Задания повышенной трудности

10. Трапеции ABCD и AB1C1D1, расположенные в различных плоскостях, имеют общую вершину А и равные отношения оснований ( AD/BC=AD1/B1C1=L). Найдите вектор ОО1,соединяющий точки пересечения диагоналей трапеций. Предполагается, что заданы векторы AB=a, AD=b, AB1=p, AD1=q.

11. Наклонная призма ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит трапеция ABCD (BA = L*CD), построена на векторах BA=a, BC=b, BB1=c. Вычислить вектор ОD1,где О - точка пересечения диагоналей основания.

12. Найти составляющие p1,p2,p3 вектора p на плоскости, определяемые векторами a и b, векторами c и b, векторами a и c соответственно при косом проектировании в направлении векторов c,b,a соответственно. Определить, являются ли вектора p и S=p1+p2+p3 коллинеарными. Если да, то определить коэффициент пропорциональности.

Лабораторная работа №15Скалярное произведение векторов

Цель работы: Научиться составлять алгоритмы решения геометрических задач по теме "Скалярное произведение векторов", используя заданный набор процедур.

Файл LIST.2 содержит заголовок программ функции det2, modulus, scalar и следующие процедуры:input, output, sum, subtract, multiply, angle, vectormult.

Задание 1

Для векторов a и b вычислите:

1. скалярное произведение;

2. модули векторов;

3. угол между векторами в градусах;

4. координаты векторного произведения;

5. площадь треугольника, построенного на векторах a и b.

Задание 2

Ромб задан векторами смежных сторон. Проверьте, что диагонали перпендикулярны.

Задание 3

Тетраэдр SABC задан векторами трех ребер a,b,c, выходящих из одной вершины (точка S совпадает с началом координат). Найдите:

1. объем тетраэдра;

2. угол между векторами c и a-b;

3. площади грани ABC;

4. величину проекции вектора a на грань (ABC);

5. центроид G тетраэдра.

Задание 4

Дано некомпланарные вектора a,b,c. Произведите ортогонализацию данного базиса.

Задание 5

Тетраэдр SABC задан векторами трех ребер a,b,c, выходящих из одной вершины (точка S совпадает с началом координат). Найдите:

1. центр вписанной сферы;

2. расстояние между центром вписанной сферы и центроидом;

3. величину двугранного угла при ребре SA;

4. расстояние между парой противоположных ребер.

Лабораторная работа «Точка»

Цель работы: Научиться составлять алгоритмы решения геометрических задач по теме "Точка", используя заданный набор процедур.

Файл LIST.3 содержит заголовок программы функции det2, det3, modulus, scalar и следующие процедуры: input, output, sum, subtract, multiply, angle, centre.

Задание 1

Составить ПРОЦЕДУРУ нахождения координат точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ:МВ = t1:t2. Добавьте ее в файл LIST.3.

Задание 2

Найдите координаты образа точки А при:

1. центральной симметрии с центром C.

2. гомотетии с центром C и коэффициентом k.

Задание 3

Составьте программу для решения одной из следующих задач:

1. проверьте, принадлежат ли три точки одной прямой.

2. точки A и A₁ делят отрезки BC и B₁C₁ соответственно в равных простых отношениях. Проверьте, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Задание 4

Треугольник задан радиус-векторами вершин ,,. Найдите:

1. длины всех сторон.

2. площадь треугольника.

3. координаты центроида.

4. координаты центра вписанной окружности;

5. величины углов треугольника в градусах.

Задание 5

Треугольник задан радиус-векторами вершин ,,. Найдите:

1. длины всех высот;

2. длины всех медиан;

3. длины всех биссектрис.

Лабораторная работа «Прямая линия на плоскости»

Цель работы: Научиться составлять алгоритмы решения геометрических задач по теме "Прямая линия на плоскости", используя заданный набор процедур.

Файл LIST.4 содержит заголовок программы функции det2, pointline, modulus, scalar и следующие процедуры: input, output, sum, inputline, outputline, subtract, multiply, angle, system2.

Задание 1

Для прямой, заданной общим уравнением составить ПРОЦЕДУРЫ нахождения:

1. координат направляющего вектора.

2. координат нормального вектора.

Задание 2

Составьте уравнение прямой, заданной:

1. двумя точками;

2. точкой и направляющим вектором;

3. точкой и нормальным вектором;

4. точкой и угловым коэффициентом;

5. медиатрисой.

Задание 3

Дана прямая и две точки F(f1, f2), G(g1, g2). Найдите:

1. простое отношение, в котором прямая делит отрезок FG.

2. взаимное расположение точек относительно прямой.

3. расстояния от точек до прямой.

4. координаты образов точек при осевой симметрии относительно заданной прямой.

Задание 4

Даны две прямые. Определите:

1. взаимное расположение двух данных прямых (пересекаются, параллельны, совпадают).

2. угол между прямыми.

3. лежит ли заданная точка внутри полосы (проверить, параллельны ли прямые).

Задание 5

Решите одну из следующих задач:

1. Даны две пересекающиеся прямые и точка F(f1, f2), не лежащая ни на одной из этих прямых. Найдите уравнение биссектрисы того угла, в котором лежит точка.

2. Даны две пересекающиеся прямые и точка F(f1, f2), не лежащая ни на одной из этих прямых. Найдите величину угла, в котором лежит точка.

Даны две пересекающиеся прямые и точка F(f1, f2), не лежащая ни на одной из этих прямых. Найдите условие, при котором эта точка лежит в остром угле

3. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника и точка на его основании. Составить уравнение прямой, содержащей его основание.

4. Прямая q пересекает стороны AB, BC, CA треугольника или их продолжения соответственно в точках C1, A1, B1. Проверьте, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 принадлежат одной прямой.

5. На прямых a и b заданы соответственно точки A, B, C и D, E, F. Проверьте, что точки пересечения прямых AD и CE, BD и CF, BE и AF принадлежат одной прямой.

6. Исследовать взаимное расположение трех прямых.

7. Определить, лежит ли точка внутри треугольника, заданного уравнениями сторон.

8. Дан четырехугольник ABCD, у которого пары противоположных сторон пересекаются в точках S и Т. Проверьте, что середины отрезков AC, BD и ST лежат на одной прямой (теорема Гаусса).