Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уманский государственный педагогический университет им. П. Тычины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантова механіка_Модуль 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

658.8 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Ee ( R )

§60. Енергетичний спектр ядерної підсистеми молекул

Перейдемо до другого етапу розв’язку задачі про молекули методом адіабати- чного наближення, який полягає у знаходженні руху ядер при заданому електрон- ному стані, що характеризується енергією , яка відіграє роль потенціальної

енергії взаємодії ядер, що враховує наявність електронної хмарини навколо ядер. Будемо розглядати взаємодію ядер двохатомної молекули. Припустимо, що моле- кула перебуває в основному електронному стані. Рух ядер описується рівнянням Шредінгера, яке має вигляд:

−

2R1

−

2R2

+ Ee ( R ) ψ ( R1 , R2 ) = Eψ

( R1 , R2 ) ,

(1)

2M1

2M 2

Оскільки Ee ( R ) залежить тільки від відстані

між ядрами, то силове

R =

− R2

поле, в якому рухаються ядра, є центральним.

Рух системи з двох частинок може бути зведений до поступального руху їх центра мас і відносного руху навколо центра мас. Відносний рух, який нас тільки і цікавить, наближено може бути розкладено на обертальний і коливальний рух ядер. Як було показано в курсі класичної механіки, задача двох частинок зводиться до одночастинкової, причому маса приймається рівною приведеній масі системи:

µ = M1 M 2 , M1 + M 2

тому рівняння Шредінгера зводиться до рівняння Шредінгера для однієї частинки, яка рухається у потенціальному полі Ee ( R ) :

	2
−		R	+ Ee ( R ) Φ ( R ) = EΦ ( R ) ,	(2)

2µ

де R = R2 − R1 , а Е - повна енергія молекули з урахуванням руху ядер.

Рівняння (2) формально співпадає з рівнянням Шредінгера для частинки в центральному полі. Його розв’язок можна представити у вигляді:

	f ( R )
Φ ( R ) =		Ylm (θ ,ϕ ) ,	(3)

де Ylm (θ ,ϕ ) - сферична функція індексів l	R		f (R) знаходиться з
	і m. Множник

розв’язку радіального хвильового рівняння:

2 d 2

2l (l +1)

−

+ Ee ( R ) +

− E f ( R ) = 0 .

(4)

2µ dR

2µ R

Нехай R0

точка мінімуму енергії Ee (R) . При малих відхиленнях від поло-

ження рівноваги E (R) можна розкласти в ряд Тейлора і обмежитись двома члена-

ми: E

( R ) ≈ E

( R ) +

( R − R )2

, де к - стала величина, k = E ′′(R ) > 0 . Врахуємо та-

кож, що приведена маса µ досить велика, тому доцентровий доданок в (4) малий, і

допустимо прийняти, що

2l (l +1)

≈

2l (l +1)

, якщо рух відбувається біля точки R .

2µ R2

З урахуванням зроблених зауважень рівняння (4) спрощується:

−

d 2 f

( R − R0 )2

− E1 f ( R) = 0 ,

(5)

2µ dR

Електронні рівні Коливальні рівні Обертальні рівні

					84
де	E1	= E −	2l (l + 1)	− E (R0 ).	(6)
			2 R2
		0

Рівняння (5) описує гармонічний осцилятор, енергія якого приймає значення:

		1		k
E1	= ω n +		, ω =		, n = 0,1, 2,... ;	(7)
E1	= ω n +	2	, ω =	µ	, n = 0,1, 2,... ;	(7)
		2		µ

число n називають вібраційним квантовим числом.

В результаті із (6) та (7) отримаємо для енергії молекули наближений вираз:

E = E

)+ ω

n +

2l (l +1)

= E

+ E

(8)

кол

об

ел

2µ R0

Отже, енергія молекули складається з електронної, коливальної і обертальної енер- гії. Відстані між рівнями енергій також діляться на три частини:

E = Eел + Eкол + Eоберт

(9)

Відстані між рівнями електронної енергії Еел в молекулах не залежать від ма- си ядер і мають той же порядок величини, що й у атомів (тобто порядку одного або декількох електрон-вольт): ΔΕел ~ 1eB .

Відстані між коливальними рівнями (які є еквідистантними, хоч в дійсності вони густішають при більш високих значеннях квантового вібраційного числа n) дорівнюють:

= ω ~

ΔΕ

кол

eл

Нарешті, відстані між ротаційними рівнями

E =

l '

(

l ' +1 − l (l +1) ~

2 l

2µ R2

об

{

)

}

де ∆l=l'-l=±1. Оскільки Eоб ~ µ1 , то ці відстані значно менші, ніж відстані між віб-

раційними рівнями, і складають декілька міліелектронвольт (меВ). Отже:

Eел >> Eкол >> Eоб .

Таким чином, коливальний рух ядер розщеплює електронні терми на порівняно близько розташовані колива- льні рівні. Ці рівні в свою

чергу розщеплюються під впливом обертального руху на систему майже злитих

обертальних рівнів (див.

мал).

Радіаційні переходи між близько розташованими рів- нями енергій приводять до характерного спектру випромінювання молекул, які

складаються із системи розмитих смуг. Кожна смуга відповідає великому числу переходів між обертово-коливальними компонентами двоелектронних термів. Окремі смуги мають різні інтенсивності, які залежать від відносних ймовірностей переходів, які можуть бути наближено обчисленні квантовомеханічними методами. Для складних молекул смуги однієї системи, які відповідають деякому електрон- ному переходу, зливаються в одну широку суцільну смугу; можуть накладатись одна на одну і декілька таких широких смуг. Але при дуже низьких температурах

(температурах рідкого повітря і нижче), коли сильно зменшується вплив теплового руху, в заморожених розчинах складних органічних молекул можуть спостеріга- тись характерні дискретні спектри (ефект Шпольського).

§61. Багатоатомні молекули (НСО)

Електронні стани багатоатомних молекул характеризуються хвильовою функ- цією ψ ел (ri , R j ), і молекула в цьому стані є стійкою, якщо її електронна енергія

ел ( j ), що залежить вже від координат не одного, а декількох ядер, має мінімум.

E R

Відносними координатами ядер можуть служити відстані між ядрами і інші параметри, які характеризують конфігурацію ядер. Значення цих параметрів, які

відповідають мінімуму Eел (R j ), визначають рівноважну конфігурацію ядер.

По вигляду рівноважних конфігурацій молекули поділяються на: 1) лінійні (всі ядра лежать на одній прямій - вісі молекули)

	О	С	О	N	N	O	H C	C	H
		а)			б)			в)
	(а –двоокис вуглецю; б – закис азоту; в – ацетилен);
2)	плоскі (ядра лежать в одній площині - площині молекули)
						Н		Н
	О	Н			Н			С
		Н			Н		С
							С
Н	Н		С	С		Н	С	С	Н
Н	Н	Н	С	С	Н		С	С
		Н			Н
						Н	С	С	Н
г) вода			д) етилен				е) бензол

3) Неплоскі (ядра утворюються просторовою структурою)

Н Н Н

	Н
Н	Н
	Н

ж) аміак

з) метан

Багатоатомні молекули характеризуються в основних станах відстанями між хімічно зв’язаними ядрами (довжинами зв’язків) та кутами між зв’язками (валентні кути), які визначають розміри і форму молекул. Рівноважна конфігурація молекули

може мати симетрію, яка характеризується наявністю центру симетрії, площин си- метрії та вісей симетрії різних порядків. Система має вісь симетрії n -го порядку,

якщо при повороті навколо цієї вісі на кут 2π система переходить сама в себе. Від

симетрії суттєво залежать її властивості, зокрема, симетрією визначаються кратно- сті виродження рівнів енергії та правила відбору при квантових переходах між рів- нями енергії. По симетрії молекули поділяються на молекули нижчої симетрії, які не мають осей симетрії вище другого порядку, (наприклад H 2O, C2 H 4 ), молекули

середньої симетрії, які мають виділену вісь не нижче третього порядку (наприклад, NH 3 , C6 H 6 ), і молекули вищої симетрії, які мають декілька осей не нижче третього

порядку (наприклад, метан CH 4 ).

В багатоатомних молекулах, як і в двоатомних, хімічний зв’язок може бути як ковалентним, так і іонним. Ковалентний зв’язок між сусідніми атомами здійсню- ється парами електронів. Атом з k зовнішніми електронами може утворювати k ко- валентних зв’язків, що і визначає його валентність. Зв’язки тим міцніші, чим біль- ше перекриваються електронні хмарини для зовнішніх електронів об’єднуваних атомів. Для р-електронів електронна густина максимальна в певних напрямках (для атома з трьома зовнішніми р-електронами - в трьох взаємно перпендикулярних напрямках), що приводить до утворення зв’язків з другими атомами саме в цих на- прямках (так звана напрямлена валентність). Атом вуглецю (Z=6) з чотирма зовні- шніми електронами може утворювати чотири зв’язки по чотирьом осям тетраедра;

цим визначається тетраедрична форма такої молекули,							як метан CH 4 (мал. з). Кут
між тетраедричними зв’язками складає			≈110 , що приводить до зигзагоподібної
структури, вуглецевих ланцюгів в граничних вуглеводнях:
		Н		Н
		Н		Н		Н
						Н
Н	С	С
Н

					С
			С		С			Н
			С					Н
Н	Н	Н		Н
				Н

Приклад зигзагоподібної структури вуглецевих ланцюгів в молекулі бутану

Поруч з хімічними зв’язками, які здійснюють пари електронів, локалізованих на окремих зв’язках, можливі також зв’язки, які здійснюють так звані нелокалізо- вані електрони, які приймають участь в утворенні зв’язків між декількома атомами, наприклад в утворенні 6 зв’язків між 6 атомами вуглецю бензольного кільця.

Розділ VI. ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ ТВЕРДОГО ТІЛА

§ 62. Рух електрона в періодичному полі. Функції Блоха.

Застосування методів квантової механіки виявилося дуже плідним при поясненні багатьох властивостей твердих тіл, які не можна було зрозуміти на основі класичної теорії. Як і у багатьох інших випадках, квантова механіка відкрила можливість не тіль- ки якісного, але й кількісного опису найважливіших закономірностей, що випливають із особливостей структури твердого тіла. При цьому фізична картина явищ одержала особливу закінченість і ясність.

Як відомо, найбільш характерною властивістю твердих тіл є їхня кристалічна структура - структура ґратки, тобто таке положення ядер атомів, що може бути отримане шляхом повторення елементарної комірки. У силу цієї особливості, яка називається трансляційною інваріантістю, ми можемо визначити структуру криста- ла, знаючи структуру лише однієї комірки. Дійсно, уводячи вектор ґратки

n = n a		+ n	a	+ n	a	3	,	(1)
1	1	2	2	3		3

де a1 , a2 , a3 – одиничні некомпланарні базисні вектори, а n1 , n2 , n3 — будь-які цілі чи-

сла, можна сказати, що трансляційна інваріантість кристала проявляється в незмін- ності його структури при зсувах на вектор n при будь-яких цілих числах ni .

Електрони твердого тіла рухаються в електричному полі атомних ядер, а також взаємодіють між собою. Серед різних методів наближеного розгляду загальної складної задачі руху таких електронів виявився досить плідним метод одноелект- ронного наближення. Згідно з цим методом рух багатьох електронів замінюється рухом одного електрона в полі заданого ефективного потенціалу, який враховує наряду з полем ядер частково і взаємодію з іншими електронами.

Хвильова функція одноелектронної задачі повинна, таким чином, задовольняти стаціонарному рівнянню Шредінгера

					(2)
		Hψ (r )		= Eψ (r ),	(2)
де оператор Гамільтона
		2	2
H	= −			+ V (r )	(3)
H	= −	2m0		+ V (r )	(3)
		2m0

містить у собі ефективну потенціальну енергію V (r ). У силу викладеного функція V (r ) повинна мати трансляційну симетрію, тобто бути періодичною функцією з пе- ріодом ґратки

V (r + n )=V (r ).

(4)

Надалі будемо припускати кристал безмежним, що дозволяє ввести циклічні граничні умови.

Обговоримо тепер ряд загальних властивостей власних функцій, що виплива- ють із періодичної структури кристала. Перш за все розглянемо оператор трансляції

T n , дія якого на хвильову функцію полягає у зсуві координати на період ґратки

T nψ (r )=ψ (r + n ).		(5)
У силу (4) очевидно, що оператор T комутує з гамільтоніаном (3) і тому має
спільні з ним власні функції
		(6)
Hψ = Eψ ,	T nψ = tnψ .	(6)

Відмітимо далі, що нормування хвильової функції не повинно залежати від зсу- ву початку координат. Тому власні значення оператора трансляції tn

T nψ (r ) =ψ (r + n )	= t ψ (r )	(7)
	n
повинні дорівнювати по модулю одиниці. Запишемо це у вигляді

tn = eikn ,		(8)

де k — хвильовий вектор, причому k називається квазіімпульсом. Властивості цього вектора ми розглянемо трохи пізніше - поки лише відмітимо, що у випадку вільного руху електронів (при V(r) = 0) k є справжнім імпульсом. Таким чином, стан електронів у кристалі можна характеризувати значеннями квазіімпульсу k :

T nψ	(r )=ψ	(r + n )= eiknψ	(r ),	(9)
k ,λ	k ,λ	k ,λ

де під λ будемо розуміти інші (відмінні від k) квантові числа. Перейдемо тепер до більш зручної й фізично більш наочної форми запису хвильової функції і пред- ставимо ψ k ,λ (r ) у вигляді

ψ		(r ).
ψ	(r )= eikr U	(r ).	(10)
k ,λ	k ,λ

Функції (10) називають функціями Блоха, вони представляють собою плоскі моду- льовані хвилі, причому амплітуда модуляції залежить від виду періодичного потенці- алу V (r ) і величини квазіімпульсу. Суттєвою особливістю функції U k ,λ (r ) є їхня пе-

ріодичність. Дійсно, повертаючись до (9) і підставляючи в це рівняння функцію Блоха (10), одержуємо

			(r				(r ),
	eik (r	+n )U	(r	+ n ) = eikneikr U			(r ),	(11)
		k ,λ				k ,λ
тобто функція U	(r ), що характеризує амплітуду модуляції плоскої хвилі, має пе-
k ,λ
ріод ґратки					(r + n )= U	(r ).
			U		(r + n )= U	(r ).		(12)
			k ,λ		k ,λ

Підставляючи, нарешті, функцію Блоха (10) у вихідне рівняння Шредінгера (2),

одержуємо рівняння для функції U		:
	k ,λ
	2		2
		( + ik )		+ Eλ (k )− V (r ) U k	,λ	(r )= 0	,	(13)
	2m0	( + ik )		+ Eλ (k )− V (r ) U k	,λ	(r )= 0	,	(13)
	2m0

яке достатньо розв’язати для області однієї елементарної комірки. При цьому цик- лічні граничні умови дадуть можливість періодичного продовження цих розв’язків у сусідні комірки.

§63. Квазіімпульс

Вектор k , що входить у вираз функції Блоха (62.10), як ми вже відзначали, нази- вається квазіімпульсом, причому у випадку переходу до вільного руху електрона, коли V (r )→ 0 , ця величина переходить у справжній імпульс. У загальному випадку

функції Блоха не є власними для оператора імпульсу p = −i й, відповідно, k не буде власним значенням цього оператора. Крім того, у силу періодичності потенці-

альної енергії квазіімпульс визначається неоднозначно. Дійсно, вектор k				визнача-
ється з точністю до перетворення

	k ' = k +G, G = 2πτ ,			(1)
τ				(1)
τ	= m1b1	+ m2b2	+ m3b3.

Тут m - цілі числа, τ

- вектор так званої оберненої ґратки, а b

- її базисні вектори,

пов'язані з основними векторами прямої ґратки співвідношеннями

b1 = [a2 a3 ],b2 = [a3a1 ],b3

= [a1a2 ]

(2)

де V0 =| (a1 [a2 × a3 ])|

- об’єм елементарної комірки. З визначення (2) випливають

рівності

ai b j

= δ ij .

(3)

З огляду на розкладання n і τ

по базисних векторах

n = ∑n j a j ,τ = ∑mi bi

(4)

одержуємо, що eik ' n

= eikn eiGn

= eikn , тому що

Gn = 2πτn = 2π ∑mi n j bi a j = 2π ∑mi n j δ ij

= 2π ∑mi ni ,

(5)

а сума добутків цілих чисел дорівнює цілому числу.

Розглянемо тепер стан ψ k ,λ (r )

з енергією E(k ) . У силу (1) і (62.10), можна запи-

сати, що

(r )

(r ).

(r )= eikr U

= ei (k

+G )r U

(6)

k ,λ

+G ,λ

При цьому функція

(r )

(r )= e−iGr U

(7)

+G ,λ

k ,λ

має періодичність прямої ґратки.

Таким чином, хвильові функції ψ k ,λ і ψ k +G відповідають тому самому енергетичному

стану, інакше кажучи, власні значення енергії електрона, що перебуває в періодич- ному полі, періодичні у обернених ґратках:

E(k )= E(k + G).

(8)

З метою однозначності визначення квазіімпульсу звичайно відбирається його

найменше значення, тобто k розглядається тільки в межах першої комірки оберненої ґратки, лінійні розміри якої помножені на 2π . Ця комірка називається зоною Бріллюена.

З метою з'ясування фізичного змісту квазіімпульсу розглянемо рух електрона в пері-

одичному полі при впливі на нього зовнішньої сили F , наприклад, зовнішнього елект- ричного поля. Рух локалізованої частинки ми можемо описати, склавши хвильовий па- кет з функцій Блоха в області хвильових чисел (k0 − k , k0 + k ):

			Et
ψ (r , t ) = ∫	Uk ,λ (r )eikr	−i		E = E (k ).
ψ (r , t ) = ∫	Uk ,λ (r )eikr	−i	d 3k;	E = E (k ).	(9)
( k )

При вивченні хвильових пакетів, інтервал хвильових чисел яких є достатньо малим ( | k | | k0 | ), показується, що центр інерції такого хвильового пакета переміщається із груповою швидкістю

		1
	υ =	1	grad E(k ),	(10)
	υ =		grad E(k ),	(10)
			k

співпадаючою зі швидкістю руху частинки.
	змінює енергію частинки, зокрема, маємо:
З іншого боку, робота зовнішньої сили F	змінює енергію частинки, зокрема, маємо:


dE (k )
	= gradk E (k )	dk	=υ F	=	1	gradk E (k )F	,	(10)
dt	= gradk E (k )	dt	=υ F	=		gradk E (k )F	,	(10)
dt		dt

							90

звідки випливає, що		=	dk	=	d
	F					k .	(11)
	F					k .	(11)
			dt		dt

Це рівняння являє собою, очевидно, закон Ньютона, у якому імпульс замінений на квазі- імпульс. Воно залишається, таким чином, справедливим не тільки для вільного електро- на, але й для електрона, що рухається в періодичному полі.

§64. Зонна структура спектра енергії електронів у кристалі

Однієї з найважливіших особливостей руху електрона в періодичному полі є так зва- на зонна структура енергетичного спектра. Як видно з рівняння Шредінгера

	2
−		2	+ V (r )− Eλ (k )ψ k	,λ	(r )= 0	,	(1)

	2m0

у найпростішому випадку, коли потенціальна енергія V (r ) є сталою величиною, функ- ція Блоха переходить у звичайну плоску хвилю

ψ	(r )= eikr U	(r )→ Ceikr	= ψ (r ),	(2)

k ,λ	k ,λ		k

тому що Uk ,λ (r ) = C , а енергія електрона виявляється зв’язана з імпульсом співвідно- шенням, характерним для вільного руху частинки

		2	k	2
E(k )=					.	(3)

	2m0

У загальному випадку руху частинки в періодичному полі енергія E (k ) уже не є

всюди неперервною функцією імпульсу. Замість цього E (k ) розпадається на ряд зон

(або смуг), тобто енергія неперервна в широких областях зміни k і зазнає розриви при певних значеннях k . Весь енергетичний спектр розбивається при цьому на ряд зон (або смуг) - так званих дозволених значень енергії, розділених енергетичними щілинами — областями заборонених значень.

Розглянемо для прикладу випадок майже вільних електронів у періодичному полі з метою визначення енергетичного спектру. Розглянемо для простоти одновимірний рух електрона в потенціальному полі V(x), періодичному з періодом ґратки а:

V(x + a)=V(x).

Тоді рівняння Шредінгера (1) приймає наступний вид:

	2	d 2
−				+ V (x)− E(k ) ψ k	(x)= 0 .
−	2m0	dx	2	+ V (x)− E(k ) ψ k	(x)= 0 .
	2m0	dx

(4)

(5)

Будемо далі припускати, що поле V(x) є дуже слабким, тобто таким, що його можна врахувати за теорією збурень. При такому припущенні при відсутності збурення розв’язком рівняння (5) є плоскі хвилі де Бройля

ψ k	0 (x)=	1		eikx .	(6)


			L

Тут L = Na - нормувальна довжина, яка відповідає розмірам кристала. При цьому енер- гія електрона має вигляд

E 0 (k )= ε (k )=	2 k 2	,	(7)
	2m0

і весь енергетичний спектр є неперервним.

Далі застосуємо метод теорії збурень, відповідно до якого поправки до хвильової фу-

нкції й до енергії мають вигляд

(x) =ψ

(x )+

∑

Vk ' k

(x),

k '≠k ε (k )− ε (k ')

k '

(8)

E (k ) = ε (k )+ V0 +

∑

| Vk ' k

k '≠k ε (k )− ε (k ')

Тут матричні елементи оператора потенціальної енергії дорівнюють

			1	L
Vk ' k	= ∫ψ k0	'* Vψ k0 dx =		∫ ei (k − k ') xV (x )dx .	(9)

			L 0

При цьому ми враховуємо поправки до енергії другого порядку теорії збурень, тому що поправки першого порядку V0 , які дорівнюють діагональному матричному елементу

(V0 = Vkk ), не залежить від k і приводить лише до незначного зсуву всіх значень енергії на однакову величину. Цей зсув ми надалі не будемо брати до уваги при V0 = 0 .

Відмітимо далі, що недіагональні члени виразу для матричних елементів (9) містять під знаком інтеграла періодичну функцію. Очевидно, що такі інтеграли будуть відмінні від нуля тільки в тому випадку, коли експоненти мають ту ж періодичність, що й функ- ція V(x), тобто а. Тоді повинна виконуватися умова

ei (k −k ')(x+ a ) = ei (k −k ')x

або

ei (k −k ')a = 1 .

Інакше кажучи, матричні елементи оператора потенціальної енергії (9) дають відмінний від нуля внесок тільки у тому випадку, якщо

k − k ' =

2πm

= G (m = ±1, ±2,...).

(10)

Врахуємо (7) і (10) в (8). В результаті для енергії E(k) одержимо наступний вираз:

k −

2πm

E(k )= ε (k )+ ∑

(11)

m≠0

−

2πm

2m0

Неважко помітити, що в цьому виразі є швидко зростаючі члени суми, для яких знамен- ник близький до нуля. У випадку, коли

2π m 2

π m

(m = ±1,

±2,...)

= k −

або

k =

(12)

метод теорії збурень не можна застосовувати. Отримані нами формули справедливі

тільки далеко від границь зон Бріллюена k = πm , які, як ми зараз покажемо, виявляють-

ся точками розриву функції E(k).

Для того щоб одержати результати, справедливі поблизу точок розриву, тобто побли- зу границь зон Бріллюена, врахуємо неоднозначність визначення квазіімпульсу (63.1). Тоді у нульовому наближенні задача виявляється виродженою, тому що стани ψ k 0 (x) і

ψ 0 k −G (x) відносяться до одного й того ж значення енергії. Таким чином, у нульовому наближенні ми маємо

E0 (k )= ε (k )=	2k 2	, ψ k (x )= Aψ k0 (x)+ Bψ k0−G (x ) ,	(13)
	2m0

де А і В — довільні коефіцієнти, ψ k (x) - плоскі хвилі

ψ k (x)=	1		eikx .	(14)


		L

При фіксованому значенні m задача має двократне виродження.

Відповідно до загальних положень теорії збурень при наявності виродження у першому наближенні одержуємо

					2
					2
					,	(15)
E (k ) = ε (k ) ± \| V k , k − G \|2 = ε (k ) ±		V π m	, −	π m	,	(15)
		a	, −	a
		a		a
причому
	А = ±В.					(16)

Звідси випливає, що на границях зон Бріллюена енергія терпить розрив, причому величина розриву виявляється скінченою:

E = 2

Vπm

,−

πm

Хвильова функція при цьому має вигляд

ψ k (x)=

iπmx

− iπmx

(17)

Типовий вид залежності E(k) для випадку майже вільних еле- ктронів представлений на малюнку. Енергія тепер не є непере-

рвною функцією квазіімпульсу k Замість цього енергія розпа- дається на зони або смуги, зазнаючи розриви поблизу певних значень k (на границях зон Бріллюена). В енергетичному спектрі виникають області заборонених значень енергії — енергетичні щілини. У зонах дозволених значень енергія як і раніше залиша- ється неперервною функцією k.

Відмітимо, що енергетичні зони є наслідком періодичної структури кристала і разом з тим вони представляють собою фу-

ндаментальні характеристики електронної структури твердого тіла.

§ 65. Задача Кроніга і Пенні

Розрахунок енергетичних зон у кожному конкретному випадку – досить складне й трудомістке завдання. Ми тут обмежимося лише ще одним прикладом - так зва- ною задачею Кроніга і Пенні.

Один з найпростіших прикладів одномірного періодичного поля, розглянутий Кронігом і Пенні (1931 р.), допускає точний розв’язок задачі. Незважаючи на схе- матичність моделі кристала, цей приклад заслуговує на увагу, тому що він наочно показує природу виникнення зонної структури енергетичного спектра.

Розглянемо рух електрона в одновимірному періоди- чному полі, зображеному на малюнку.

Розв’язок рівняння Шредінгера виберемо у вигляді

ψ 1 (x)= Aeiαx + Be−iαx ,α =	2m0 E	(1)

- в областях, де потенціальна енергія дорівнює нулю, і

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.03.2015209.41 Кб40Зоопсихологыя Т.2.doc
#
01.07.202553.06 Кб0индз - копия.docx
#
01.07.2025229.38 Кб0Карта адаптации.doc
#
07.02.2015593.24 Кб63Квантова механіка. Лекції. Модуль 1.pdf
#
07.02.20151.26 Mб27Квантова механіка_Модуль 2.pdf
#
07.02.2015658.8 Кб33Квантова механіка_Модуль 3.pdf
#
07.02.2015743.73 Кб20Квантова механіка_Модуль 4.pdf
#
20.03.2016903.26 Кб39Кенігсбергер Г. Середньовічна Європа 400 - 1500 рр..rtf
#
01.07.202586.9 Кб0КЗ.docx
#
07.02.201516.41 Mб661Киреев Н. Г. - История Турции. XX век - 2007.pdf
#
07.09.201983.32 Кб20Кислотні опади.docx