Квантова механіка_Модуль 3
.pdf
|
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ 2 |
(x)= Ce βx + De −βx , β = |
|
2m0 (V0 − E ) |
(2) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
- в області бар'єра. |
|
|
|
|
|
|
|
Умови зшивання функції і її похідної на границях − b,0, a − b |
запишемо у |
||||||
вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ 2 (0)=ψ1 (0),ψ 2′ (0)=ψ1′ (0) |
(3) |
|||||
а також |
|
|
|
|
|
|
|
ψ 2 (−b)=ψ1 (−b)= e−iλ aψ1 (a − b) |
(4) |
||||||
ψ 2 '(−b)=ψ1 '(−b)= e−iλ aψ1 '(a − b) |
|||||||
|
|||||||
де λ - дійсна величина. |
|
|
|
|
|
|
|
В останніх співвідношеннях ми скористалися загальними властивостями хвильових функцій електрона в періодичному полі, що підкоряються зако- ну трансляції
ψ (x + a)= eikaψ (x)
Підставляючи розв’язки рівняння Шредінгера (1) і (2) в умови зшивання
(3) і (4), одержуємо рівняння для визначення невідомих сталих А, В, С, D,
λ :
C + D = A + B
C − D = i αβ (A − B )
Ce−β b + Deβ b = e−iλ a Aeiα ( |
a −b |
) |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ce |
− βb − De |
βb = |
iα |
e −iλα [Ae iα (a −b |
||
|
||||||
|
|
|
β |
|
|
|
+ Be−ia (a −b)
) − Be −iα (a −b ) ]
Комбінуючи ці рівності, неважко одержати
(A + B ) ch β b − e−iλ a cosα (a − b) = i (A − B ) α sh β b + e−iλ a sinα (a − b) , |
|||||||
|
|
|
|
β |
|
|
|
(A + B ) sh β b − |
α e−iλ a sinα (a − b) = i (A − B ) α ch β b − |
α e−iλ a cosα (a − b) |
|||||
|
β |
|
β |
β |
|
||
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
Ці рівняння сумісні, якщо визначник дорівнює нулю, тобто якщо |
|
||||||
cos λa = |
β 2 − a2 |
sh β b sinα (a − b)+ ch β b cosα (a − b) |
(6) |
||||
2αβ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Звідси графічним методом можна визначити енергетичний спектр, маючи на увазі, що права частина рівності по модулю не повинна перевищувати значення, рівне одиниці. З метою спрощення задачі й більшої наочності її розв’язку перейдемо у виразі для потенціальної функції до ланцюжка дель- та-функцій, приймаючи, що b → 0,V0 → ∞ . Але при цьому граничному пере-
ході величина
m0V0 |
ab = γ |
(7) |
|
2 |
|||
|
|
пропорційна площі усередині бар'єра, залишається скінченою. Тоді, з огляду на те, що в цьому наближенні sh β b bβ , ch β b 1, замість (6) одер-
94
жуємо
cos λa = γ sinα a + cosα a
α a
Оскільки λ - дійсна величина, це рівняння задовольняється у випадку, якщо права йо- го частина змінюється в межах від -1 до +1 (див. малюнок).
Таким чином, і в цьому прикладі енерге- тичний спектр виявляє зонну структуру – смуги дозволених і заборонених значень енергії, що чергуються.
У розглянутих двох окремих випадках руху електрона в періодичному полі розкривається загальна характерна риса спектра енергії: чергування зон (або смуг) дозволених і заборонених значень. У загальному випадку, незалежно від конкретної моделі періодичного поля, цей висновок залиша- ється справедливим. Однак структура зон енергії може бути більш склад- ною й, зокрема, зони дозволених значень іноді можуть перекриватися між собою.
Варто помітити, що розрахунок зон для конкретних кристалів є склад- ним і трудомістким завданням.
Ми розглянули деякі загальні питання додатків квантової механіки до руху електронів у кристалі. Незважаючи на ряд ідеалізацій, допущених на- ми при розв’язанні цього завдання, висновки, що особливо стосуються структури енергетичного спектра, мають у фізиці твердого тіла важливе значення. Одним з найбільш істотних досягнень теорії з'явилося пояснення ряду закономірностей при вивченні електропровідності твердих тіл.
95
Розділ VІІ. АТОМНЕ ЯДРО
§ 66. Ядерні сили. Ізотопічний спін
Взаємодія нуклонів в ядрі складає ще далеко не розв'язану проблему. Проте принципи квантової механіки виявляються придатними як для вивчення руху нук- лонів в ядрі, так і для вивчення взаємодії нуклонів з ядром. На цьому шляху вже досягнуті значні успіхи і квантова механіка виявилася справжнім путівником фізи- ка в складній картині ядерних взаємодій.
До цих пір нікому ще не вдалося написати вирази для потенціала протонів і нейтронів (або, як прийнято їх називати, нуклонів) у атомному ядрі. Мабуть, це дуже складна функція положень, швидкостей і спінів нуклонів. Можливо, вона вза- галі не може бути представлена у вигляді суми попарних взаємодій окремих нук- лонів. Але не встановлений «потенціал» і для пари нуклонів. Взагалі просте уяв- лення про сили можна застосовувати тут лише на великих відстанях нуклонів один від одного. Проте можуть бути приведені висновки про характер ядерних взаємо- дій, які дозволяють розібратися в складному комплексі дослідних фактів.
Взаємодія двох нуклонів залежить від відстані між ними r12 , від їх відносної швидкості υ12 і від їх спінів s1 і s2 , а також, як показує дослід, істотно залежить від
типу взаємодіючої пари, тобто чи є нуклони цієї пари протонами, нейтронами або один з них є протон, а інший нейтрон. Далі, в процесі взаємодії може відбуватися, як то кажуть, «перезарядка», і протон може перетворитися на нейтрон і навпаки.
Виявляється, що якщо ми розглядатимемо протон і нейтрон як два стани однієї і тієї ж частинки - нуклона, то основні особливості взаємодії нуклонів можуть бути виражені у вигляді дуже простих закономірностей на мові так званого зарядового або, як частіше говорять, ізотопічного спіну.
Оскільки у нас є тільки два зарядові стани нуклонів, то природно ввести нову динамічну змінну t3, яка приймає тільки два значення, так що хвильову функцію нуклона (опускаючи поки що залежність від звичайного спину s) можна записати у вигляді матриці з однією колонкою
Ψ( x,t) = ψ1( x)
ψ 2 (x)
|
− "протонний" стан, |
|
(1) |
|
− "нейтронний" стан |
|
так само, як ми це робили в теорії звичайного спіну (§ 23). Відповідно до оптичної термінології, за якою стани, що відрізняються тільки проекцією спіну, називаються мультиплетом, протонний і нейтронний стани називають ізотопічним (зарядовим) дублетом.
Всі оператори, що змінюють зарядові стани нуклонів, так само як і у випадку звичайного спіну, можна виразити за допомогою квадратних матриць 2×2, подіб- них матрицям Паулі σх , σу, σz (див. § 23). Ми позначимо ці матриці, що діють тепер на зарядовий індекс 1, 2, через
τ |
|
0 |
1 |
|
0 |
− i |
τ |
|
= |
1 |
0 |
(2) |
||
1 |
= |
, τ |
2 |
= |
, |
3 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
0 |
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
Будь-який оператор, що діє на пару функцій (ψ1, ψ2), може бути виражений че- |
||||||||||||||
рез лінійну комбінацію матриць (τ1, τ2, |
|
τ3). Введемо вектор ізотопічного спіну t , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
аналогічний вектору звичайного спіну s : |
t |
|
= |
|
|
τ , |
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2
96
де τ є вектор з трьома компонентами: τ1, τ2, τ3. Ясно, що цей «вектор» нічого спіль- ного не має зі звичайним простором: він визначений в абстрактному, зарядовому просторі, або, інакше, в просторі ізотопічного спіну. «Повороти» в цьому просторі означають лінійні перетворення над ψ1 і ψ2 такі, що в якості базисних функцій ви- бираються різні лінійні комбінації протонного і нейтронного станів нуклонів. На-
приклад, |
|
замість |
функцій |
|
ψ1 |
|
і ψ2 можна взяти |
нові базисні функції: |
||||||||||
ϕ = |
1 |
(ψ |
|
+ψ |
|
) і ϕ |
|
= |
1 |
(ψ |
|
−ψ |
|
) - симетричну і антисиметричну. Перехід від |
||||
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(ψ1, ψ2) до (ϕ1, ϕ2) є поворотом в ізотопічному просторі. |
|
|||||||||||||||||
|
Введення оператора ізотопічного спіну нуклона t |
дозволяє нам застосувати |
||||||||||||||||
теорію звичайного спіну до теорії спіну ізотопічного. Зокрема, ясно, що оператори t 2 і t3 одночасно приводяться до діагонального вигляду і мають власні значення
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
= |
|
|
|
+ 1 |
= |
|
, |
t3 |
= ± |
|
|
, |
(4) |
|
|
2 |
|
4 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 є інваріантом при по- |
|||
подібно до власних значень s 2 і sz (§ 23). Відзначимо, що t |
|
|||||||||||||||
воротах в ізотопічному просторі. Очевидно також, що правила додавання векторів ізотопічного спіну в системі нуклонів будуть ті ж самі, що і для звичайного спіну.
Зокрема, для вектора повного ізотопічного спіну системи з N нуклонів I : |
|
||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∑tk |
|
|
|
|
|
(5) |
||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k - номер нуклона), будуть справедливі формули, аналогічні (40.10) і (40.11): |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
I 2 = T (T + 1), T = 0,1,2,3,..., або T = |
, |
, |
,..., |
(6) |
|||||||
|
|
|
|||||||||
I3 = T3 , | T3 |≤ T . |
2 |
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||
Зрозуміло також, що скалярні добутки ізотопічних спінів виду |
|
||||||||||
(t ′ t ′′) = t′t′′ + t′ t′′ |
+ t′ t′′ , |
|
|
|
|
|
(8) |
||||
1 1 |
2 2 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(тут t′ , s=l, 2, 3, — суть компоненти вектора t′ , а t′′ |
— те ж саме для вектора дру- |
||||||||||
s |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
гого нуклона t ′′ ) будуть так само, як і |
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 2 = |
(t |
t ) , інваріантами в ізотопічному про- |
|||||||||
сторі.
Приведемо ще формулу, що виражає заряд Q системи N нуклонів через ізото-
пічний спін: |
Q = e |
N |
+ T3 |
. |
(9) |
||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зокрема, для одного нуклона |
Q = e |
1 |
|
+ τ 3 |
. |
|
(9') |
||
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Істотним фізичним фактом є та обставина, що взаємодія двох нуклонів виявля- ється ізотопічно інваріантною (тобто не залежною від можливих обертань в ізото- пічному просторі) і що при взаємодії повний ізотопічний спін зберігаються). Ці два фундаментальні факти і виправдовують введення нової динамічної змінної – ізото- пічного спіну нуклона.
Далі взаємодія нуклонів, звичайно, повинна бути інваріантною відносно пово- ротів, віддзеркалень і інверсій координат у звичайному просторі. Якщо обмежитися малими швидкостями нуклонів і враховувати тільки залежність від їх відносної ві- дстані r , їх звичайних s1, s2 і ізотопічних спінів t1, t2 , то можна утворити наступні
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97 |
інваріанти: r, |
(s1 s2 ) , |
(t1 t2 ) , |
|
(s1 r ) , |
(s2 r ) , |
які, у свою чергу, можуть бути вира- |
||||||||||||||||
жені через повний спін S = s |
|
+ s |
|
і повний ізотопічний спин |
I = t |
+ t |
2 |
. Тому за- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
мість названих інваріантів зручно ввести нові: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
(s |
s |
|
|
|
|
(s r )(s |
r ) → S |
|
(S |
r ) |
|
2 . |
|
|||||||||
) → S 2 , |
(t |
t |
|
) |
→ I |
2 , |
= 6 |
|
− 2S |
(10) |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
12 |
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Останній інваріант побудований так, щоб його середнє значення по кутам дорівню- вало нулю. Це загальноприйнятий вибір. Очевидно, що взаємодія, яка визначається цим членом, буде нецентральною. Її називають тензорною взаємодією.
Якщо враховувати залежність від швидкостей, то можна утворити багато і ін- ших інваріантів. Проте досліди показують, що доки швидкості малі порівняно зі швидкістю світла, серед можливих інваріантів важливим є лише інваріант спін-
орбітальної взаємодії (L S ) ; тут L означає вектор сумарного орбітального момен- ту нуклонів. Замість нього можна ввести вектор повного моменту кількості руху нуклонів J = L + S і відповідно інваріант (J S ) .
Враховуючи всі ці інваріанти, ми можемо записати енергію взаємодії двох ну- клонів у вигляді
|
|
|
|
|
|
2 ) S |
|
|
|
|
|
|
|
|
U (1,2) = A(r, S |
2 |
, I |
2 ) + B(r, S |
2 |
, I |
(r |
, S ) + C(r, S |
2 |
, I |
2 ) (J |
S ) . |
(11) |
||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Стосовно функцій А, В і С відомо дуже мало. З погляду мезонної теорії ядер- них сил ці функції повинні мати характерну залежність від відстані виду e− r / a / r
для r > a , де a = = 1,4 10−15 м - комптонівська довжина хвилі π-мезона. Тому mc
приведений вище вид можливої взаємодії нуклонів (11) корисніший для системати- ки можливих станів нуклонів, ніж для кількісних обчислень рівнів або перерізу ро- зсіяння.
§ 67. Систематика станів системи нуклонів
Гамільтоніан системи нуклонів інваріантний не тільки відносно перетворень обертання, віддзеркалення і інверсії, але і відносно перестановки нуклонів. Звідси, абсолютно таким же чином, як було описано в §§ 24, 25, випливає, що хвильова функція повинна бути або симетричною, або антисиметричною при перестановці будь-якої пари нуклонів. Але оскільки нуклони мають спін 1/2, то для них повинна бути вибрана друга можливість – антисиметричні функції, що приводять до прин- ципу Паулі і до статистики Фермі.
Розглянемо тепер стани двох нуклонів. Звернемося сочатку до ізотопічного спіну. Очевидно, що можливі всього чотири стани: Т = 0 і Т=1, Т3 = 0, ±1. У першо- му випадку стан антисиметричний в ізотопічних змінних, у другому – симетричний (так само, як для звичайного спіну). В стані з Т=1, оскільки гамільтоніан не зале- жить від Т3, енергія трьох станів з Т3 = 0, ±1 буде однакова.
Проте ця однаковість має місце лише до того часу, допоки не враховуються порівняно слабкі електромагнітні взаємодії. Внаслідок відмінностей зарядів і маг- нітних моментів у протона і нейтрона співпадаючі рівні з Т3=0, ±1, взагалі кажучи, розщепляться. Тому ці три стани називають зарядовим триплетом, а сам стан Т=1
– триплетним. Стан Т = 0 буде зарядовим синглетом.
Подальша відмінність станів визначається сумарним спіном S. А саме, можли-
98
ві знову-таки чотири стани: S=l, Sz = 0, ± 1 – триплетний стан і S = 0 – синглетний. Симетрія функції в просторових координатах визначається симетрією по зарядовим і спіновим змінним. У таблиці 1 приведені всі можливі симетрії функції для двох нуклонів.
Таблиця 1. Симетрія функцій системи двох нуклонів
|
Т=0 |
|
Т=1 |
||
|
а |
|
s |
||
S=0 |
|
S=1 |
S=0 |
|
S=1 |
а |
|
s |
а |
|
s |
L непарне |
|
L парне |
L парне |
|
L непарне |
а |
|
s |
s |
|
а |
У цій таблиці знак а означає антисиметричну, а знак s – симетричну функцію. Але у випадку двох частинок перестановка еквівалентна операції інверсії, тобто заміні відносних координат х на –х. Парність стану в цьому випадку співпадає з па- рністю орбітального числа L.
Якщо для систематики нуклонних станів зберегти позначення S, P, D, F для L = 0, 1, 2, 3 ..., відповідно, а також прийняте позначення повного моменту J і муль- типлетності, то повне позначення стану матиме вигляд
(2T +1)(2S +1) L±J .
Тут перший індекс означає зарядову мультиплетність (2Т+ 1), другий (2S+1) – спі- нову, індекс (±) парність терма, індекс J – його повний момент, L = S, P, D, F ... – означає орбітальний момент. Для системи з двох нуклонів знак ± опускають, оскі- льки він визначається парністю L; крім того, часто опускають і індекс ізотопічного спіну Т. Для двох нуклонів отримуємо систему можливих станів для J = 0, 1, 2 ..., приведену у таблиці 2.
Таблиця 2. Стани двох нуклонів
J |
|
Т=0 |
|
Т=1 |
||
S=0 |
|
S=1 |
S=0 |
|
S=1 |
|
|
|
|
||||
0 |
– |
|
– |
1S0 |
|
3Р0 |
1 |
1Р1 |
|
3S1, 3D1 |
– |
|
3Р1 |
2 |
– |
|
3D2 |
– |
|
3Р2, 3F2 |
§ 68. Теорія дейтрона
Дейтрон є ізотопом водню, ядро якого складається з протона і нейтрона. Відо- мо, що його спін дорівнює S=l. Далі, воно має тільки один зарядовий стан, тому Т = 0. З таблиці 2 попереднього параграфу видно, що можливий основний стан дейтро- нів повинен бути Т = 0, 3S1 або може бути 3D1.
Проте відомо, що в основному стані хвильова функція повинна мати най- менше число вузлів. Тому ми повинні приписати дейтрону основний терм 3S1. Че- рез наявність тензорних сил орбітальний момент в дейтроні не зберігається, тому можлива і домішка стану 3D1, яка насправді має місце і приводить до існування квадрупольного електричного моменту у дейтрона. З величини цього моменту мо- жна судити про те, що домішка стану 3D1 невелика (близько 5%). Таким чином, до- слід показує, що стан Т = 0, S=1 є нижнім. Інших зв'язаних станів у системі з двох нуклонів невідомо.
З огляду на те, що функції А(r), В(r) і C(r) в енергії взаємодії нуклонів (66.11)
99
нам невідомі, ми визначимо хвильову функцію дейтрона в основному стані обхід- ним шляхом, скориставшись тим дослідним фактом, що енергія зв'язку нуклонів в дейтроні Е0 =–2,1·10-6 еВ мала порівняно з власною енергією π-мезонів mπc2=140·106 еВ.
Дійсно, при заданих T, S і I (або L) енергія взаємодії нуклонів U(r) (66.11) стає просто деякою функцією їх відносної відстані r (тензорною і спін-орбітальною вза- ємодіями ми нехтуватимемо, оскільки в дейтроні вони дають лише малі поправки – домішок 3D1 стану). Тоді рівняння для радіальної функції дейтрона ψ(r)=u(r)/r ма- тиме вигляд
|
|
− |
2 |
|
d 2u |
+ U (r)u = E u , |
(1) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2µ dr 2 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
де µ = |
m p mn |
- приведена маса протона і нейтрона, |
m p - маса протона, mn - маса |
|||||
m p + mn |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
нейтрона. Оскільки вони мало відрізняються, то µ=mp/2. Тоді рівняння (1) перепи- шеться у вигляді
|
|
|
|
|
d 2u |
− κ 2u = |
2µ |
Uu . |
(2) |
|
|
|
|
|
dr 2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут κ 2 = − |
2µ |
E , |
1 |
= 4,31 10−15 м. Ця довжина визначає асимптотичну поведінку |
|||||
|
|
||||||||
|
2 |
0 |
κ |
|
|
|
|
|
|
функції дейтрона ψ(r). Дійсно, при r→∞ (U→0) |
з (2) отримаємо u ≈ e±κr , тобто |
||||||
ψ (r) = C |
e−κr |
. З іншого боку, U(r) спадає як |
e−r / a |
|
, де a = |
h |
= 1,4 10−15 м, тобто |
r |
r |
|
mπ c |
||||
|
|
|
|
|
|||
набагато швидше за ψ(r). Тому ми можемо вважати, що ядерні сили діють лише на дуже малій відстані, і взагалі нехтувати ними при r>а. Це ілюструється малюнком, на якому зображена крива потенційної енергії U(r) для системи протон-нейтрон.
Мал. Потенціальна енергія протон-нейтронної взаємодії в дей- троні. Рівень Е0 лежить на глибині 2 МеВ. Глибина ями скла- дає близько 25 МеВ; радіус а = 1,4·10–15 м.
Нормуючи тепер ψ(r) на одиницю:
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4π ∫ψ 2 (r)r 2dr = 1, |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
знайдемо константу C = |
|
|
κ |
|
. Таким чином, ми отримуємо |
|
||||||
|
|
2π |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−κr |
|
|
|
|
|
|
|
ψ (r) = |
κ |
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4) |
||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
Ця функція може бути використана для розрахунку фоторозщеплення дейтро- на, для розрахунку деяких ядерних реакцій з дейтроном, в яких важливі великі прицільні параметри і тому подібне Відмітимо, що по самому змісту виведення цієї функції вона не може застосовуватись для відстаней r, менших а = 1,4·10–15 м.
100
§69. Краплинна модель ядра
Для пояснення властивостей ядер і процесів, що відбуваються з їх участю, а також для прогнозування можливих нових ефектів, потрібна побудова такої теорії ядра, яка б коректно і повно описувала всі ядерні явища. Це досить складне завдан- ня, оскільки специфіка ядра не дозволяє простими шляхами отримувати інформа- цію про внутрішні процеси і будову. Крім того, ядро є системою, що складається з великого числа частинок, а вже для 3 – 4 взаємодіючих тіл задача про їх рух розв'я- зується лише за допомогою високопродуктивної обчислювальної техніки. Тому по- будова якісних моделей – це той обхідний шлях, що дозволяє порівняно простими математичними законами описати сукупність властивостей ядер.
Одна из таких моделей – краплинна модель – була запропонована Я. І. Френке- лем в 1939 р. і потім розвинута Н. Бором. Френкель звернув увагу на те, що нукло- ни в ядрі, так само як молекули в краплині рідини, взаємодіють з обмеженим чис- лом оточуючих частинок. Украй мала стисливість ядерної речовини доповнила ана- логію з рідиною. Враховуючи, що в ядрі міститься деяка кількість позитивно заря- джених протонів, то в рамках даної моделі слід вважати ядро наелектризованою краплею.
Краплинна модель дозволяє вивести напівемпіричну формулу для енергії зв'я- зку в ядрі. Зрозуміло, що у системі нуклонів переважаючим має бути стан з макси- мальним значенням енергії зв'язку. При цьому існує ряд сил, наявність яких знижує значення повної енергії.
Для визначення залежності питомої енергії зв'язку ядра від числа нуклонів не- обхідно ввести енергію U, яка характеризує кожен нуклон-нуклонний зв'язок. На кожну пару нуклонів припадає половина цієї енергії. З геометричних міркувань ви- ходить, що кожен нуклон оточений 12 нуклонами ближнього порядку. Тоді об'ємна енергія ядра дорівнює:
Еоб'єм = 6AU , |
(1) |
де A число нуклонів в ядрі; покладемо далі добуток 6U = а.
Насправді в кожному ядрі частина нуклонів знаходиться на поверхні ядра і має менше, ніж 12 «сусідів». Тому необхідно враховувати поверхневу енергію. Вона грає помітну роль в легких ядрах, в яких велика частина нуклонів знаходиться на поверхні. Враховуючи, що радіус ядра пропорційний кубічному кореню з загально- го числа нуклонів А, тобто R=R0A1/3, де R0 ≈ 1.3·10–15м – емпірично визначений па- раметр, отримаємо, що площа поверхні ядра дорівнює:
S = 4πR2 = 4πR2 A2 3 . |
(2) |
||
|
|
0 |
|
Поверхнева енергія від'ємна і пропорційна площі поверхні ядра, отже: |
|
||
Е |
поверхн |
= −a A2 3 . |
(3) |
|
1 |
|
|
Існування поверхневої енергії визначає прагнення ядра прийняти сферичну форму, яка забезпечує мінімальну площу поверхні і, отже, мінімальне значення по- верхневої енергії при заданому об'ємі (кількості нуклонів). Т.ч., сферична форма відповідає мінімальному зниженню повної енергії зв'язку ядра. Аналогічним чином сили поверхневого натягнення примушують краплину рідини приймати вид сфери, якщо на неї не діють зовнішні сили.
Електростатичні сили відштовхування між кожною парою протонів в ядрі ви- значають ще одну поправку до повної енергії зв'язку ядра. Вона еквівалентна робо- ті, яку потрібно зробити, щоб звести разом з нескінченності Z протонів в об'єм, рів-
101
ний об'єму ядра. У ядрі, що містить Z протонів, ця робота пропорційна числу про- тонних пар Z (Z −1) / 2 і обернено пропорційна радіусу ядра R=R0A1/3:
Е |
= −a |
Z(Z −1) |
. |
(4) |
|
1 3 |
|||||
кулон |
2 |
|
|
||
|
|
A |
|
||
Кулонівська енергія також від'ємна, оскільки обумовлена відштовхуванням нукло- нів, тобто направлена на руйнування зв'язків в ядрі.
Повна енергія зв'язку ядра Eзв є сумою об'ємної, поверхневої і кулонівської енергій:
Е |
зв |
= Е |
+ Е |
+ Е |
= аА− a A2 3 |
− а Z (Z −1) / А1 3 |
. (5) |
|
об'єм |
поверхн |
кул |
1 |
2 |
|
Звідки питома енергія зв'язку ядра, тобто енергія, що припадає на один нуклон, до- рівнює:
Е |
/ А= а − a / A1 3 |
− а Z(Z −1) / А4 3 . |
(6) |
зв |
1 |
2 |
|
На малюнку показані експериментальні залежності різних видів енергій від числа нуклонів в ядрі.
Порівнюючи відповідні криві з теоретичними залежностями, отриманими в рамках краплинної моделі ядра, можна сказати, що дана теорія цілком може бути використана в теоретичних розрахунках деяких параметрів ядра і для пояснення ряду ефектів.
Мал. Залежність питомої енергії зв'язку атомного ядра від числа нуклонів
§70. Оболонкова модель ядра
Оболонкова модель була розвинена у 1949 р. лауреатами Нобелівської премії Марією Гепперт-Майєр і Йоханом Х. Д. Йєнсеном. Згідно цієї моделі, нуклони в ядрі взаємодіють не один з одним, а з усередненим центрально-симетричним сило- вим полем. Аналогічна ситуація реалізується в багатоелектронному атомі, де рух кожного електрона відбувається в кулонівському полі ядра і усередненому полі решти електронів. В рамках оболонкової моделі нуклони знаходяться на деяких енергетичних рівнях, згрупованих в оболонки. Нуклони, так само як і електрони, є фермі-частинками, тобто на кожному рівні можуть перебувати два нуклони з анти- паралельними спінами.
Із збільшенням числа нуклонів в ядрі відбувається поступове заповнення обо- лонок, при цьому деякі властивості ядер періодично повторюються залежно від Z
102
(число протонів) і N (число нейтронів), так само як періодично міняються власти- вості атомів залежно від Z. Нагадаємо, що в атомах з 2, 10, 18, 36, 54 і 86 електро- нами всі оболонки повністю укомплектовані (§ 34). Такі атоми є інертними газами, причому електронні конфігурації досить стійкі, що пояснює їх хімічну інертність.
У ядрах ситуація така: ядра з числом нейтронів або протонів, рівним 2, 8, 20, 28, 50, 82 і 126, мають велику поширеність. Ці числа називаються магічними. Логі- чно припустити, що ядра з магічним числом протонів або нейтронів стабільніші – такі ядра також називають магічними. Ядра, в яких число і протонів, і нейтронів є магічним, називаються двічі магічними. Вони особливо стійкі. Існує всього п'ять
подібних ядер: |
4 |
Не (Z = 2, N = 2), |
16О (Z = 8, N = 8), |
40Са |
(Z = 20, N = 20), |
48Са |
|
2 |
|
8 |
20 |
|
20 |
(Z = 20, N = 28), |
208 Pb (Z = 82, N = 126). Зокрема, ядро гелію є настільки стабіль- |
|||||
|
|
82 |
|
|
|
|
ним, що здатне як єдине ціле випускатися важкими ядрами при радіоактивному ро- зпаді. Ядро гелію називається α-частинкою.
Оскільки заповнення енергетичних станів ядра відбувається за принципом Па- улі, то логічним буде припустити, що ядра, які містять парне число протонів і ней- тронів («парно-парні» ядра), тобто, які мають заповнені рівні обох типів, будуть стабільнішими, ніж «непарно-непарні» ядра, рівні протонного і нейтронного типів яких є заповненими наполовину. Це підтверджується фактом існування 160 стабі- льних «парно-непарних» нуклідів, тоді як серед «непарно-непарних» нуклідів ста-
більні тільки чотири: 12 Н , 36 Li , 105 B і 147 N .
Квантово-механічна теорія ядерних оболонок виходить з припущення, що нук- лони рухаються незалежно один від одного в сферично-симетричній потенціальній ямі. Власні стани нуклона в такій ямі знаходять, розв’язуючи відповідне рівняння Шредінгера. Ці стани характеризуються квантовими числами, які визначають фізи- чні величини, що зберігаються при русі у сферично-симетричному полі. У основ- ному стані ядра нуклони заповнюють самі нижчі одночастинкові стани, причому, відповідно до принципу Паулі, в кожному одночастинковому нейтронному (про- тонному) стані може знаходитися тільки один нейтрон (протон).
Розглянемо проблему класифікації одночастинкових станів нуклона у сферич- но-симетричному потенціалі найзагальнішого виду, не спираючись на його явний вигляд і допускаючи, що він може включати як нерелятивістські доданки, незалеж- ні від спіну, так і релятивістські члени (такі, як спін-орбітальна взаємодія). Які фі- зичні величини зберігаються в сферично-симетричному полі? До таких величин належить повний момент імпульсу нуклона, рівний сумі орбітального і спінового
моментів імпульсу: j = M + s . Коли в квантовій механіці говорять, що у деякому стані зберігається момент кількості руху системи, то під цим розуміють, що вели- чина моменту імпульсу | j | і його проекція jz на деякий виділений напрямок z ма- ють певні значення. Для опису цих величин використовуються квантові числа j і mj:
|
2 = |
2 j( j +1), j |
|
= m |
|
, |
(1) |
j |
z |
j |
|||||
|
|
|
|
|
|
де квантове число j може приймати цілі (для Бозе-систем) або півцілі (для Фермі- систем) значення, а квантове число mj при фіксованому j пробігає 2j + 1 значення:
mj = – j, – j+ 1,..., j – 1, j. |
(2) |
Надалі ми позначатимемо величини моментів j , M , s квантовими числами j, l, s, а їх проекції на вісь z квантовими числами mj, m, ms. Спін нуклона s = 1/2, його орбі-