Тема 7. Методика изучения функций в курсе алгебры основной школы

Функции, их свойства и графики составляют стержень школьного курса математики.

«Понятие «функция» как ни одно другое воплощает в себе диалектические черты математического мышления. Именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, взаимосвязи, а не в отрыве друг от друга.»⁹

Тезис Б.В. Гнеденко том, что «математика изучает не само явление, а лишь его математическую модель» наполняется конкретным содержанием при изучении 4 типов основных моделей реальной действительности:

- линейная функция – модель равномерных процессов;

- квадратичная функция – модель равноускоренных процессов;

- тригонометрическая функция – модель периодических процессов;

- показательная функция – модель органического роста и убывания.

Слово «функция» происходит от латинского «function» - исполнение служебной обязанности.

Значительная часть материала функциональной линии относится к изучению класса функций, получивших название элементарных¹⁰.

7.1. Определение функции в школьных учебниках

АЛГЕБРА-7 (С.А. Теляковский) В предыдущих изданиях предлагалось следующие определение функции:

«Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению переменной х соответствует единственная переменная у.»

В издании 2000 г. объяснительный текст начинается с примеров описания различных ситуаций, знакомых учащимся:

1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны S=a², где а – переменная, значение которой выбирается.

2. При движении со скоростью 50 км/ч за время t автомобиль пройдет путь S= 50t км/ч.

3. Приводится график изменения температуры воздуха в течение суток.

4. Приводится таблица зависимости стоимости проезда на железнодорожном транспорте от номера зоны проезда.

Делается вывод, что в приведенных примерах описывается следующая ситуация: каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. «Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной или функцией.»¹¹

АЛГЕБРА - 7 (Ш.А. Алимов). Приводится задача о движении поезда Москва – Санкт–Петербург, который движется со скоростью 120 км/ч. «За время t поезд пройдет путь равный S= 120t. Путь S и время t изменяются, поэтому их называют переменными. Значение S зависит от значения t. Поэтому t – независимая, а S – зависимая переменная или функция.

Зависимость переменной S от переменной t называют функциональной. Пишут S(t), чтобы подчеркнуть, что S зависит от t.»

Далее рассматривается та же задача, но вычисляется время t = s/120. «В данном случае t зависит от S, то есть возникает зависимость t(S). Каждая из формул устанавливает правило вычисления по заданному значению независимой переменной значения зависимой переменной, то есть функция – это правило».

АЛГЕБРА – 8 (С.М. Никольский). Объяснение начинается в несколько академическом стиле с примера:

«Для любого куба V = a³ (a>0). Любому значению длины ребра а, в силу закона выполняемого равенства, соответствует определенное значение V. Говорят, что V есть функция а, которая определена на множестве положительных чисел».

Затем рассматривается задача о движении тела «со скоростью v= 80км/ч. S= 80t, (t0). S –функция от t , определенная на множестве неотрицательных чисел.»

Далее вводится определение:

«Пусть М – есть некоторое множество чисел, любому числу х из множества М в силу некоторого выше определенного закона приведено в соответствие одно число у. Тогда говорят, что у есть функция от х, которая определена на множестве М, при этом х называется независимой переменной или аргументом, у – зависимой переменной, или функцией от х.

Множество М называется областью определения функции.

Чтобы указать, что у есть функция от х, пишут у = f(x), где f характеризует то правило, по которому получается значение у, соответствующее х».

МАТЕМАТИКА – 8 (Г.В. Дорофеев). Введение понятия начинается с чтения графиков некоторых реальных ситуаций. Затем вводится определение: «Переменную у называют функцией переменной х, если каждому значению х из некоторого числового множества соответствует одно определенное значение у».

«Таким образом, функция – это переменная, однако, в математике этот термин традиционно употребляется в более широком смысле. Функцией часто называют не только одну из двух переменных, но и саму зависимость между ними, а также правило, по которому устанавливается соответствие между переменными. Правило часто обозначается символом f, и вводится обозначение у = f(x)».

АЛГЕБРА – 9 (А.Г. Мордкович). «Если дано числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x), где хХ.

Подчеркнем, что нельзя говорить о функции без указания области ее определения».

Замечание. Определение функции вводятся в 7, 8, 9 классах, но по–разному.