1 нуклон одного сорту. Ці орбіти (підоболонки) можуть утворювати ядерні оболонки - компактні групи рівнів, розділені достатньо широкими енергетичними інтервала- ми. Основне завдання моделі оболонок полягає в тому, щоб за допомогою цього ефекту пояснити спостережувані в експерименті магічні числа нуклонів. Ми поч- немо розгляд цієї проблеми з простого варіанту моделі, в якому як оболонковий потенціал використовується незалежний від спіну центрально-симетричний потен- ціал V(r). У цьому випадку одночастинкові рівні енергії вироджені не тільки по квантовому числу mj, але і по двох можливих значеннях моменту j = l ± 1/2, що ві- дповідає заданому l, оскільки потенціал V(r) не залежить від спіну. Повне виро-

дження орбіти nl дорівнює (2j+1) + (2j+1)j=l+1/2 = (2l+1). У потенціалі V(r) збері- гається не лише повний момент імпульсу нуклона, але і його орбітальний момент,

тому для характеристики одночастинкових станів разом з квантовими числами nljmj можна використовувати квантові числа nlmms (що зазвичай і робиться).

Для якісного розуміння ситуації, яка виникає при використанні потенціалу V(r), розглянемо одночастинкові рівні енергії сферичного гармонічного осцилятора з потенціалом

де µ - приведена маса нуклона, ω - осциляторна частота, V0 – глибина потенціальної ями. Цей потенціал, що хоч і не зовсім вірно описує середнє ядерне поле, зручний для якісного аналізу, оскільки дозволяє розв’язати рівняння Шредінгера аналітич- но. Відомі експериментальні оцінки параметрів ω і V0 :

де квантове число N = 0, 1, 2, 3 ... визначає число збуджених осциляторних квантів. Слід звернути увагу на те, що енергія основного стану осцилятора E0 = (3/2)ћω≠0. Це так звана енергія нульових коливань осцилятора. Вона не може дорівнювати 0, оскільки інакше нуклон в основному стані потенціалу (1) мав би фіксоване значен-

106

При зміні форми потенціалу V(r) - наприклад, при використанні прямокутної поте- нційної ями - стани з різними l, що входять в одну і ту ж осциляторну оболонку, розщеплюються по енергії, причому вниз опускаються стани з максимальними l, оскільки перехід від осциляторної ями до прямокутної означає поглиблення ями по краях, де знаходяться частинки з великими значеннями l. З таблиці також видно, що осциляторні оболонки заповнюються при числах нуклонів, рівних 2, 8, 20, 40, 70, 112 і 168. Тільки три перші члени цієї послідовності співпадають із спостережу- ваними в експерименті магічними числами. Це вказує на необхідність модифікації оболонкового потенціалу.

Малий радіус дії нуклон-нуклонних сил говорить про те, що форма потенціалу V(r) повинна бути схожа на форму розподілу густини ядерної речовини ρ(r). Дійс- но, нехай потенціал Vl (| 1-2| характеризує центральні міжнуклонні сили. Тоді сере- дній потенціал, що діє на нуклон, дорівнюватиме

де C = ∫V1 (r)d 3r (при інтегруванні по об'єму ядра густина ρ(r'), враховуючи корот- кодію потенціалу V1 (| r − r ′ |, була замінена на ρ(r). Розподіл заряду в ядрі, вивче-

ний у дослідах по розсіянню електронів, має форму близьку до розподілу Фермі. Використовуючи це, можна апроксимувати вираз (4) потенціалом Вудса-Саксона

VS(r) (див. рис.1):

де V0 - глибина потенціалу, R = R0A1/3 - радіус ядра і a - параметр, що характеризує дифузність (розмиття) краю потенціалу.

Реалістичний потенціал (4) є чимось середнім між осциляторним потенціалом і потенціалом прямокутної ями. Перехід до нього знімає виродження, властиве гар- монічному осцилятору. Рис. 1 наочно показує, чому енергетичні рівні з великими l опускаються по відношенню до рівнів з малими l. Цей ефект схематично ілюстру- ється на рис. 2. Рис. 2, разом з тим, показує, що реалістичний потенціал V(r), також як і осциляторний потенціал, не в змозі пояснити спостережувані в експерименті магічні числа нуклонів: 2, 8, 20, 50, 82, 126.

Рис. 1. Осциляторний потенціал, прямокутна потенціальна яма і потенціал Вудса-Саксона. Видно, що в легких ядрах реалістич- ний потенціал краще відтворюється осциляторним, а у важких - прямокутною потенціальною ямою.

Вирішення проблеми було знайдене М. Гепперт-Майєр і Дж. Йєнсеном, які додали до центрально-симетричного потенціалу V(r) спін-орбітальну взаємодію Vls. Залежність потенціалу від спіну з'являється при врахуванні релятивістських членів,

107

що є функцією швидкості руху нуклона. Рухомий в ядерному середовищі нуклон характеризується двома векторними величинами - імпульсом p і спіном s . Комбі-

нуючи їх, не можна утворити залежний від спіну справжній скаляр, який залишався